7.1&.7.2定積分的概念和性質(zhì)第一部分定積分的概念實(shí)例1（求曲邊梯形的面積）一、問(wèn)題的提出abxyoy=f(x)如圖：設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)、連續(xù),由直線x=a,x=b,y=0,及曲線y=f(x)所圍成的圖形,稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.baxyobaxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．(1)

已知矩形面積＝高×底將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,稱為子區(qū)間.過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,0xyaby=f(x)記分點(diǎn)為(2)在每個(gè)小區(qū)[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)

i小曲邊梯形面積長(zhǎng)度(3)

曲邊梯形面積將[a,b]分得越細(xì),近似公式越精確.于是:

思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．實(shí)例2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程.設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng).已知速度V=V(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上t的連續(xù)函數(shù).計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S.(1)區(qū)間分劃在[T1,T2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)將[T1,T2]分成n個(gè)小段[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn](2)求近似:在每個(gè)子區(qū)間[ti-1,

ti]上任取一點(diǎn)

i由時(shí)刻ti-1到時(shí)刻ti走過(guò)的路程為

Si

(3)作和:總路程將時(shí)間間隔[ti-1,

ti]分得越細(xì),近似公式越精確.于是:上述兩個(gè)問(wèn)題,盡管背景不同,意義不同,但其實(shí)質(zhì)都是計(jì)算一種和式的極限,事實(shí)上,就是求給定函數(shù)的定積分.總之:二、定積分定義1.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,將[a,b]任意分成n個(gè)子區(qū)間,分點(diǎn)為在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,

xi]上任取一點(diǎn)

i,

i

[xi-1,

xi],函數(shù)

f(x)在[a,b]上的定積分.記成則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,這個(gè)極限值就稱為被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和(1)定積分是積分和式的極限，是一個(gè)數(shù)值，注意：(2)注意在定積分的定義中的兩個(gè)任意性，函數(shù)可積即意味著極限值與對(duì)區(qū)間的分割方式及在區(qū)間

上點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)；定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān).即有定理1定理2定理3問(wèn)題:三、積分存在定理（可積的充分條件）boxya(1)若當(dāng)x

[a,b]時(shí),

Ay=f(x)連續(xù)函數(shù)f(x)0四、定積分的幾何意義(2)若當(dāng)x

[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)oxyaby=f(x)Af(x)0,

oxy

一般，曲邊梯形的面積；而

的幾何意義則是曲邊梯形面積的代數(shù)和。abA1A2A3A4++(3)若當(dāng)x

[a,b]時(shí),連續(xù)函數(shù)f(x)既取得正值,又取得負(fù)值時(shí)其中Ai表示第部分圖形

的面積.例1由定積分的幾何意義可得：

xyOaxyO例1由定積分的幾何意義，指出下列積分的值。

a-axyO例1由定積分的幾何意義可得：

－xOy例1由定積分的幾何意義可得：

0xy=x2y解:

因?yàn)閥=x2在[0,1]上連續(xù),定積分存在,將區(qū)間[0,1]等分成n等份,

分點(diǎn)為例2于是例3.用定積分表示下列極限:解:例4

將和式極限表示成定積分.解：原式第二部分定積分的性質(zhì)對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:（3）定積分與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與積分變量無(wú)關(guān)。即性質(zhì)1:設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上可積,則f(x)

g(x)在[a,b]可積,且證:推論

有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的積定分的代數(shù)和，即性質(zhì)1可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形性質(zhì)2:

設(shè)f(x)在[a,b]上可積,則k

f(x)在[a,b]可積,且證:性質(zhì)3:

設(shè)f(x)在[a,b]上可積,a<c<b,則f(x)分別此時(shí),c稱為內(nèi)分點(diǎn).在[a,c],[c,b]上可積,且xyObac性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，這個(gè)性質(zhì)可用于求分段函數(shù)的定積分。推論:

設(shè)f(x)在[a,c]上可積,a<b<c,

則:此時(shí),c稱為[a,b]的外分點(diǎn).或f(x)在[c,b]上可積,c<a<b,

總之：不論的相對(duì)位置如何,性質(zhì)3總成立.性質(zhì)4:設(shè)在[a,b]上,f(x)1.則性質(zhì)5:設(shè)f(x)在[a,b]上可積,且f(x)0.則推論1:如果在[a,b]上可積,且f(x)

g(x).

則例5

在下列兩個(gè)定積分之間添加適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)

（2）（1）例6．比較積分的大小：

解：設(shè)

表明，單調(diào)增加，且

從而

即

證得解：顯然于是練習(xí)推論2:

證:即:性質(zhì)6:

設(shè)M和m分別是f(x)在[a,b]上的最大值證:即:及最小值,則（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）例如:

解例7解例8例9證明證設(shè)令得駐點(diǎn)x=0，又最小值為即性質(zhì)7:

(定積分中值定理)設(shè)

f(x)在[a,b]上連續(xù),則證:

由于

f(x)在[a,b]上連續(xù),所以f(x)在[a,b]上存在最大值M,最小值m,得由介值定理

[a,b].使

即:在[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)

,使得性質(zhì)7的幾何意義：

.

)(的矩形的面積為xf],[],[為底邊，以曲線，使得以上至少有一在xbaba)(的面積等于同一底邊而高為曲邊的曲邊梯形xfy=解由積分中值定理知有使例10

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.

如已知某地某時(shí)自0至24時(shí)天氣溫度曲線為f(t),t為時(shí)間，則表示該地、該日的平均氣溫.

如已知某河流在某處截面上各點(diǎn)的水深為h(x),(a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流在該截面處的平均水深為.小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4．典型問(wèn)題（１）估計(jì)積分值；（２）不計(jì)算定積分比較積分大小．練習(xí)

求連續(xù)函數(shù),使它滿足解：等式兩邊在[0，1]上積分得常數(shù)0xy0xy1觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．贈(zèng)送精美圖標(biāo)1、字體安裝與設(shè)置如果您對(duì)PPT模板中的字體風(fēng)格不滿意，可進(jìn)行批量替換，一次性更改各頁(yè)面字體。在“開(kāi)始”選項(xiàng)卡中，點(diǎn)擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點(diǎn)擊“替換”按鈕，完成。852、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁(yè)面，您可以根據(jù)需要替換這些圖片，下面介紹兩種替換方法。方法一：更改圖片選中模版中的圖片（有些圖片與其他對(duì)象進(jìn)行了組合，選擇時(shí)一定要選中圖片本身，而不是組合）。單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“更改圖片”，選擇要替換的圖片。（如下圖）注意：為防止替換圖片發(fā)生變形，請(qǐng)使用與原圖長(zhǎng)寬比例相同的圖片。85PPT放映設(shè)置PPT放映場(chǎng)合不同，放映的要求也不同，下面將例舉幾種常用的放映設(shè)置方式。讓PPT停止自動(dòng)播放1.單擊”