廣東省東莞市2024?2025學(xué)年高三5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．53．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．已知，則（

）A． B． C． D．5．己知直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？（

）A．27種 B．36種 C．54種 D．72種7．已知，函數(shù)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．4二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正四面體的一頂點(diǎn)出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)行走次時(shí)恰好為第一次回到點(diǎn)的概率為，恰好為第二次回到點(diǎn)的概率為，則（

）A． B．C．時(shí)，為定值 D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為11．如圖，該幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為D．不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為三、填空題12．已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分析，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的1000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為．13．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿(mǎn)足，則的面積為.14．已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的是．①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．四、解答題15．已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積，且，求的周長(zhǎng).16．在三棱錐中，平面平面平面.

（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，且，求.17．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．18．已知和為橢圓：上兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值.19．某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2024年該市旅游管理部門(mén)對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有23的人計(jì)劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?025年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個(gè)文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計(jì)劃是否來(lái)年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率(1)從2024年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人，求三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2025年的“清明文化節(jié)”擬定于本年度4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計(jì)劃免費(fèi)向到訪的游客提供“單車(chē)自由行”和“觀光電車(chē)行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為45，若前一天選擇“單車(chē)自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車(chē)自由行”的概率為14，若前一天選擇“觀光電車(chē)行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車(chē)行”的概率為13（i）求甲第二天選擇“單車(chē)自由行”的概率；（ii）求甲第n（n=1，2，?，16）天選擇“單車(chē)自由行”的概率Pn，并幫甲確定在2025年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車(chē)自由行”的概率大于

參考答案1．B【詳解】，，所以.故選B2．D【詳解】，故.故選D3．C【詳解】如圖所示對(duì)于A，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯(cuò)；對(duì)于C，過(guò)作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面為平面,為，為，則，則，故D錯(cuò).故選C.4．B【詳解】由得，即，解得，所以，故選B.5．B【詳解】因?yàn)閳A心為到直線的距離為：，所以=所以,即.故選B.6．C【詳解】解：由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選C.7．B【詳解】當(dāng)時(shí)，，若無(wú)解，則或；當(dāng)時(shí)，，若無(wú)解，則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.8．A【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則，解得.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為，則該三角形外接圓的半徑為，故該正三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積.由，解得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選A.9．AB【詳解】解：向量，A．，故正確，符合題意；B．，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；C．若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；D．若，則，解得，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選AB．10．ACD【詳解】由題意得對(duì)于任意一次行走，到達(dá)其他三個(gè)點(diǎn)概率均為，若要行走次時(shí)恰好第一次回到點(diǎn)，則第1、2次均不到點(diǎn)A,所以，故A選項(xiàng)正確；若要行走次時(shí)恰好第二次回到點(diǎn)，則第2次必須回到點(diǎn)A，概率為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若要行走次時(shí)恰好為第一次回到點(diǎn)，則次均未到達(dá)點(diǎn)A，所以，所以為定值，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)第次第一次到達(dá)點(diǎn)A，第n次恰好第二次到達(dá)點(diǎn)A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此時(shí)概率為，所以，令，解得，所以，所以和為最大值，故D選項(xiàng)正確.故選ACD.11．BCD【詳解】由題意，可將幾何體補(bǔ)全為一個(gè)正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)椋?，，則，可得，因?yàn)?，則，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面平面，則，，，則，可得，又因?yàn)椋獾?，即?dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，則直線與平面所成角的正弦值為，，所以，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以，存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，可得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即可得或，因?yàn)椋瑒t則，所以，故當(dāng)時(shí)，方程和均無(wú)解，綜上所述，不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，故D選項(xiàng)正確.故選BCD12．【詳解】解：，且，，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的1000個(gè)該種零件中合格品的個(gè)數(shù)為．13．【詳解】由橢圓定義可得，則有，即，，又，由，故，故.14．①③④【詳解】，，故①正確；等價(jià)于，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，故②不正確；若，則，則，以為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，，則，故③正確；若，則，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，則，即得，故④正確.15．（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.聯(lián)立得：.所以.故的周長(zhǎng)為.16．（1）見(jiàn)詳解（2）【詳解】（1）

如圖，過(guò)作于.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面所以平?又平面，所以.又平面平面，所以.因?yàn)槠矫?，且，所以平面，又平面，所?（2）法1：過(guò)作于，連接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.

所以即為二面角的平面角，所以則.又由（1）平面，平面，則，因平面，平面，則.設(shè)，因?yàn)?，，則，，所以，解得，則，從而.法2：由（1）可得.如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

記二面角為，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，又，所以，解得，則，所以.17．(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).18．（1）（2）（i）；（ii）見(jiàn)詳解【詳解】（1）由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，由圓的弦長(zhǎng)公式可知，所以，為定值.19．(1)4；(2)（i）13（ii）Pn＝817+【分析】（1）由合計(jì)得分可能的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，再由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式求概率；（ii）由題意，求Pn與Pn-1的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列，求出Pn【詳解】（1）由題意，每位游客得1分的概率為23，得2分的概率為1隨機(jī)抽取三人，用隨機(jī)變量X表示三人合計(jì)得分，則X可能的取值為3，4，5，6，PX=3=2PX=5=C則EX所以三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為4；（2）第一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為45，則第一天選擇“觀光電車(chē)行”的概率為1若前一天選擇“單車(chē)自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車(chē)自由行”的概率為14若前一天選擇“觀光電車(chē)行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車(chē)行”的概率為13，則后一天選擇“單車(chē)自由行”的概率為2（i）甲第二天選擇“單車(chē)自由行”的概率P=4（i