第四講數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式1/30一數(shù)學(xué)歸納法2/30學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握數(shù)學(xué)歸納法概念，利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式問題；2．學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)幾何問題、證實(shí)整除性等問題．3/30

課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練一數(shù)學(xué)歸納法課前自主學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)4/30課前自主學(xué)案1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法適合用于證實(shí)一個(gè)與_______________相關(guān)命題．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法步驟是：(1)(歸納奠基)_________________________________

_________________；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，_________________________．(3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n≥n0自然數(shù)都成立．無限多個(gè)正整數(shù)驗(yàn)證當(dāng)n＝n0(n0為命題成立起始自然數(shù))時(shí)命題成立推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)命題也成立5/30思索感悟在數(shù)學(xué)歸納法中n0是什么樣數(shù)？提醒：n0是適合命題正整數(shù)中最小值，有時(shí)是n0＝1或n0＝2，有時(shí)n0值也比較大，不一定是從1開始取值．6/30課堂互動(dòng)講練用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式問題考點(diǎn)一考點(diǎn)突破例17/308/309/30【名師點(diǎn)評(píng)】利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)時(shí)，兩個(gè)步驟缺一不可，步驟(1)是證實(shí)歸納基礎(chǔ)，步驟(2)是證實(shí)主體，它反應(yīng)了無限遞推關(guān)系．10/30變式訓(xùn)練1求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．證實(shí)：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，等式右邊＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5…·(2k－1)成立．11/30那么n＝k＋1時(shí)，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)(2)可知對(duì)任何n∈N＋等式均成立．12/30用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)幾何問題考點(diǎn)二例2

平面上有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，而且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【思緒點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)幾何問題，主要是搞清楚當(dāng)n＝k＋1時(shí)比n＝k時(shí)分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，本題中第k＋1個(gè)圓被原來k個(gè)圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在部分分成了兩部分，此時(shí)共增加了2k個(gè)部分，問題就得到了處理．13/30【證實(shí)】

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以，n＝1時(shí)命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．假如增加一個(gè)滿足條件任一個(gè)圓，則這個(gè)圓必與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn)．這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧，每段弧把它所在原有平面分成為兩部分．所以，這時(shí)平面被分割總數(shù)在原來基礎(chǔ)上又增加了2k部分，即有14/30f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)＝n2－n＋2也成立．依據(jù)(1)、(2)，可知n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【名師點(diǎn)評(píng)】相關(guān)諸如這類問題論證，關(guān)鍵在于分析清楚n＝k與n＝k＋1時(shí)二者差異，這時(shí)經(jīng)常借助于圖形直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子給予描述，建立起f(k)與f(k＋1)之間遞推關(guān)系．15/3016/30則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即增加一條直線l，因?yàn)槿魏蝺蓷l直線不平行，所以l與k條直線都相交,有k個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)槿魏稳龡l直線不共點(diǎn)，所以這k個(gè)交點(diǎn)不一樣于k條直線交點(diǎn)，且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同，如此k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k＋1段，每一段把它所在平面區(qū)域分為兩部分，故新增加了k＋1個(gè)平面部分．17/3018/30用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)整除性考點(diǎn)三例3

用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．【思緒點(diǎn)撥】證實(shí)多項(xiàng)式整除問題，關(guān)鍵是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中湊出x2＋3x＋3.19/30【證實(shí)】

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－120/30＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.因?yàn)?x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面式子也能被x2＋3x＋3整除．這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．依據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任何n∈N＋都成立．21/30【名師點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)數(shù)或式整除性問題時(shí)，常采取加項(xiàng)、減項(xiàng)配湊法，而配湊方法很多，關(guān)鍵是湊成n＝k時(shí)假設(shè)形式．22/30變式訓(xùn)練3求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)．證實(shí)：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋123/30＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋