PAGE1-2.4最大值與最小值問(wèn)題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解最值概念，并能應(yīng)用柯西不等式、平均值不等式求函數(shù)的最值.2.能利用不等式解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．教材整理最值問(wèn)題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型1．最值設(shè)D為f(x)的定義域，假如存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，則稱(chēng)f(x0)為f(x)在D上的最大(小)值，x0稱(chēng)為f(x)在D上的最大(小)值點(diǎn)．尋求函數(shù)的最大(小)值及最大(小)值問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為最值問(wèn)題，它屬于更一般的問(wèn)題——極值問(wèn)題的一個(gè)特殊的狀況．2．分別常數(shù)法分別常數(shù)法就是在分子中湊出與分母相同的項(xiàng)，然后約分．這在求含有分式的最值問(wèn)題時(shí)常常用到．這種類(lèi)型的最值問(wèn)題也可以用去分母的方法轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，然后利用判別式求最值．用平均值不等式來(lái)解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，特殊要留意等號(hào)成立的條件．1．已知0＜x＜1，則x(1－x)取最大值時(shí)x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)[解析]∵0＜x＜1，∴x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up14(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．[答案]B2．已知t＞0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為_(kāi)_______．[解析]∵t＞0，∴y＝eq\f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2－4＝－2.[答案]－2利用柯西不等式求最值【例1】設(shè)x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，l，m，n是給定的正數(shù)，并且ax＋by＋cz＝δ為常數(shù)，求ω＝eq\f(l,x)＋eq\f(m,y)＋eq\f(n,z)的最小值．[精彩點(diǎn)撥]題設(shè)中的ω與δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．[自主解答]由柯西不等式得ω·δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(l,x))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(m,y))))eq\s\up14(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n,z))))eq\s\up14(2)·[(eq\r(ax))2＋(eq\r(by))2＋(eq\r(cz))2]≥(eq\r(al)＋eq\r(bm)＋eq\r(cn))2，所以ω≥eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).由柯西不等式成立的條件得x＝keq\r(\f(l,a))，y＝keq\r(\f(m,b))，z＝keq\r(\f(n,c)).其中，k＝eq\f(δ,\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)).它們使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ)，所以ω的最小值為eq\f(\r(al)＋\r(bm)＋\r(cn)2,δ).利用柯西不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件是否滿意．1．設(shè)x，y，z∈R，且eq\f(x－12,16)＋eq\f(y＋22,5)＋eq\f(z－32,4)＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解]依據(jù)柯西不等式，知[42＋(eq\r(5))2＋22]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,4)))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,\r(5))))eq\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)))≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4·\f(x－1,4)＋\r(5)·\f(y＋2,\r(5))＋2·\f(z－3,2)))eq\s\up14(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x－1,16)＝eq\f(y＋2,5)＝eq\f(z－3,4)，即x＝eq\f(21,5)，y＝－1，z＝eq\f(19,5)或x＝－eq\f(11,5)，y＝－3，z＝eq\f(11,5)時(shí)等號(hào)成立．∴25×1≥(x＋y＋z－2)2.∴|x＋y＋z－2|≤5，∴－3≤x＋y＋z≤7，即x＋y＋z的最大值為7，最小值為－3.利用二次函數(shù)求最值【例2】某地區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)峻制約著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷(xiāo)售，該地區(qū)政府每投資x萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋10萬(wàn)元，為順應(yīng)開(kāi)發(fā)大西北的雄偉決策，該地區(qū)政府在制訂經(jīng)濟(jì)發(fā)展十年規(guī)劃時(shí)，擬開(kāi)發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開(kāi)發(fā)前后用于該項(xiàng)目投資的專(zhuān)項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是60萬(wàn)元，若開(kāi)發(fā)該產(chǎn)品，必需在前5年中，每年從60萬(wàn)元專(zhuān)款中拿出30萬(wàn)元投資修建一條馬路，且5年可以修通，馬路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷(xiāo)售，每投資x萬(wàn)元，可獲利潤(rùn)Q＝－eq\f(159,160)(60－x)2＋eq\f(119,2)(60－x)萬(wàn)元．問(wèn)：從10年的總利潤(rùn)來(lái)看，該項(xiàng)目有無(wú)開(kāi)發(fā)價(jià)值？[精彩點(diǎn)撥]分別求出開(kāi)發(fā)前、后該項(xiàng)目10年利潤(rùn)的最大值，比較大小即可．[自主解答]若按原來(lái)投資環(huán)境不變，由題設(shè)知，每年只需從60萬(wàn)元中拿出40萬(wàn)元投資，可獲最大利潤(rùn)10萬(wàn)元．這樣10年總利潤(rùn)最大值為W＝10×10＝100(萬(wàn)元)．若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)，則前5年中，當(dāng)x＝30時(shí)，Pmax＝eq\f(75,8)，前5年總利潤(rùn)為W1＝eq\f(75,8)×5＝eq\f(375,8)(萬(wàn)元)；設(shè)后5年中，x萬(wàn)元用于本地銷(xiāo)售投資，60－x萬(wàn)元用于異地銷(xiāo)售投資，則總利潤(rùn)W2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,160)x－402＋10))×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(159,160)x2＋\f(119,2)x))×5＝－5(x－30)2＋4500，當(dāng)x＝30時(shí)，(W2)max＝4500.∴10年總利潤(rùn)最大值為eq\f(375,8)＋4500(萬(wàn)元)．因eq\f(375,8)＋4500>100，故該項(xiàng)目具有極大的開(kāi)發(fā)價(jià)值．1．本題事實(shí)上是兩個(gè)二次函數(shù)的疊加問(wèn)題，疊加后的二次函數(shù)最值要比疊加前的二次函數(shù)最值大，從而得解．本題的現(xiàn)實(shí)意義也很大．2．解不等式應(yīng)用題的步驟(1)仔細(xì)審題，抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引入數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化；(3)求解不等式；(4)還原實(shí)際問(wèn)題．2．某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱(chēng)征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，安排可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了激勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，確定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)料收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫(xiě)出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)整后，不少于原安排稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．[解](1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(1＋2x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為200a(1＋2x%)萬(wàn)元．依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原安排稅收為200a·10%＝20依題意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡(jiǎn)得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范圍是0<x≤2.利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題[探究問(wèn)題]利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是什么？[提示]利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，一般可分四個(gè)步驟：(1)閱讀理解材料，弄清問(wèn)題背景．(2)建立合理的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．(3)運(yùn)用不等式的學(xué)問(wèn)、手段探討不等式關(guān)系．(4)做出結(jié)論．然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函數(shù)等方法來(lái)求最值．【例3】如圖所示，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線翻折成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？[精彩點(diǎn)撥]設(shè)切去的小正方形的邊長(zhǎng)為x，由題意可知，折成的盒子的底面邊長(zhǎng)為a－2x，高為x，這時(shí)盒子的容積為V＝(a－2x)2x，再利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)－幾何平均值不等式，變形為xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))eq\s\up14(3)求解即可．[自主解答]設(shè)切去的小正方形的邊長(zhǎng)為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,2)))，無(wú)蓋方底盒子的容積為V，則V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)·(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2x＋a－2x＋4x,3)))eq\s\up14(3)＝eq\f(2a3,27).當(dāng)且僅當(dāng)a－2x＝a－2x＝4x，即當(dāng)x＝eq\f(a,6)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)V取最大值eq\f(2a3,27)，即當(dāng)切去的小正方形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊長(zhǎng)的eq\f(1,6)時(shí)，折成的盒子容積最大．在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，閱讀理解題意，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，在求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，平均值不等式是常用的手段之一．3.用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度勻稱(chēng)且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器的高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米．(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值．(求解本題時(shí)，不計(jì)容器的厚度)[解](1)設(shè)h′為正四棱錐的斜高，由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4·\f(1,2)h′a＝2，,h2＋\f(1,4)a2＝h′2，))解得a＝eq\f(1,\r(h2＋1))(h>0)．(2)由V＝eq\f(1,3)ha2＝eq\f(h,3h2＋1)(h>0)，易得V＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,h)))).∵h(yuǎn)＋eq\f(1,h)≥2eq\r(h·\f(1,h))＝2，∴V≤eq\f(1,6).等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)h＝eq\f(1,h)，即h＝1時(shí)取得．故當(dāng)h＝1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為eq\f(1,6)立方米．1．已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．4[解析]∵4＝lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)，∴l(xiāng)gx·lgy≤4.[答案]D2．已知a，b為正數(shù)，且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6) B．eq\r(6)C．6 D．12[解析](eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．[答案]D3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是()A．第9項(xiàng) B．第8項(xiàng)和第9項(xiàng)C．第10項(xiàng) D．第9項(xiàng)和第10項(xiàng)[解析]an＝eq\f(n,n2＋90)＝eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(n×\f(90,n)))＝eq\f(1,6\r(10))，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(90,n)，即n＝3eq\r(10)時(shí)等號(hào)成立．又n為正整數(shù)，檢驗(yàn)可知選D.[答案]D4．函數(shù)y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值為_(kāi)_______．[解析]因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閇1,5]，且y>0，則y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(2)·eq\r(5－x)≤eq\r(52＋\r(2)2)×eq\r(\r(x－1)2＋\r(5－x)2)＝eq\r(27×4)＝6eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(2)·eq\r(x－1)＝5·eq\r(5－x)時(shí)，等號(hào)成立，即x＝eq\f(127,27)時(shí)，函數(shù)取最大值6eq\r(3).[答案]6eq\r(3)5．(1)求函數(shù)y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值；(2)求函數(shù)y＝cos2x(1＋sinx)的最大值；(3)設(shè)x>1，求函數(shù)y＝log2x＋logx4的最小值．[解](1)設(shè)l＝eq\r(x2＋4)，則l≥2，于是y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝l＋e