7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差

人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標(biāo)1.理解離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念（重點(diǎn)）2.計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)（重難點(diǎn)）3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布的方差的求法，提升邏輯推理能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)”.因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng)，而隨機(jī)變量的均值無(wú)法反映波動(dòng)幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.新課學(xué)習(xí)思考一下：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如表1和表2所示.如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03表1表2新課學(xué)習(xí)通過(guò)計(jì)算可得E(X)=8，E(Y)=8由于兩個(gè)均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.評(píng)價(jià)射擊水平，除要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.圖1和圖2分別是X和Y的概率分布圖，比較兩個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定.新課學(xué)習(xí)思考一下：怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度？我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的.Xx1x2…xnPp1p2…pn設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示考慮X的所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2，?(xn-E(X))2.因?yàn)閄

取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X

取值與其均值E(X)的偏離程度.新課學(xué)習(xí)離散隨機(jī)變量的方差的概念我們稱為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.新課學(xué)習(xí)思考一下：隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)？隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.新課學(xué)習(xí)思考一下：上面問(wèn)題中，甲同學(xué)和乙同學(xué)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差各是多少？可以用兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫他們射擊成績(jī)的穩(wěn)定性.由方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為因?yàn)镈(Y)<D(X)(等價(jià)地，)，所以隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定.新課學(xué)習(xí)方差的其他計(jì)算公式新課學(xué)習(xí)方差的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X)而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a，其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X)一般地，可以證明下面的結(jié)論成立：D(aX+b)=a2D(X)新課學(xué)習(xí)拓展：方差性質(zhì)的證明設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2.......xi.......xnpp1p2.......pi......pn由Y=aX+b（a,b為常數(shù)）知Y也是離散隨機(jī)變量，Y的分布列為Yax1+bax2+b.......axi+b.......axn+bpp1p2.......pi......pn新課學(xué)習(xí)拓展：方差性質(zhì)的證明由均值的性質(zhì)得E(Y)=aE(X)+b,于是D(aX+b)=D(X)新課學(xué)習(xí)例1

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.隨機(jī)變量X的分布列為因?yàn)樗孕抡n學(xué)習(xí)例2

投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表(1)和表(2)所示.收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表（1）表（2）問(wèn)題：(1)投資哪種股票的期望收益大？新課學(xué)習(xí)分析：股票投資收益是隨機(jī)變量，期望收益就是隨機(jī)變量的均值.投資風(fēng)險(xiǎn)是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來(lái)度量它們的投資風(fēng)險(xiǎn)高低，方差越大風(fēng)險(xiǎn)越高，方差越小風(fēng)險(xiǎn)越低.股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因?yàn)镋(X)>E(Y)，所以投資股票A的期望收益較大.新課學(xué)習(xí)(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×2=1.29，D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高.新課學(xué)習(xí)思考一下：隨機(jī)變量的方差在不同實(shí)際問(wèn)題中代表的意義相同嗎？隨機(jī)變量的方差是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，或者說(shuō)反映隨機(jī)變量取值的離散程度.在不同的實(shí)際問(wèn)題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果隨機(jī)變量是某相關(guān)技能的測(cè)試成績(jī)，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加