第2課時三角形三個內(nèi)角的平分線北師版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)在角平分線的基礎(chǔ)上歸納出三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì).能夠運用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實際問題.重點難點新課導(dǎo)入分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線交于一點．

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等．新課探究

求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

已知：如圖，在△ABC

中，角平分線BM

與角平分線CN

相交于點P，過點P

分別作AB，BC，AC

的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).

求證：∠A

的平分線經(jīng)過點P，且PD=PE=PF.ABCPEFMDN例2證明：∵BM

是△ABC

的角平分線，點P

在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分別為D，E，∴PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.ABCPEFMDN

同理，PE

=PF.∴PD=PE=PF.

∴點P

在∠A

的平分線上（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上），

即∠A的平分線經(jīng)過點P.比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等練習(xí)

如圖，已知△ABC

的周長是20，BO，CO分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC

于點D，且OD=3，則△ABC

的面積是_______.練習(xí)

如圖，已知△ABC

的周長是20，BO，CO分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC

于點D，且OD=3，則△ABC

的面積是_______.30【解析】如圖，連接OA，過點

O

分別作OE⊥AB于點E，OF⊥AC

于點F.∵BO，CO

分別平分∠ABC

和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=3.∵△ABC

的周長是20，即AB+BC+AC=20，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·OE+BC·OD+AC·OF=(AB+BC+AC)·OD=×20×3=30.

如圖，在△ABC

中，AC=BC，∠C=90°，AD

是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC

的長；（2）求證：AB=AC+CD.

ACBED例3∵AC

=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角對等邊）.12在等腰直角三角形BDE中，

cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD

是△ABC

的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.ACBED（2）證明：由（1）的求解過程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED練習(xí)鞏固提升一、三角形內(nèi)角、外角平分線的綜合應(yīng)用

1.如圖，∠MAC

和∠NCA

是△ABC

的外角，∠ABC的平分線BD

與∠MAC

的平分線AD

交于點D.求證：CD平分∠ACN.二、三角形的角平分線與垂直平分線的綜合

2.如圖，在△OBC

中，BC的垂直平分線交BC

于點P，交∠BOC

的平分線與點D，DM⊥OC

于點M，DN⊥OB

交OB

的延長線于點N.（1）若∠BOC=60°，求∠BDC

的度數(shù)；（2）若∠BOC=α，則∠BDC=_____；（3）寫出OB，OC，CM

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（2）∠BOC=α，則∠BDC=_______；180-α隨堂演練

1.有一塊三角形的草坪，先要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三條角平分線的交點

B.三邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高所在直線的交點A2.3.如圖，直線a，b，c

表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）一處兩處三處四處D

4.如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠CAB=20°，∠ACB

的平分線與外角∠ABD的平分線交于點E，連接AE，則∠AEB

的度數(shù)為______.45°

5.如圖①，在△ABC

中，P

是∠BAC的平分線與BC

的垂直平分線的交點，PK⊥AB

于點K.（1）求證：①AB+AC=2AK；②AB-AC=2BK.（1）證明：①如圖①，連接PB，PC，過點P

作PM⊥AC

于點M.∵PK⊥AB，PM⊥AC，∴∠PKB=∠PMC=90°.∵P

是∠BAC

的平分線與BC

的垂直平分線的交點，∴PK=PM，PB=PC.∴Rt△BPK≌Rt△CPM（HL）.∴BK=CM.∵PK=PM，AP=AP，∴Rt△APK≌Rt△APM（HL）∴AK=AM.∴AB+AC=AK+BK+AM-CM=2AK.②∵AB-AC=（AK+BK）-（AM-CM）=AK-AM+BK+CM，AK=AM，BK=CM，∴AB-AC=2BK.（2）如圖②，若將題中“∠BAC

的平分線”改為“∠BAC

的外角∠BAD

的平分線”，其余條件不變.①寫出AB，AC與AK

之間的數(shù)量關(guān)系式：________________；②寫出AB，AC與BK

之間的數(shù)量關(guān)系式：________________.（不用證明）2AK+AC=ABAB+AC=2BK（3）當(dāng)∠BAC=120°時，請分別寫出（1）和（2）中AB，