數(shù)學(xué)選修2-3·人教A版新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)1/39第一章計數(shù)原理1．1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個基本原理應(yīng)用2/391自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案3/39自主預(yù)習(xí)學(xué)案4/39年8月，世界田徑錦標(biāo)賽在北京舉行，這是體壇一大盛事．一名志愿者從廣州趕赴北京為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在武昌停留，已知從廣州到武昌天天有7個航班，從武昌到北京天天有6列火車．請思索：該志愿者從廣州到北京需要經(jīng)歷幾個步驟？完成每一步各有幾個方法？該志愿者從廣州到北京共有多少種不一樣方法？5/391．用兩個計數(shù)原理處理計數(shù)問題時，最主要是在開始計算之前要進行仔細(xì)分析——需要分類還是需要分步．應(yīng)用________原理時，要注意“類”與“類”之間獨立性和并列性，各類中每個方法都能獨立將這件事情完成；應(yīng)用________原理時，要注意“步”與“步”之間是連續(xù)，做一件事需分成若干個相互聯(lián)絡(luò)步驟，全部步驟依次相繼完成，這件事才算完成．加法乘法6/392．分類要做到____________，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最終用____________________求和，得到總數(shù)．3．分步要做到____________，步與步之間要____________，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步方法數(shù)相乘得到總數(shù)．不重不漏分類加法計數(shù)原理步驟完整相互獨立7/391．在2、3、5、7、11這五個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字組成份數(shù)，其中假分?jǐn)?shù)個數(shù)為 (

)A．20

B．10

C．5

D．24[解析]

假分?jǐn)?shù)分子大于分母．故以2為分母有4個；以3為分母有3個；以5為分母有2個；以7為分母只有1個．由加法原理知共有4＋3＋2＋1＝10個．B

8/392．圖書館書架有三層，第一層有3本不一樣數(shù)學(xué)書，第二層有5本不一樣語文書，第三層有8本不一樣英語書，從中任取一本書，共有不一樣取法 (

)A．120種 B．16種C．64種 D．39種[解析]

由分類加法計數(shù)原理知，共有不一樣取法3＋5＋8＝16種．B

9/393．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點能夠確定不一樣平面?zhèn)€數(shù)為 (

)A．40 B．16C．13 D．10[解析]

分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點能夠確定8個不一樣平面；第2類，直線b與直線a上5個點能夠確定5個不一樣平面．故能夠確定8＋5＝13個不一樣平面．C

10/394．一植物園參觀路徑如圖所表示，若要全部參觀而且路線不重復(fù)，則不一樣參觀路線種數(shù)共有 (

)A．6種 B．8種C．36種 D．48種D

11/39[解析]

由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，每種選法中能夠按逆時針參觀，也能夠按順時針參觀，所以第一步能夠從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最終一個區(qū)域，有2種走法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×4×2＝48種不一樣參觀路線．12/39互動探究學(xué)案13/39命題方向1

?兩個計數(shù)原理在排數(shù)中應(yīng)用從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中取四個數(shù)字組成一個四位數(shù)，問：(1)能組成多少個四位數(shù)？(2)能被5整除四位數(shù)有多少個？[思緒分析]

(1)要完成一件事是組成四位數(shù)，所以首位數(shù)字不能是0；(2)要使所組成四位數(shù)能被5整除，則末位數(shù)字必須是0和5中一個．典例114/39[解析]

(1)第1步，千位上數(shù)不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5種選擇；第2步，因為千位取了一個數(shù)，還剩下5個數(shù)供百位取，所以有5種選擇；第3步，因為千位、百位分別取了一個數(shù)，還剩下4個數(shù)供十位取，所以有4種選擇；第4步，因為千位、百位、十位分別取了一個數(shù)，還剩下3個數(shù)供個位取，所以有3種選擇．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，組成四位數(shù)共有5×5×4×3＝300(個)．15/39(2)因為滿足要求四位數(shù)能被5整除，所以個位上數(shù)字只能是0或5．第1類，當(dāng)個位上數(shù)字為0時，依次取千位、百位、十位上數(shù)字，分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有5×4×3＝60個滿足要求四位數(shù)；第2類，當(dāng)個位數(shù)字為5時，依次取千位、百位、十位上數(shù)字，分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有4×4×3＝48個滿足要求四位數(shù)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，能被5整除四位數(shù)共有60＋48＝108(個)．16/39『規(guī)律總結(jié)』

排數(shù)問題實際就是分步問題，需要用分步乘法計數(shù)原理處理．在有附加條件時，可能需要進行分類討論，即在處理相關(guān)排數(shù)問題時，要注意兩個原理綜合應(yīng)用．,17/39〔跟蹤練習(xí)1〕用0,1,2,3，…，9十個數(shù)字可組成不一樣：(1)三位數(shù)_______個；(2)無重復(fù)數(shù)字三位數(shù)_______個；(3)小于500且無重復(fù)數(shù)字三位奇數(shù)_______個．[解析]

(1)因為0不能在百位，所以百位上數(shù)字有9種選法，十位與個位上數(shù)字都有10種選法，所以不一樣三位數(shù)共有9×10×10＝900(個)．(2)百位上數(shù)字有9種選法，十位上數(shù)字有除百位上數(shù)字以外9種選法，個位上數(shù)字應(yīng)從剩下8個數(shù)字中選取，所以共有9×9×8＝648個無重復(fù)數(shù)字三位數(shù)．900

648

144

18/39(3)小于500無重復(fù)數(shù)字三位奇數(shù)，應(yīng)滿足條件是：首位只能從1,2,3,4中選，個位必須為奇數(shù)，按首位分兩類：第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，∴共有(4×8)×2＝64種．第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，∴共有(5×8)×2＝80種，由分類加法計數(shù)原理知，共有64＋80＝144種．19/39命題方向2

?平面區(qū)域問題用5種不一樣顏色給圖中四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一個顏色，若要求相鄰(有公共邊)區(qū)域不一樣色，那么共有多少種不一樣涂色方法？[思緒分析]

因為要求相鄰(有公共邊)區(qū)域不一樣色，所以可按“1號區(qū)域與4號區(qū)域同色”和“1號區(qū)域與4號區(qū)域不一樣色”兩種情況分類，然后依據(jù)兩個原理分別求解.典例2123420/39[解析]

第一類：1號區(qū)域與4號區(qū)域同色，此時可分三步來完成，第一步，先涂1號區(qū)域和4號區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂2號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，所以有4種涂法；第三步，涂3號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，所以也有4種涂法，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×4＝80種涂法；第二類：1號區(qū)域與4號區(qū)域不一樣色，此時可分四步來完成，第一步，先涂1號區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂4號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域同色即可，所以有4種涂法；第三步，涂2號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，所以有3種涂法；第四步，涂3號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，所以也有3種涂法．由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×3×3＝180種涂法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不一樣涂色方法種數(shù)為80＋180＝260．21/39『規(guī)律總結(jié)』

這是一個有限制條件計數(shù)問題，處理方法是：特殊位置、特殊元素優(yōu)先安排標(biāo)準(zhǔn)．本題是先分類再分步，而分類標(biāo)準(zhǔn)是兩個特殊位置，這么，在分類時才能做到“不重不漏”．22/3942

72

23/39[解析]

(1)只滿足相鄰試驗田種植不一樣作物，則從左往右5塊試驗田分別有3,2,2,2,2種種植方法，共3×2×2×2×2＝48種方法，而5塊試驗田只種植了2種作物共有3×2×1×1×1×1＝6種，所以不一樣種植方法有48－6＝42種．(2)①當(dāng)使用四種顏色時，先著色第1區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂其它四個區(qū)域，即有一個顏色涂相正確兩塊區(qū)域，有3×2×2＝12種，由分步乘法計數(shù)原理得，共有4×12＝48種．②當(dāng)使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一個顏色涂第2、4區(qū)域，另一個顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法．由分步乘法計數(shù)原理得有4×3×2＝24種．綜上共有48＋24＝72種．24/39命題方向3

?抽取(分配)問題高三年級三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中甲工廠必須有班級去，每班去哪個工廠可自由選擇，則不一樣分配方案有 (

)A．16種 B．18種C．37種 D．48種[思緒分析]

處理這類問題能夠用直接法先分類再分步，也可用排除法．[解析]

若不考慮限制條件，每個班級，都有4種選擇．共有4×4×4×＝64種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其它三個工廠，此時每個班級都有3種選擇．共有3×3×3＝27種方法，則符合條件有64－27＝37種．典例3C

25/39『規(guī)律總結(jié)』

處理抽取(分配)問題方法(1)當(dāng)包括對象數(shù)目不大時，普通選取列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)包括對象數(shù)目很大時，普通有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．普通地，若抽取是有次序就按分步進行；若是按對象特征抽取，則按分類進行．②間接法．去掉限制條件，計算全部抽取方法數(shù)，然后減去全部符合條件抽取方法數(shù)即可．26/39〔跟蹤練習(xí)3〕3個不一樣小球放入5個不一樣盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種不一樣方法？[解析]

把3個不一樣小球分別放入5個不一樣盒子里(每個盒子至多放一個球)實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列．共有60種結(jié)果．27/39已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中aibj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均為實數(shù)．(1)從集合A到集合B能組成多少個不一樣映射？(2)能組成多少個以集合A為定義域，以集合B為值域不一樣函數(shù)．[思緒分析]

(1)由映射定義可知，集合A中每一個元素總對應(yīng)著B中唯一元素；(2)依題意，集合B中每一個元素在集合A中要有對應(yīng)元素，所以只要從問題(1)映射數(shù)中減去A中四個元素對應(yīng)B中一個元素情況即可得到(2)解．元素重復(fù)計數(shù)問題典例428/39[解析]

(1)因為集合A中每個元素ai(i＝1,2,3,4)與集合B中元素對應(yīng)方法都有2種，由分步乘法計數(shù)原理，得組成A→B映射有2×2×2×2＝24＝16(個)．(2)在(1)映射中，a1，a2，a3，a4均對應(yīng)同一個元素b1或b2情形構(gòu)不成以集合A為定義域，以集合B為值域函數(shù)，這么映射有2個．所以組成以集合A為定義域，以集合B為值域函數(shù)有16－2＝14(個)．29/39『規(guī)律總結(jié)』

經(jīng)過閱統(tǒng)計分析，造成失分原因以下：(1)混同分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理而至錯；(2)利用分步乘法計數(shù)原理時列式24誤列為42而致錯；(3)對函數(shù)概念了解不清而致錯．30/39〔跟蹤練習(xí)4〕將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行字母互不相同，每列字母也互不相同，則不一樣排列方法共有 (

)A．12種 B．18種C．24種 D．36種[解析]

第一步先排好一列，因為每列字母不一樣，則只能是a，b，c，共6種排列，第二步依據(jù)排好一列進行排列，假設(shè)第一列是a，b，c，第二列只能是b，c，a或c，a，b兩種，共有6×2＝12種排列．A

31/39有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不一樣信號，次序不一樣也表示不一樣信號，共能夠組成多少種不一樣信號？[錯解]

每次升一面旗可組成3種不一樣信號；每次升2面旗可組成3×2＝6種不一樣信號；每次升3面旗可組成3×2×1＝6種不一樣信號，依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有不一樣信號3＋6＋6＝15種．[辨析]

每次升起2面或3面旗時，顏色能夠相同．分類計數(shù)時考慮不全致誤典例532/39[正解]每次升1面旗可組成3種不一樣信號；每次升2面旗可組成3×3＝9種不一樣信號；每次升3面旗可組成3×3×3＝27種不一樣信號．依據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共可組成：3＋9＋27＝39種不一樣信號．[點評]

審題時要細(xì)致，把題意搞清楚．本題中沒有要求升起旗子顏色不一樣，故既要考慮升起旗子面數(shù)，又要考慮其顏色，不可偏廢遺漏．33/39〔跟蹤練習(xí)5〕三邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為11三角形個數(shù)是______．[解析]

另兩邊長用x，y表示，且不妨設(shè)1≤x≤y≤11，要組成三角形，必須x＋y≥12.當(dāng)y取11時，x可取1,2,3，…，11，有11個三角形；當(dāng)y取10時，x可取2,3，…，10，有9個三角形；…；當(dāng)y取6時，x只能取6，只有1個三角形．∴所求三角形個數(shù)為11＋9＋7＋5＋3＋1＝36．36

34/391．把10個蘋果分成三堆，要求每堆最少有1個，至多5個，則不一樣分法共有 (

)A．4種 B．5種C．6種 D．7種[解析]

分類考慮，若最少一堆是1個，那由至多5個知另兩堆分別為4個、5個，只有一個分法；若最少一堆是2個，則由3＋5＝4＋4知有2種分法；若最少一堆是3個，則另兩堆為3個、4個，故共有分法1＋2＋1＝4種．A

35/392．如圖所表示給五個區(qū)