PAGE9-其次節(jié)萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知識脈絡(luò)1.會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量．(重點(diǎn))2．了解海王星和冥王星的發(fā)覺方法．3．會(huì)推導(dǎo)第一宇宙速度，知道三種宇宙速度的含義．4．知道人造衛(wèi)星的原理，能夠確定人造衛(wèi)星線速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、計(jì)算天體的質(zhì)量1．利用月球計(jì)算地球質(zhì)量(1)思路：月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們之間的萬有引力供應(yīng)．(2)推導(dǎo)：月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力F＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r.地球?qū)υ虑虻娜f有引力充當(dāng)向心力，則eq\f(GMm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，則M＝eq\f(4π2r3,GT2).2．一般方法已知衛(wèi)星繞行星(或行星繞中心天體)運(yùn)動(dòng)的周期和衛(wèi)星與行星(或行星與中心天體)之間的距離，也可以算出行星(或中心天體)的質(zhì)量．二、發(fā)覺未知天體1．海王星的發(fā)覺英國劍橋高校的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維烈依據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日柏林天文臺的望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)他們筆下計(jì)算出來的位置，最終，一顆新的行星——海王星被發(fā)覺了．2．其他天體的發(fā)覺近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)覺了冥王星等幾個(gè)較大的天體．三、人造衛(wèi)星與宇宙速度1．牛頓的設(shè)想山頂上一門大炮若以足夠大的速度水平射出一顆炮彈，它將圍繞地球旋轉(zhuǎn)而不再落回地面．2．人造衛(wèi)星的向心力地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力供應(yīng)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.3．運(yùn)行規(guī)律v與軌道半徑r：v＝eq\r(\f(GM,r)).ω與軌道半徑r：ω＝eq\r(\f(GM,r3)).T與軌道半徑r：T＝2πeq\r(\f(r3,GM)).a與軌道半徑r：a＝eq\f(GM,r2).離地球越遠(yuǎn)的衛(wèi)星，線速度、角速度、加速度越小，周期越長，即越遠(yuǎn)越慢．4．宇宙速度(1)第一宇宙速度，又叫環(huán)繞速度，是指人造地球衛(wèi)星在地面旁邊繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，其大小為7.9km/s.(2)其次宇宙速度，又叫脫離速度，是指物體克服地球引力的束縛，成為繞太陽運(yùn)動(dòng)的行星或飛到其他行星上去所必需的最小放射速度，其大小為11.2km/s.(3)第三宇宙速度，又叫逃逸速度，是指在地面上放射物體，使之最終脫離太陽引力的束縛飛到太陽系以外的宇宙空間所必需的最小速度，其大小為16.7km/s.1．思索推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)利用萬有引力等于向心力，可以求出中心天體的質(zhì)量，也能求出衛(wèi)星的質(zhì)量． ()(2)利用地球半徑、表面重力加速度和萬有引力常量能求出地球的質(zhì)量． ()(3)知道行星的軌道半徑及運(yùn)行周期，可計(jì)算出中心天體的質(zhì)量． ()(4)海王星、冥王星的發(fā)覺表明白萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性． ()(5)科學(xué)家在觀測雙星系統(tǒng)時(shí)，同樣可以用萬有引力定律來分析． ()(6)冥王星被稱為“筆尖下發(fā)覺的行星”． ()(7)7.9km/s是人造地球衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度． ()(8)在地面上放射人造衛(wèi)星的最小速度是7.9km/s. ()(9)離地球越遠(yuǎn)的衛(wèi)星，放射速度越大，而環(huán)繞速度也越大． ()【提示】(1)×利用萬有引力等于向心力，不能計(jì)算衛(wèi)星質(zhì)量．(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×海王星被稱為“筆尖下發(fā)覺的行星”．(7)√(8)√(9)×離地球越遠(yuǎn)的衛(wèi)星，環(huán)繞速度越?。?．下列說法正確的是()A．海王星是人們干脆應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)覺的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)覺的C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)覺的D．天王星的運(yùn)行軌道與由萬有引力定律計(jì)算的軌道存在偏差，其緣由是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)覺了海王星D[由行星的發(fā)覺歷史可知，天王星并不是依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)覺的；海王星不是通過觀測發(fā)覺，也不是干脆由萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)覺的，而是人們發(fā)覺天王星的實(shí)際軌道與理論軌道存在偏差，然后運(yùn)用萬有引力定律計(jì)算出“新”星的軌道，從而發(fā)覺了海王星．由此可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確．]3．據(jù)報(bào)道，最近在太陽系外發(fā)覺了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個(gè)在地球表面重量為600N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60N．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為()A．0.5 B．2C．3.2 D．4B[在忽視地球自轉(zhuǎn)的狀況下，萬有引力等于物體的重力．即G地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))同樣在行星表面有G行＝Geq\f(M行m,R\o\al(2,行))以上二式相比可得eq\f(G地,G行)＝eq\f(M地,R\o\al(2,地))×eq\f(R\o\al(2,行),M行)＝eq\f(1,6.4)×eq\f(R\o\al(2,行),R\o\al(2,地))eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f(6.4×600,1×960))＝2故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2故選B.]4．探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則變軌后與變軌前相比()A．軌道半徑變小 B．向心加速度變小C．線速度變小 D．角速度變小A[探測器做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力供應(yīng)向心力，則Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知周期T較小的軌道，其半徑r也小，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r，整理得an＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(G\f(M,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知半徑變小，向心加速度變大，線速度變大，角速度變大，故B、C、D錯(cuò)誤．]天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運(yùn)動(dòng)的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的天體(或衛(wèi)星)的向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量．2．計(jì)算天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法：(1)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，依據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得mg＝Geq\f(M地m,R2)，解得地球質(zhì)量為M地＝eq\f(R2g,G).(2)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)3．計(jì)算天體的密度若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)特殊地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).【例1】假設(shè)在半徑為R的某天體上放射一顆該天體的衛(wèi)星．若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知萬有引力常量為G.(1)則該天體的密度是多少？(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？思路點(diǎn)撥：①衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑，利用eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)及ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)求解．②利用eq\f(GMm,R＋h2)＝eq\f(m4π2R＋h,T2)及ρ公式求解．[解析]設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.(1)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1))依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)問可知天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT\o\al(2,1)).(2)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)，忽視自轉(zhuǎn)有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))(R＋h)M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3).[答案](1)eq\f(3π,GT\o\al(2,1))(2)eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)留意區(qū)分R、r、h的意義：一般狀況下，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離星球表面的高度，r＝R＋h.1．火星繞太陽的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星與太陽間的引力供應(yīng)火星運(yùn)動(dòng)的向心力，已知火星運(yùn)行的軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，引力常量為G，試寫出太陽質(zhì)量的表達(dá)式．[解析]設(shè)太陽質(zhì)量為M，火星的質(zhì)量為m火星與太陽間的引力供應(yīng)向心力，則有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，v＝eq\f(2πr,T).兩式聯(lián)立得M＝eq\f(4π2r3,GT2).[答案]eq\f(4π2r3,GT2)人造衛(wèi)星與宇宙速度1．第一宇宙速度的推導(dǎo)方法方法(一)設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星到地心的距離為r，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v，依據(jù)萬有引力定律和牛頓其次定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，v＝eq\r(\f(GM,r)).應(yīng)用近地條件r＝R(R為地球半徑)，R＝6400km，M＝6×1024kg，得v＝eq\r(\f(GM,R))≈7.9km/s.方法(二)在地面旁邊，重力等于萬有引力，此力供應(yīng)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(已知地球半徑R、地面重力加速度g)．由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝eq\r(6400×103×9.8)m/s≈7.9km/s.2．衛(wèi)星的軌道特點(diǎn)(如圖所示)(1)若為橢圓軌道，地心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)遵循開普勒定律．(2)若為圓軌道，地心是圓周的圓心，由萬有引力供應(yīng)向心力．(3)軌道平面：肯定過地心，可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，可以跟赤道平面成隨意角度．3．人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力可得4．地球同步衛(wèi)星(1)定義：相對于地面靜止的衛(wèi)星，又叫靜止衛(wèi)星．(2)六個(gè)“肯定”．①同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一樣．②同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T＝24h.③同步衛(wèi)星的運(yùn)行角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度．④同步衛(wèi)星的軌道平面均在赤道平面上，即全部的同步衛(wèi)星都在赤道的正上方．⑤同步衛(wèi)星的高度固定不變．由eq\f(GMm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2知r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2)).由于T肯定，故r肯定，而r＝R＋h，h為同步衛(wèi)星離地面的高度，h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R.又因GM＝gR2，代入數(shù)據(jù)T＝24h＝86400s，g取9.8m/s，R＝6.38×106m，得h＝3.6×104km.⑥同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度大小肯定：設(shè)其運(yùn)行速度為v，由于Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝eq\r(\f(9.8×6.38×1062,6.38×106＋3.6×107))m/s＝3.1×103m/s.【例2】我國放射了一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥一號”．設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,81)，月球的半徑約為地球半徑的eq\f(1,4)，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的最大速率約為()A．0.4km/s B．1.8km/sC．11km/s D．36km/s思路點(diǎn)撥：①繞月衛(wèi)星的最大速率即為月球的第一宇宙速度．②由v＝eq\r(\f(GM,r))推出月球第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比．B[星球的第一宇宙速度即為圍繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為該星球半徑時(shí)的環(huán)繞速度，由萬有引力供應(yīng)向心力即可得出這一最大環(huán)繞速度．衛(wèi)星所需的向心力由萬有引力供應(yīng)，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，又由eq\f(M月,M地)＝eq\f(1,81)、eq\f(r月,r地)＝eq\f(1,4)，故月球和地球上第一宇宙速度之比eq\f(v月,v地)＝eq\f(2,9)，故v月＝7.9×eq\f(2,9)km/s≈1.8km/s，因此B項(xiàng)正確．]天體運(yùn)動(dòng)問題解答技巧1．比較圍繞同一個(gè)中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的v、ω、T、an等物理量的大小時(shí)，可考慮口訣“越遠(yuǎn)越慢”(v、ω、T)、“越遠(yuǎn)越小”(an)．2．涉及繞同一個(gè)中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的計(jì)算問題時(shí)，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，則應(yīng)考慮黃金代換式gR2＝GMeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＝G\f(Mm,R2)))的應(yīng)用．3．若已知量或待求量中涉及v或ω或T，則應(yīng)考慮從Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r中選擇相應(yīng)公式應(yīng)用．2．(2024·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火．已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定()A．a(chǎn)金＞a地＞a火 B．．a(chǎn)火＞a地＞a金C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金[答案]A1．設(shè)土星繞太陽的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若測得土星到太陽的距離為R，土星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為T，萬有引力常量G已知，依據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有()A．土星線速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的質(zhì)量D．太陽的質(zhì)量C[依據(jù)已知數(shù)據(jù)可求：土星的線速度大小v＝eq\f(2πR,T)、土星的加速度a＝eq\f(4π2,T2)R、太陽的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，無法求土星的質(zhì)量，所以選C.]2．過去幾千年來，人類對行星的相識與探討僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)覺拉開了探討太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為