二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、選擇題

A組

1、(中江縣2011年初中畢業(yè)生診斷考試)小李從如圖所示的二次函數(shù)+/ZK+C?的圖

象中，觀察得出了下面四條信息：(1)b-4ac>0；(2)C>1；(3)ab>0；(4)a—b+cV

0.你認(rèn)為其中塔送的有()

A.2個B.3個C.4個D.1個

答案：A

2、(2011年江陰市周莊中學(xué)九年級期末考)在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=2f不動,

而把x軸I、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是

)

A.y=2(x+2尸一2B.尸25—2y+2

C.尸2(才一2)2—2D.y=2{x+2y+2

答案：A

3、(2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考)下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是()

A、y=1—\!2x2B、y=2(xl)2+4

C、y=-(x-l)(x+4)D、y=(x2)2x2

2

答案D

4、(2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考)根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax，bx+c=0(aX

0)一個解x的取值范圍1)

X

y=ax2+bx+c

A、3<x<3.23B、3.23<x<3.24<x<3.25

答案c

5、（2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考）把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向

下平移2個單位，所得函數(shù)的解析式是y=x23x+5,

則有（）

A、b=3,c=7B、b=—9,c=—15

C、b=3,c=3D、b=—9,c=21

答案A

6、（2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考）生產(chǎn)季

節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無利潤時，就會停

產(chǎn)，現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，其中一年中

獲得的利潤y與月份n之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-

n2+14n24,則該企業(yè)一年中停產(chǎn)的月份是（）

A、1月，2月，3月

B、2月，3月，4月

C、1月，2月，12月

D、1月，11月，12月

答案C

7、（2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考）函數(shù)圖象y=ax2+（a-3）x+1與x軸只有一個交點(diǎn)則

a的值為（）

A、0,1B、0,9C、1,9D、0,1,9

答案I）

8.（2011年浙江省杭州市高橋初中中考數(shù)學(xué)模擬試卷）對于每個非零自然數(shù)拋物線

了=丁-衛(wèi)士'工+—!—與彳軸交于4、氏兩點(diǎn)，以4,紇表示這兩點(diǎn)間的距離,

?!（,??+1）

則Ag+A?約H-----F&oi?4（）］］的值是（）

20112010°20122011

D.-------C.-------Dr.-------

2010201120112012

答案：D

9.（2011年上海市盧灣區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學(xué)模擬試題）拋物線），=d-2x+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

()

A.(1,0)；B.(-1,0)；C.(-2,1)；D.(2,-1).

答案：A

10.（2010—2011學(xué)年度河北省三河市九年級數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題）如圖，點(diǎn)4

〃的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4），拋物線），=a（x-〃?）2+〃的頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動,

與x軸交于C、〃兩點(diǎn)：C在〃的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為一3,則點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)最

大值為（）

A.13B.1

C.5D.8

答案：D

11、（2011山西陽泉盂縣月考）二次函數(shù)尸ax2+bx+c（aW0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（一1,2）,且與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X1，X2,其中一2<^<—1,0<乂2<：1有下列結(jié)論：①abc>0,②4a

-2b+c<0,③2a—bV0,@b2+8a>4ac其中正確的結(jié)論有（）

13、（2011年北京四中中考模擬20）把拋物線y=x?向右平移2個單位得到的拋物線是

（）

A^y=x2+2B、y=x2-2C、y=（x+2）2D、y=（x-2）2

答案D

14、（北京四中模擬）已知拋物線y=-gf+4x+3,則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A、（1,1）B、（4,11）C、（4,-5）D、（一4,11）

答案：B

15、（北京四中模擬）二次函數(shù)）'二欠?+2ca一（3一幻的圖象如圖所示,

則()

A、〃<°B、

C、a>0D、0<?<3

答案：A

16、(2011杭州模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)和點(diǎn)N(L2),

交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于C則……(▲)

@Z?=-2；

②該一次函數(shù)圖像與y軸交與負(fù)半軸

③存在這樣一個a,使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上

④若。=1,則3?。6=寵2

以上說法正確的有：

A.?@??B.②③④C.①②④D.?@?

答案：C

17(2011杭州模擬26)己知二次函數(shù)y=y=adc的圖像如圖所示，令M=|4&2b+c

I+Ia+b+c||2a+b|+|2ab|,則以下結(jié)論正確的是..........()

A.M<0B.il>0C

(第10題)

答案：A

18.(2011年北京四中中考全真模擬15)二次函數(shù)y=2(xl)2+3的圖象如何移動就得到尸2-

的圖象（）

A.向左移動1個單位，向上移動3個單位。B.向右移動1個單位，向上移動3個單位。

C.向左移動1個單位，向下移動3個單位。D.向右移動1個單位，向下移動3個單位。

答案：C

19.（2011.河北廊坊安次區(qū)一模）拋物線），=Y+x+p（〃00）的圖象與*軸一個交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)是P,那么該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

門9、（19}（19、

（24）I24）I24）

答案:D

20.（2011湖北省天門市一模）已知二次函數(shù)），=,戊2+a+。（。/0）的圖象如圖所示，有下

列結(jié)論：?Z?2-4ac>0；②Hc>0；③&z+c>0；④9々+勸+c<0.其中，正確結(jié)論的

個數(shù)是（)

A.1B.2

答案:D

21.（2011年浙江仙居）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)

系為y=ax2+bx4-c（aWO）.若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間

中炮彈所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

答案：B

22.（2011年江蘇鹽城）已知拋物線夕=/沈2+公+。的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）,那

么該拋物線有（）

A.最小值3B.最大值3C.最小值一2D.最大值一2

答案D

23、（2011年浙江杭州五模）已知二次函數(shù)丫=B2IbxIc的圖像如圖，則下列5個代數(shù)

式：。。,4+〃+。,4。一2力+。,2。+0,2々一〃，其值大于0的個數(shù)為（）

A、3D、4

答案：B

24、（2011年浙江杭州六模）拋物線片一/子然一2經(jīng)過平移得到y(tǒng)=一丸平移方法是（）

A.向右平移1個單位，再向下平移1個單位

B.向右平移1個單位，再向上平移1個單位

C.向左平移1個單位，再向下平移1個單位

D.向左平移1個單位，內(nèi)向上平移1個單位

答案：D

25.（浙江省杭州市瓜瀝鎮(zhèn)初級中學(xué)2011年中考數(shù)學(xué)模擬試卷）

已知二次函數(shù)y=y=ad+"+c的圖像如圖所示，令M=

I4a2b+c|+|a+b+c|

I2a+b|+|2ab|,則以下結(jié)論正確的

是......................................()

A.M<0B.M>0C.M=0

答案：A

B組

\.（2011天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）已知），關(guān)干x的函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)y<0時,自變量

x的取值范圍是()

A.x<0

B.一l<xvl或x>2

C.x>—1

（第I題圖）

D.xv-1或l〈x<2

答案：B

2.（2011年杭州三月月考）已知二次函數(shù)尸的圖

象如圖所示，給出以下結(jié)論：@abc<0②當(dāng)x=l時，函數(shù)有

最大值。③當(dāng)x=-l或r=3時，函數(shù)y的值都等于0.

④4a+?+cv0其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

3.（2011年三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月模擬）拋物線）'=改2+版+0圖像如圖所示，則一次函數(shù)

_a+b+c

y=-"X-4QC+〃與反比例函數(shù),一X在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為

（）

答案：D

4.（2011杭州上城區(qū)一模）。下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過原點(diǎn)的是（）

2

A.y=5x2-3xB.y=x2-1C.y=—［）.y=-3x4-7

x

答案：A

5.（2011杭州市模擬）已知二次函數(shù)丁=。/+/?+。中，其函數(shù)y與自變量工之間的部

分對應(yīng)值如下表所示：

工―0123…

y-5212…

點(diǎn)AC*,y\B（x2,y2）在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)0<%<1，2</<3時，）\與必

的大小關(guān)系正確的是（）

A.y2%B.%>必C.y,<y2D.耳W%

答案：B

6.（2011年杭州市西湖區(qū)模擬）二次函數(shù)），=ar+及+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)

），=法+從-4"與反比例函數(shù)）=勿吆2￡在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）

x

第6題

答案：D

7.（浙江杭州金山學(xué)校2011模擬）（引九年級模擬試題卷）函數(shù)），=必+b^y=cix2+bx+c

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（▲）

答案：0

8.（2011灌南縣新集中學(xué)一模）下列函數(shù)的圖象中，有最高點(diǎn)的函數(shù)是【】

1,。

A.y=3x+5B.y=-2x+3C.y=-x~D.y=-4x~

答案：D

9.（2011廣東南塘二模）.二次函數(shù)丫=南一1人心.+4*—5加的圖象的對稱軸方程是

A、x=lB、x=-1C、x=2D、x=—2

答案：A

10.（2011深圳巾中考模擬五）.已知如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（—1,

0）和點(diǎn)B,化簡J（a+c）2+yl（c—b）2的結(jié)果為①c②b③b—a④a—b+

2c,其中正確的有（）

A.一個B.兩個C.三個D.四個

答案：C

11.（安徽蕪湖2011模擬）拋物線yuRZ+,.+c圖像向右平移2個單位再向下平移3個

單位，所得圖像的解析式為y=，_2x_3,貝I」b、C的值為（）

A.b=2,c=2B.b=2,c=0

C.b=2,c=lD.b=3,c=2

答案：B

12.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)），=1+2與一次函數(shù)）,=2工的

圖象大致是（）

13.（2011年黃岡市流水縣）如圖，二次函數(shù)），=QY+bx+c{a

W0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,2）且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為小，工2,

其中一IVxiVO,1<X2<2,下列結(jié)論：①4a+2Z?+c<0②

2〃+/?V。③〃+8。④。V1其中結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個I).4個

答案：D

14.（江西省九校2010—2011第一次聯(lián)考）下列函數(shù)中，其圖象與x軸有兩個交點(diǎn)的是（）

A.y=8（x+2009）2+2010B.y=8（^-2009）>2010

C.y=-8（^-2009）-2010D.y=-8（^+2009）+2010

答案：D

15.（北京四中2011中考模擬14）二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確

的是（）|y

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<o

C.a<o,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>o

答案：D

16.（2011北京四中模擬）己知二次函數(shù)），=以2+法+且/;+c>0則一定

有（）.

A：Z?2-4ac>0B：b2-4ac=（）

C：b2-4ac<0D：b2-4ac?0

答案：A

17.（2011年北京四中34模）已知拋物線y=x2-2x+m,若點(diǎn)P（-2,5）與點(diǎn)Q關(guān)于

該拋物線的對稱軸對稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）

A.（0,5）B.（2,5）C.（3,5）

答案：D

18.（2011年北京四中34模）已知二次函數(shù)

y=以2+/加+°（〃W0）的圖象如右圖所示，下列結(jié)論:

①

?b<a+c

@2a+b=0

④4+〃>m（?！?+份（/"1的實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：B

19.（2011年杭州市上城區(qū)一模）下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過原點(diǎn)的是（）

2

A.y=5x2-3xB.y=x2C.y=—D.y=-3x4-7

答案：A

20.（2011年杭州市模擬）二次函數(shù)），=a/+樂+c?的圖象如圖所示，則一次函數(shù)

）,二〃x+從-4ac與反比例函數(shù)>二"也在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為

第7題

答案：D

21.（2011年杭州市模擬）如圖，在直角梯形A5CD中,AD//BC,ZC=90,CD=6cm,

AD=2cm,動點(diǎn)P,Q同時從點(diǎn)3出發(fā)，點(diǎn)尸沿HA、AD.DC運(yùn)

動到點(diǎn)。停止，點(diǎn)。沿6C運(yùn)動到C點(diǎn)停止，兩點(diǎn)運(yùn)動時的速度都

是lcm/s,而當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)。正好到達(dá)點(diǎn)C.設(shè)尸點(diǎn)運(yùn)動

笫9題

的時間為Ks），△BPQ的面積為y（cm?）.則能正確表示整個運(yùn)動

答案：B

22.（2011年海寧市鹽官片一模）已知二次函數(shù)），=3x'-12x+13,則函數(shù)值y的最小值

是（▲）

A.3B.2C.1D.-1

答案：D

23.（趙州二中九年七班模擬）點(diǎn)少為正方形力灰力的比、邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)〃在對角線〃上運(yùn)

動，連接BF、EF.設(shè)"三*,△必廠的周長為必那么能表示y與*的函數(shù)關(guān)系的圖象大致

答案：By

24.（趙州二中九年七班模擬）二次函數(shù)丁=。/+人式+。的圖像如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）。

N.a>0,b<0,c>0B.a<0,Z?<0,c=0

C.a<0,b>0,c<01).a<0,b>0,c.>0

答案：I)

二填空題

A組

1、（2011重慶市纂江縣趕水鎮(zhèn)）在正方形的網(wǎng)格中，拋物線y產(chǎn)x?+bx+c與直線y2=kx+m的圖

象如圖所示，請你觀察圖象并回答：當(dāng)一l<x<2時，y.—y2（填或“<”或“二”

號）.

答案：V

2、（重慶一中初2011級10-11學(xué)年度下期3月月考）小穎同學(xué)想用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)

），=辦2+法+c（a=0）的圖象，取自變量x的5個值，分別計(jì)算出對應(yīng)的y值，如下表：

x…-2-1012…

y…112-125…

由于粗心，小穎算錯了其中的一個y值，請你指出這個算錯的y值所對應(yīng)的x=.

答案：2

3、（2011年北京四中四模）拋物線），=4/一3的頂點(diǎn)絲標(biāo)是_____.

答案：（0,-3）

4、（2011年江陰市周莊中學(xué)九年級期末考）拋物線y=f-6x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________.

答案：（3,-6）

5、（2011北京四中模擬6）把拋物線），=-，向上平移2個單位，那么所得拋物線與x軸

的兩個交點(diǎn)之間的距離是.

答案：4

6、（2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考）拋物線y=ax2+bx+c（aWO）上兩點(diǎn)，當(dāng)x取1與3

時，y值相同，拋物線的對稱軸是__________.

答案X=1

7.（淮安市啟明外國語學(xué)校2010—2011學(xué)年度第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)期中試卷）如圖，菱形ABCD

的三個頂點(diǎn)在二次函數(shù)片&/一2&境（a<0）的圖象上，點(diǎn)A、B分別是該拋物線的頂

點(diǎn)和拋物線與y軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

答案：（2,匚）

8、（2011年北京四中模擬28）拋物線y=2f—i的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

答案：（0,1）

9、（2011浙江杭州模擬M）老師給出一個y關(guān)于x的函數(shù)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各指出

這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限；乙：函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限；區(qū)：當(dāng)

x<2時，y隨x的增大而減小；?。寒?dāng)x<2時y>0.已知這四位同學(xué)敘述都正確。請寫出滿足

上述所有性質(zhì)的一個函數(shù).

答案：答案不唯一.例如：y=*-2）2+1

10、（2011浙江杭州模擬15）甲、乙兩位同學(xué)對問題“求函數(shù)），=爐+'-的最小值”提出

x2

各H的想法c甲說：“可以用配方法,把它配成y=（K+L）2-2.所以函數(shù)的最小值為-2L

X

乙說：“我也用配方法，但我配成），=（工一工）2+2,最小值為2"。你認(rèn)為__________（填

X

寫“甲對”、“乙對”、“甲、乙都對”或“甲乙都不對"）的。你還可以用________法等方

法來解決.

答案：乙圖象（答案不唯一）

11、（2011年黃岡中考調(diào)研六）拋物線尸7/+28X+30的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

答案(—2,2)

12^已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m—1）x^+Zx+m圖像與坐標(biāo)軸有且只有2個交點(diǎn)，則m=

1±A/5

1或。或

答案:

13.（河北省中考模擬試卷）拋物線y=（x+i）?2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

答案：（1,2）

B組

1.（2011年三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月模擬）拋物線y=向上平移2個單位，再向右平移1

個單位后，得到的拋物線的解析式為一

I13

答案：一一（工一1）2+2或一一x2+x+-

222

2.（2011年三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)3月模擬）如圖，已知?！ǖ陌霃綖?,圓

心〃在拋物線上運(yùn)動，當(dāng)。夕與x軸相切時，圓心戶的坐標(biāo)

為?

答案：（6,2）或（―幾⑵

3.（2011年杭州三月月考）將二次函數(shù)y=/的圖象向右平移1個單位，再向上平移2

個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是^o

答案：y=（x-l）2+2

4.（2011天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）.如圖，在第一象限內(nèi)作射

線式;與x軸的夾角為30；在射線弦上取一點(diǎn)力,過點(diǎn)A作

月憶才軸于點(diǎn)〃在拋物線片V（?o）上取點(diǎn)只在y軸上取

A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,3）AB為半圓直徑，半圓

圓心M（1,0）,半徑為2,則“蛋圓”的拋物線部分的解析式為o經(jīng)過

點(diǎn)C的“蛋圓”的切線的解析式為0（08年益陽第20題）

答案：y=x'2x3,y=2x3

6.（2011年浙江杭州27模）我們知道，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律，可以由簡單的函數(shù)通過

平移后得到較復(fù)雜的函數(shù)，事實(shí)上，對于其他函數(shù)也是如此。如一次函數(shù)，反比例函數(shù)等。

3?21

請問y=-―-可以由y=—通過__________________________平移得到。

X-1X

答案：向右平移1個單位，再向上平移3個單位

7.（2011年浙江省杭州市模2）如圖，在第一象限內(nèi)作

射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取一點(diǎn)

A,過點(diǎn)A作AH_Lx軸于點(diǎn)H.在拋物線y=x?（x>0）

上取點(diǎn)P,在y軸上取點(diǎn)Q,使得以P,0,Q為頂點(diǎn)的

三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)

是.

答案：（^^,-）（丁,一）（3,V3）（2>/3?2）

3333y

8.（安徽蕪湖2011模擬）如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一

部分,其對稱軸為直線x=L若其與x軸一交點(diǎn)為A（3,0）,

則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集

是.

答案：x<l或x〉3

9.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）已知拋物線y=與3軸的一個交點(diǎn)為（〃2,0）,則代數(shù)

式加2一帆+2008的值為.

答案：2009

10.（浙江杭州進(jìn)化2011一模）老師給出一個y關(guān)于x的函數(shù)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各

指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限；乙：函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限：丙：

當(dāng)x<2時。，y隨x的增大而減小；?。寒?dāng)x<2時y>0.已知這四位同學(xué)敘述都正確。請寫出滿

足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù).

答案：答案不唯一.例如：），=（戈-2）2+1

G

11.（2011北京四中模擬）如圖示：己知拋物線C1,C2

關(guān)于x軸對稱，拋物線C：,G關(guān)于y軸對稱。如果拋

物線C?的解析式是y=-O2）2+1,那么拋物線C3

的解析式是___________________

第II題圖

12.（江西省九校2010-2011第一次聯(lián)考）將拋物線），=2/向下平移1個單位，得到的拋

物線是.

答案：y=2/l

13.（北京四中2011中考模擬12）一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①它的圖象不經(jīng)過第三象限；

②圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,1）；③當(dāng)X>-1時函數(shù)值），隨自變量x。

答案：）,=x+2（x，-2）,y=—,。<0）,），=*+2）2等（寫一個即可）

x

14.（北京四中2011中考模擬13）把拋物線），=--向上平移2個單位，那么所得拋物線與

x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離是.

答案：2叵;

15.（北京四中2011中考模擬14）拋物線y=（k+l）x2+W9開口向下，且經(jīng)過原點(diǎn)，則k=__,

答案：3;

三解答題

A組

1、（衢山初中2011年中考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別

為（0,2）,（3,2）,（2,3）.

（1）請?jiān)趫D中畫出△ABC向下平移3個單位的像△AQC；

（2）若一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1）中△AB'C的三個頂點(diǎn)，

求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

答案：20、(1)

(2)由題意得A,的坐標(biāo)分別是(0,1),(3,1),(2,0)

設(shè)過點(diǎn)A,B；C’的二次函數(shù)的關(guān)系式為)，=af+bx+c，則有

9a+3〃+c=-l

4。+2b+c=0

解得tz=--,/?=—,c=-l

22

，二次函數(shù)的關(guān)系式為一產(chǎn)+步】

2、(中江縣20n年初中畢業(yè)生診斷考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線與

x軸交于A、B兩點(diǎn)，D是拋物線的頂點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程

(3)在(2)的條件下，在X軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使AAPC的面積最大？如

果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積：如果不存在，請說明理由.

答案：(】()分)解：(1)解方程/一4犬—12=0得％=6,X2=-2.

AA(-2,0),B(6,0).

過D作DElx軸于E,VD是頂點(diǎn)，

???點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),.??E(2,0).

在RtZ\DAE中，???cosNDAB=交，/.ZDAE=45°,

2

???AE=DE=4,AD(2,4)

(由A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)解出二次函數(shù)解析式，不論用頂點(diǎn)式、兩根式還是一般式均可)

???拋物線的解析式為》二一4*一2)2+4(或?qū)懗蓎=一工f+x+3).

44

(2)VACXAD,由⑴ZDAE=450得：

ZBAC=45°,Z\ACG是等腰直角三角形.

工設(shè)C(a,b)(顯然a>0,b<0),

則6=一@一2,即C(a,-a-2)

???點(diǎn)C在拋物線上，???一a—2=-L(a-2)2+4

4

a-8a-20=0

解N得：ai=10,a2=-2(舍去)

AC(10,-12)

設(shè)直線AC的方程為>a+〃，代入A、C的坐標(biāo)，得

0=-2m+/?,[tn=

解之得：\

-12=10/7/+n.[n=-2.

???直線AC的解析式為y=-x-2.

(3)存在點(diǎn)P(4,3),使SAAPC量大=54.

理由如下：

作CG_Lx軸于G,PF〃y軸交x軸于Q,交AC于F.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是h,

1)

則G(10,0),P(h,一一(〃一2廠+4),F(h,-h-2)

4

1,1,

???PF=——(〃-2f+4-(-〃-2)=——/?2+2/2+5

44

△PCF的高等于QG.

SAAPC=SA>WF+SAKF

=-PF-AQ+-PF?QG

22

=-PF(AQ+QG)=-PF-AG

22

=-(--/22+2/74-5)x12

3、

=-1(/Z-4)2+54

3、（2011年北京四中四模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,-5）,（0,-4）和（1,1）.

求這個二次函數(shù)的解析式.

答案：設(shè)所求函數(shù)的解析式為），=〃/+加+c,把（一1,-5）,（0,一4）,（1,1）分

別代入，得

-5=a-b+c,4=2,

解這個方程組，得卜二3,所求的函數(shù)的解析式為y=2/十3.1-4

，-4二c,

}=a+b+c.c=-4.

4、（2011北京四中模擬7）已知二次函數(shù)），=ad+法+。，其中。>0,h2-4a2c2=0,

它的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，交點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B,且AB=2.

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)b<0時，過A的直線y=x+m與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C,在線段BC上依次取【）、

E兩點(diǎn)，若DE?=BD?+EC?,試確定NDAE的度數(shù)，并簡述求解過程。

答案解法一：（1）???y=奴2+〃工+。的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)

???一元二次方程ar?+瓜+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根-4ac=()

又vZ?2-4a2c2=0「.4。2c2=4ac>0

由AB=2,得A與B不重合，又a>0/.c>0/.ac=l

???二次函數(shù)與x軸，y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為44，0),B(0,c)或4(—工，0),8(0,c)

aa

222

在RtAABO中，OA+OB=AB,OA=±—=-fOB=c,AB=2

aa

(—)2+c2=4,整理得l+a>2=4/(2)

a

把(1)代入(2),解得。二軍或。二一乎(舍)把。二￡代入(1)得c=V2

222

二次函數(shù)解析式為y=^x2+2x+五或)，=^x2-2X+41

(2)當(dāng)b<0時，由二次函數(shù)的解析式

>■=—A2-2A+V2=—(A-V2)2,得4vL0),6(0,V2)

22

又;直線y=x+過點(diǎn)4后,0)

/.m=-V2

/.y=x-V2

V2,「

?y=—x—2x+V2.,

由f2解7得

y=X-42

直線與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2JLy[2)

過C點(diǎn)作CF—X軸，垂足為F,可推得AB二AC,NBAO90。(如圖所示)

CE2+BD2=DE2

可證AABD絲AACM從而可證ADAEgAMAE

...EM=DE

.'.Z1=Z2,ZDAE=ZEAMAZDAM=ZBAC=90°AZDAE=45°

5、(2011北京四中模擬8)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm,點(diǎn)A、

C分別在x軸、y軸的正半軸上。拋物線y=+/以斗。經(jīng)過點(diǎn)B、C。

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D、E分別是AB、BC上的動點(diǎn)，且點(diǎn)D從點(diǎn)A

開始，以lcm/s的速度沿AB向點(diǎn)B移動，問時點(diǎn)E從

點(diǎn)B開始，以lcm/s的速度沿BC向點(diǎn)C移動。運(yùn)動t

秒(tW2)后，能否在拋物線上找到一點(diǎn)P,使得四

邊形BEDP為平行四邊形。如果能，請求出t值和點(diǎn)P

的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由。

答案

2。-匕-3+VT7(V17+1&

)，=一廠+2x+2;能，1=---------,P--------,-------

2\22/

6、(2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考)已知，二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象過點(diǎn)A(—1,0)

和點(diǎn)B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,

(1)求拋物線的解析式；

(2)求aABC的面積。

答案解：(I)y=(x+l)(x3)=x22x3............2分

(2)AB=3(1)=4............4分

SAABC=-X4X3=6............8分

2

7、(2011淮北市第二次月考五校聯(lián)考)丁丁推鉛球的出手高度為，在如圖所示的直角坐標(biāo)

系中，鉛球運(yùn)動路線是拋物線y=-0.1(x-k)2+2.5,求鉛球的落點(diǎn)與丁丁的距離。

答案y=0.1x"+2.5............2分

2+2.5=1.6k=±3k=3............4分

2

0.1(x-3)+2.5=0x產(chǎn)一2(舍去)X2=8

所以，鉛球的落點(diǎn)與丁丁的距離為8cm.............8分

8.（淮安市啟明外國語學(xué)校2010—2011學(xué)年度第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)期中試卷）如圖所示，在

平面直角坐標(biāo)系中，拋物線片一+以出（吊0）經(jīng)過4-1,0）、4（3。）兩點(diǎn)，拋物線與

y軸交點(diǎn)為3其頂點(diǎn)為D,連接BD,點(diǎn)P是線段BD上一個動點(diǎn)（不與B、D重合），過

點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E,連接BE.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,APBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變

量x的取值范圍，并求出s的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時，過點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F,連接EF,把

△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P',請直接寫出P'點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P'是

答案：（1）拋物線解析式為：y=-x2+2x+3.頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,4）.

（2）設(shè)直線8。解析式為：y=kx+b（女工0）,把8、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,

3左+6=0,

得卜+人4解得％=-2,8=6..??直線AD解析式為y=-2x+6.

,s=^-PE,0E=—=—^(―2x+6)=—x2+3xs=—x2+3x(1<x<3)

22-2y

9

產(chǎn)-4+2+—=—

I44

???當(dāng)x=2時，s取得最大值,

2

3

（3）當(dāng)s取得最大值，x=-

2

???四邊形PEOb是矩形.

作點(diǎn)尸關(guān)于直線環(huán)的對稱點(diǎn)P,連接PE、PF.

過P'作P7/_Ly軸于〃，PF交），軸于點(diǎn)

設(shè)=則P'M=3—m,PrE=~.

2

在Rt△尸MC中，由勾股定理,

—+(3-/n)2=m2.解得m=—.

8

9

,/CM?P'H=PM?PE、：.P'H=—.

10

FHFP'6

由,可得一=一，EH=-.

EP'EM5

OH=3--=-..??。‘坐標(biāo)(-2,2].不在拋物線上。

55I105)

9.（2011年浙江省杭州市戒南初級中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）已知二次函數(shù)y=aF+8x+c的

圖象Q與x軸有且只有一個交點(diǎn)P,與y軸的交點(diǎn)為B（0,4）,且ac=b,

（1）求這個二次函數(shù)的解析式。

（2）將一次函數(shù)y=-3x的圖象作適當(dāng)平移，使它經(jīng)過點(diǎn)P,記所得的圖象為L,圖象L

與Q的另一個交點(diǎn)為C,請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)D,使得4CDP的周長最短.

答案：（1）由B（0,4）得，c=4.

。與x軸的交點(diǎn)P（-2.0）,

2a

I

bc

山條件ac=〃，得一=c：所以2,即外

a2a2

b=4a,

所以解得＜

4。-2/?+4=0.人=4.

所求二次函數(shù)的解析式為y=/+4x+4.

（2）設(shè)圖象L的函數(shù)解析式為尸-3戶4因圖象L過

點(diǎn)夕（一2,0）,

所以〃=-6,即平移后所得一次函數(shù)的解析式為

y=-3x-6.

令一3x-6=f+4.V+4,

解得$=-2,x2=-5.

將它們分別代入尸一3x-6,

得y=0，y2=9.

所以圖象上與。的另一個交點(diǎn)為。（一5,9）.

???點(diǎn)尸（一2,0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)尸'（2,0）

Q1Q1Q

則直線夕'的解析式為y=,且與y軸的交點(diǎn)為。（（），—）

777

即在y軸上使得C、c以最小的點(diǎn)是。（0，y）

10.（2011年上海市盧灣區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學(xué)模擬試題）已知：拋物線），=a/+/”.+。經(jīng)過點(diǎn)

0（0,0）,4（7,4）,且對稱軸/與x軸交于點(diǎn)8（5,。）.

（1）求拋物線的表達(dá)式：

（5

（2）如圖，點(diǎn)E、/分別是），軸、對稱軸/上的點(diǎn)，且四邊形EC厲尸是矩形，點(diǎn)C5,-是

BF上一點(diǎn)、,將&5OC沿著直線OC翻折，8點(diǎn)與線段所上的。點(diǎn)重合，求。點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G是對稱軸/上的點(diǎn)，直線DG交CO于點(diǎn)H,S^H:=\:4,

求G點(diǎn)坐標(biāo).

答案：（1）由題意得＜c=0,

49?I7Z?Ic=4

4

21

解，得件不??.y=--x2

21

c=().

(2)???MOC與ADOC重合，O8=5,BC=|,；?B0=D0=5,CD=BC=3

/OBC=NODC=X)。,:?NEDO+NFDC=9(中,又N￡W+NE8=90°,

/.ZEOD=ZFDC,?：NOED=/DFC=W,/.AEODAFDC\

4.4EDHE()二,OD-M5、.

~FC~~DF~~CD~~5

2

???四邊形。比3是矩形，，族=08,EO=FB,

設(shè)FC=x,貝ij￡D=2x,。產(chǎn)=5-2x,AEO=\0-4x,

53,、

A10-4x