塞的運(yùn)算及整體代入（講義）

一、知識(shí)點(diǎn)睛

1.塞的運(yùn)算法則逆用

①觀(guān)察已知及所求，對(duì)比確定之間的關(guān)系；

②根據(jù)幕的運(yùn)算法則對(duì)已知或所求進(jìn)行等價(jià)變形，使之成為

2.幕的比較大小

①先化簡(jiǎn)為，再進(jìn)行比較.

②對(duì)于事的比較大小，往往采用.

當(dāng)兩式中，考慮作商法比較大小.

當(dāng)。>0,Z?>0時(shí)，

若g>i,則______；若@=i,則_______；若@<i,則______

hhb

3.降塞法整體代入

①對(duì)比已知及所求，將已知中最高次項(xiàng)或含字母的項(xiàng)當(dāng)作整體；

②對(duì)所求進(jìn)行變形，找到整體，進(jìn)行代入；

③降事化簡(jiǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至最簡(jiǎn).

二、精講精練

1.若3"'=5,3"=2,貝ij32m+3J=

2.已知3*=4,3''=2,求92">'+27f的值.

3.已知25"'10"=57.2‘，則加+”=

4.已知+4、=48,則x=.

5.已知9e-3?”=72,求〃的值.

6.數(shù)3555,4刈，5333的大小關(guān)系是（）

A.3555（尸<5333B.4444V3555V5333

C.5333<4444<3555

D.5333V3555V嚴(yán)

7.若a=8產(chǎn)，。=27小，c=961,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

go9119

8.若P爺,Q=臺(tái)，則P,Q的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.無(wú)法確定

排_(tái)303._10'm||

9.右4=孕",b=^,則a,b的大小關(guān)系是（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.無(wú)法確定

10.若a-8=2234,c+d=22°”,則（He）-（a-d）的值為

11.已知a+19=b+9=c+8,求代數(shù)式3-卜+①-爐+①-”的值.

12.已知a+Z?+c=0,求（0+。）（。+0）（。+。）+0人0的值.

13.若/+%_2=0,則d+Zx?—x+2015=.

14.若/+2a=—2,貝13a6+12/—/+12/—2a—4=

15.若2*2-犬=1,則4/一4x，+3》2一％—1=.

16.已知3丁-%=1,求9/+12丁—-7x+2015的值.

【參考答案】

一、知識(shí)點(diǎn)睛

1.幕的運(yùn)算法則逆用

①觀(guān)察已知及所求，對(duì)比確定累的底數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系:

②根據(jù)幕的運(yùn)算法則對(duì)已知或所求進(jìn)行等價(jià)變形，使之成為同底數(shù)或同指

數(shù)的事.

2.幕的比較大小

①先化簡(jiǎn)為同底數(shù)或同指數(shù)的毒，再進(jìn)行比較.

②對(duì)于基的比較大小，往往采用作商法.

當(dāng)兩式中有相同因數(shù)時(shí)，考慮作商法比較大小.

當(dāng)。>0,8>0時(shí)，

若q>1,則a>b；若@=1,貝a=b；若幺<1,則a<b.

bbb

3.降寨法整體代入

①對(duì)比已知及所求，將已知中最高次項(xiàng)或含字母的項(xiàng)當(dāng)作整體；

②對(duì)所求進(jìn)行變形，找到整體，進(jìn)行代入；

③降暴化簡(jiǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至最簡(jiǎn).

二、精講精練

,200

3

2.72

3.5

4.2

5.1

6.D

7.A

8.B

9.C

10.22014

11.222

12.0

13.2017

14.10

15.1

16.2019

塞的運(yùn)算及整體代入(習(xí)題)

例1：若/+2a—I=0,則/+4/+4/=.

【思路分析】

①對(duì)比已知及所求，將已知中最高次項(xiàng)或含字母的項(xiàng)當(dāng)作整體；

這里我們把6+2。當(dāng)作整體.

由已知。2+2a-1=0得，.

②對(duì)所求進(jìn)行變形，找到整體，進(jìn)行代入.

③降幕化簡(jiǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至最簡(jiǎn).

【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】

解：Va2+2?-l=0

a2+2a=\

二原式=/(〃+2a)-2?3+4a3+4-a2

=a2+2a3+4/

=2a3+5a2

=2a(42+2a)+a2

=2a+a2

=1

例2：^32r+l-4-9'=-81,則*=.

【思路分析】

①觀(guān)察已知，對(duì)比確定幕的底數(shù)、指數(shù)之間的關(guān)系.

觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，前面的幕，底數(shù)為3,后面的事，底數(shù)為9,9可以寫(xiě)成32.

②根據(jù)基的運(yùn)算法則對(duì)已知進(jìn)行等價(jià)變形，使之成為同底數(shù)或同指數(shù)的事.

由底數(shù)之間的關(guān)系，做等價(jià)變形：

32V+I-4-(32)V=-81

32'+1-4-32V=-81

32r-3-4-32v=-81

-32、=-81

32*=81

32X=34

2x=4

x=2

1.若/"=2,則(3/")3_(/)3"的值是()

A.-4B.92C.100D.200

2.若0=2%b=355,c=4",則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>h>aD.c>a>b

3.若。=,，。=*，則。，b的大小關(guān)系是()

A.a>hB.a=hC.a<bD.無(wú)法確定

4.若a=2”，/?=1613,c=3210,貝!ja,b,c的大小關(guān)系是()

A.h>a>cB.a>c>bC.c>b>aD.h>c>a

5.若心=2,/=1,貝U(—xy)2"=.

6.若6'"-2-9"=3匕25,則2m+〃=.

7.若52VM-4-25v=625,則x=.

8.若V+3x—1=0,則代數(shù)式2/+6x—2的值為.

9.若/+a—2=0,則/+3/-2=.

10.已知/-丁=5,x2y-xy2=-2,求代數(shù)式

222222

(2x-3y)+(3xy-xy)+(y-2xy)的值.

11.已知x+2=y+5=z+9,求代數(shù)式(x-y)2+(z-x)2+(y-z)2的值.

12.已知2x+y-z=0,求代數(shù)式(2%+)，)(^-2)(2%一2)—2平的值.

13.已知2丁+x-2=0,求代數(shù)式Nt，+3/+%2—%的值.

【思路分析】

①對(duì)比已知及所求，將已知中最高次項(xiàng)或含字母的項(xiàng)當(dāng)作整體；這里我們

把__________當(dāng)作整體.

由已知2V+x—2=0得，.

②對(duì)所求進(jìn)行變形，找到整體，進(jìn)行代入.

③降暴化簡(jiǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至最簡(jiǎn).

【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】

解：丁______________________________________

.?.原式=

【參考答案】

1.B

2.C

3.C

4.A

6.10

7.2

8.0

9.2

10.4

11.74

12.0

13.2x3+x,2x3+x-2

解：V2X3+X-2=0

2x3+x=2

.,.原式=/(2x3+x)-x4+3x4+x2-x

-2x，+2x“+—x

—x(2x+x)-+2x+一X

=2x+2x3—x=2x3+x=2

塞的運(yùn)算及整體代入（隨堂測(cè)試）

1.已知。=3”,8=533,C=622,貝Ij。，b,C的大小關(guān)系是（）

A.h>c>aB.h>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

2.若8.+23"=72,貝

3.已知/+2*—1=0,求代數(shù)式2x，+x*+5J?+x—I的值.

【思路分析】

①對(duì)比己知及所求，將已知中最高次項(xiàng)或含字母的項(xiàng)當(dāng)作整

體；這里我們把________當(dāng)作整體.

由已知/+2%-1=0得，.

②對(duì)所求進(jìn)行變形，找到整體，進(jìn)行代入.

③降幕化簡(jiǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至最簡(jiǎn).

【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】

解：__________________________________

原式=

【參考答案】

1.B

2.1

3.x3+2x,x3+2x-l

解:'：^+2x-\=0

x3+2x=1

?*.2x~(x，+2x)-+x"+5/+x—1

—2x~+x4++x—1

—x(x'+2x)-2x?+2x2++x—1

=x+x3+x-l

=X3+2X-1

=0

整式的乘除及幾何表示(講義)

一、知識(shí)點(diǎn)睛

符號(hào)問(wèn)題：

乘方看奇偶，公式辨符號(hào)；

去添括號(hào)看正負(fù)，整體處理加括號(hào).

公式的幾何表示：

①以?xún)蓚€(gè)多項(xiàng)式為邊，構(gòu)造長(zhǎng)方形；

②由面積關(guān)系可知，特定幾何圖形的個(gè)數(shù)與計(jì)算結(jié)果中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

二、精講精練

1.計(jì)算下列各式：

(1)a2-(-a)3-a3-(-2a2)+[-3(-4卜(-a)；

(2)3,—(—2a~)(—3a)(—。~)+(―2。")(2。右)；

(3)(一y)(>+2x)—(2y+x)(2y-x)；

(4)(3x-2y-z)(3x+2y+z)；

(5)(-3m)2-(-3m+2n)2；

(6)(3m-n)(3m+〃)-(3m-n)(-3m+ri)；

(7)(-2?)2-(-?-b)(-a+b)-2(24-b2)；

(8)—2m{m—ri)—(—m+n)(m-n)—3(m2-n2).

2.計(jì)算下列各式:

(1)-ab-(-2a2b)-{-hc^b1)-(-3?3)?(-￡1)2；

(2)(—2a)(—a+2b)—(2b+a)(2Z?—a)；

(3)(2a—33)(—2a+36)—(3a—2b)(—3a—2b).

3.計(jì)算下列各式:

(1)(一2八)2.(_血+(_步>(_2/份；

(2)一(3。%-2ab3)+(—。。)一(一。-2/?)(—。+2/?)-(-2a)2；

(3)(—%—2y)(—x+2y)—(―2x)~+(―3x—2y)(3x+2y).

4.計(jì)算下列各式：

(1)-2-2X(K-3)°--W+(一；)；

(2)(-1)2°”+(-3)-+32-(-2)x--(-2)-2.

5.請(qǐng)你觀(guān)察圖形，不再添加輔助線(xiàn)，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，便可驗(yàn)證一個(gè)等

式，這個(gè)等式是.

6.用如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（。+2勿的正方形,

則需要A類(lèi)卡片張，B類(lèi)卡片張，C類(lèi)卡片張.

7.如圖，正方形卡片A類(lèi)、C類(lèi)和長(zhǎng)方形卡片B類(lèi)若干張，若要拼一個(gè)長(zhǎng)為

（。+2切，寬為（a+份的大長(zhǎng)方形，則需要B類(lèi)卡片張.請(qǐng)通過(guò)拼接的

方法說(shuō)明（。+2人）（。+人）的結(jié)果為.

8.請(qǐng)你用幾何圖形直觀(guān)地解釋?zhuān)?與2=9/.

9.試用直觀(guān)的方法說(shuō)明（。+3）2工/+323/。）.

10.請(qǐng)用直觀(guān)的方法說(shuō)明（。+3b）Qa+b）=2a2+lab+3bl.

11.請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形，并根據(jù)幾何圖形直接寫(xiě)出（2a+"2c）（a+23的計(jì)

算結(jié)果.

【參考答案】

二、精講精練

1.(1)28a5(2)5a5

222

(3)x-2xy-5y(4)9x-4y2-4yz-z

(5)12mn-4n2(6)\8m2-6mn

(7)-a2+3b2(8)-4m2+4/

2.(1)Sa3b2(2)3/_4"-4/

(3)5a2+\2ah-\3b2

3.(1)\0a5b(2)-2a2+2b2

(3)-I2x2-I2xy-Sy2

723

4.(1)(2)

~2"T

5.(。+30)2=/+6帥+9必

6.144

7.3a?+3ab+

8.略

9.略

10.略

11.圖略，2/+5。。+2枇、+46。+2/

整式的乘除及幾何表示(隨堂測(cè)試)

1.計(jì)算:

(1)一(-2ab)2—(-3ah)?-(-4/7)-(-ab-\\ab-1)；

(2)(3?！?/7)(—3。+2b)—(—3。-2Z?)2—2(3?！?Z?)(3Q+2/?)；

(3)——一(一213—(3—兀)°—_L+2X,一23；

22

+(-2)2x(-g)-(-l)3x(-2)3一—34.

(4)

2.請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形，并根據(jù)幾何圖形直接寫(xiě)出

(2a+b)(a+2份的計(jì)算結(jié)果.

【參考答案】

1.(1)(2)-36a2(3)-10(4)-8

2.圖略，2a2+5。。+2〃

整式的乘除及幾何表示(習(xí)題)

例1：計(jì)算：(-2a)2-(-2a2)(-3a)(-a2)-(-a-b)(-a+b)

【思路分析】

①觀(guān)察結(jié)構(gòu)，分部分，這道題目可以分為部分.

第一部分是的結(jié)構(gòu)，依照法則，進(jìn)行運(yùn)算；

第二部分是多個(gè)單項(xiàng)式的乘積的結(jié)構(gòu)；

第三部分是的結(jié)構(gòu).

②有序操作依法則.

③每步推進(jìn)一點(diǎn)點(diǎn).

【過(guò)程示范】

原式=4/+6/_(/_/)

=4a2+6a5-a2+b-

=6a5+3a2+b2

12.計(jì)算下列各式：

(1)%2—(x—2)(—x—2)；(2)(—a+2與?-2a(—2人)一(一2/?)2；

(3)V.(-x)5+(-x2)4-[-2(-x)3丁+(-X)；

(4)(-%-y)(x-j)-(x-y)(-%+y)；

-(-3/n)2—f3/n-^n

(5)-3m--77I；

2J

\Y2

(6)32+(—2尸+

2>

13.計(jì)算下列各式：

(1)—(8a/—4a%-)+(—ab~)—(—3/?)'—(2a—/>)(—2tz+b)；

(2)_(3x—y)(—3x+y)-(—4x)2_-y)(2x—y).

14.有若干張如圖所示的正方形A類(lèi)、C類(lèi)卡片和長(zhǎng)方形B類(lèi)卡片，如果要拼成

一個(gè)長(zhǎng)為（3a+。），寬為（a+2。）的大長(zhǎng)方形，則需要A類(lèi)卡片一張，B類(lèi)

卡片張，C類(lèi)卡片張.

請(qǐng)通過(guò)拼接的方法說(shuō)明（3a+b）（a+2。）的結(jié)果為.

a

/A類(lèi)_3—b

B類(lèi)hb

15.有足夠多的正方形A類(lèi)、C類(lèi)卡片和長(zhǎng)方形B類(lèi)卡片如圖所示:

(1)如果選取A類(lèi)、B類(lèi)、C類(lèi)卡片分別為1張、2張、1張,

可拼成一個(gè)正方形(不重疊無(wú)縫隙)，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)正方形的

草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說(shuō)明這個(gè)正方形的代

數(shù)意義.這個(gè)正方形的代數(shù)意義是.

(2)小明想用類(lèi)似方法解釋多項(xiàng)式乘法

(2a+b\2a+3b)=4a2+Sab+3b2,那么需用A類(lèi)卡片一張，

B類(lèi)卡片張，C類(lèi)卡片張.

16.請(qǐng)你用幾何圖形直觀(guān)地解釋(2.)2=4/.

17.請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形，并根據(jù)幾何圖形直接寫(xiě)出(2a+與(a+切的計(jì)算結(jié)

果.

【參考答案】

例1:【思路分析】

3積的乘方平方差公式

1.(1)2X2-4(2)a2(3)

1,

(4)2y2-2xy(5)——n~(6)40

4

2.(1)-4ah(2)-3x2-6xy

3.3723a2+7ab+2b2

4.(1)(a+bY=a2+2ab+b\(2)483

5.圖略

6.圖略，(2。+加(4+力=2/+3。。+/

完全平方公式的綜合應(yīng)用(講義)

一、知識(shí)點(diǎn)睛

1.知二求二：

(a+b)2,(a-b)2,a2+h2,必有如下關(guān)系：

①02+2%邪+/+2ab?(a+h)2

因此，已知其中兩個(gè)量的值，可根據(jù)他們之間的關(guān)系求解其余兩個(gè)量的值.

2.公式逆用：

(1)觀(guān)察是否符合公式的結(jié)構(gòu).

(2)兩邊已知，中間未知，；兩邊未知，中間已知，

3.最值問(wèn)題：

若關(guān)于x的二次多項(xiàng)式可以寫(xiě)成的形式，則由,可

知,因此此多項(xiàng)式有最小值—;

若關(guān)于x的二次多項(xiàng)式可以寫(xiě)成的形式，則由__________,可

知,因此此多項(xiàng)式有最大值____.

二、精講精練

1.若(a—6)2=3,(a+h)~=19,則ab=,a2+b~=.

2.若2x+y=4,xy=1,則4x2+y2=,(2,x-y)1=.

3.若a+A=3,a2b+ab2=-30>則a'+b?的值是.

4.已知a+b=3,ah=\,求/+〃，a4+Z/*的值.

5.已知常數(shù)a,b滿(mǎn)足(a+b)2=l,(a-b)2-25,求/+。2+6出的值.

6.若a-=1,貝IJ/+4二______,a4+二=________

aa2aA

7.已知爐+4x+1=0,求x2H—彳,x4H—T-的值.

X2X

8.若一4肛+9yN是完全平方式，貝lj〃二.

9.若4Y_g+64y2是完全平方式，則仁.

10.多項(xiàng)式16/+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能使它成為一個(gè)整式的完全平方式，則

可以加上的單項(xiàng)式共有個(gè)，分別是

11.若。之一4。+〃-2A+5=0,貝lj,b-.

12.若〃+/+6。一48+13=0,則/+/=,.

a-b

13.設(shè)尸=。2〃+5,Q=2ab-a2-4a,若P=Q,則a=,b=.

14.若把代數(shù)式/+2%-2化為+A的形式（其中八％為常數(shù)），則加+%

的值為.

15.求"。2-4"+7的最小值.

16.當(dāng)x為何值時(shí)，—f+6x—15有最值，等于多少？

【參考答案】

一、知識(shí)點(diǎn)睛

2.(2)由兩邊定工中間由中間湊兩邊

3.(x+m)2+k(x+m)2NO(x+ni)2kk

一(x+in)~+k一(x+m)2WO—(x+m)2+kWkk

二、精講精練

1.411

2.128

3.29

4.747

5.7

6.37

7.14194

8.±12

9.±32

10.5-16%2,—1,8x,—8x,64/

11.21

12.13-

5

13.-2--

2

14.-2

15.最小值為3

16.x=3時(shí)有最大值，最大值為-6.

完全平方公式的綜合應(yīng)用（隨堂測(cè)試）

17.已知2a+力=7,ab=6,求4/+6,16/+/的值.

【思路分析】

①觀(guān)察題目特征（已知兩數(shù)之和與兩數(shù)之積，所求為這兩數(shù)的平方和），判斷此

類(lèi)題目為“”問(wèn)題；

②"”即為公式中的“”即為公式中的江根據(jù)他們之間的關(guān)

系可得：;

③將2a+Z?=7,而=6代入求解即可；

④同理，16/+//=,將所求的的值與質(zhì)=6代入

即可求解.

【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】

解：

?+〃

18.若/+4。2+而+88+8=0,則a"=

a-h

19.當(dāng)。=時(shí)，-/+2a+20i5有最值，為

【思路分析】

觀(guān)察題目特征，為最值問(wèn)題，需要先將+2a+2015寫(xiě)成

的形式，再對(duì)其最值進(jìn)行分析.

【參考答案】

4.25337過(guò)程書(shū)寫(xiě)略.

6.1,大，2016,-（。-1）2+2016

完全平方公式的綜合應(yīng)用(習(xí)題)

例1：已知x-1=2,求1+4,有+一的值.

XXX

【思路分析】

⑤觀(guān)察題目特征(已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之積x1=l,所求為兩數(shù)的平方和)，

X

判斷此類(lèi)題目為“知二求二”問(wèn)題；

⑥“x”即為公式中的a,"L”即為公式中的b,根據(jù)他們之間的關(guān)系可得：

X

1_(1Y1

x2H-5-=Ix+0?一；

X\X)X

⑦將x」=2,x」=l代入求解即可；

XX

⑧同理，x4+^=(x2+-^\-2X2~,將所求的爐+二的值及/，=1的值

XX)XX-X

代入即可求解.

【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】

例2：若f-2x+y2+6y+10=0,則4,y=.

【思路分析】

此題考查完全平方公式的結(jié)構(gòu)，“首平方，尾平方，二倍乘積放中央”.

觀(guān)察等式左邊，2x以及V+6y均符合完全平方式結(jié)構(gòu)，只需補(bǔ)全即可，根

據(jù)“由兩邊定中間，由中間湊兩邊”可配成完全平方式，得到

—1)2+(,+3)2=0.

根據(jù)平方的非負(fù)性可知：(X-1>=0且(y+3)2=0,從而得到％=1,丁=一3.

1.若(。一2。)2=5,ab=\,則/+4〃=,(a+2?2=.

2.(1)若Y+碎y+9y2是完全平方式，則〃?=.

(2)若9犬-加+16y2是完全平方式，則仁.

3.已知x+y=3,孫=2,求/+x'+y"的值.

4.已知/-3。+1=0,求/+，■,■的值.

a'a

5.若。2+4。2_6”4。+10=0,則。-"=

6.多項(xiàng)式4?+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能使它成為一個(gè)整式的平方，則可以加上

的單項(xiàng)式共有______個(gè)，分別是______

7.當(dāng)°為何值時(shí)，a2-8。+14取得最小值,最小值為多少？

8.求%?+4y2-4x+4y+8的最值.

【參考答案】

例1.

解：Vx--=2

X

=4

1x)

.21f1丫c1

X\X)X

=4+2

=6

iY

x2H--7=36

x

=36-2

=34

例2：1-3

1.913

2.±6±24

3.517

4.747

5.8

6.5-4x?—48x—8xx

7.a=4時(shí)取得最小值，最小值為-2

8.最小值為3

幾何作圖(講義)

＞課前預(yù)習(xí)

1.說(shuō)出日常生活現(xiàn)象中應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理：

(1)如圖1,計(jì)劃把河水引到水池A中，先作ABLCD,垂足為B,然后沿

AB開(kāi)渠，能使所開(kāi)的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是

(2)如圖2,PC//AB,QC//AB,則點(diǎn)P,C,Q在一條直線(xiàn)上，理由是

2.估計(jì)下列角的度數(shù)，然后用量角器度量并填在橫線(xiàn)上：(結(jié)果精確到1°)

NBOC=,ZDOE=,4M0N=,ZPOQ=

＞知識(shí)點(diǎn)睛

1.常見(jiàn)幾何語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)：

①連接AB；②延長(zhǎng)線(xiàn)段到點(diǎn)C,使8c=A8；

③延長(zhǎng)線(xiàn)段A8交線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E;

④過(guò)點(diǎn)八作48〃8；

⑤過(guò)點(diǎn)A作A8L8于點(diǎn)E.

2.幾何作圖：

①理解題意，找準(zhǔn);

②；

③位置不確定時(shí)，需考慮?

＞精講精練

1.如圖，已知四點(diǎn)A,B,C,D,按要求作圖:

(1)連接AB,CD；

(2)延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G；

(3)過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)8Ml.c。，垂足為點(diǎn)機(jī)

*A

B

CD

2.如圖，點(diǎn)脩，P分別在直線(xiàn)48上和直線(xiàn)48外,以下是在此圖基礎(chǔ)上作圖的過(guò)

程及作法，請(qǐng)根據(jù)作圖的過(guò)程敘述作法.

3.作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段.

已知：如圖，線(xiàn)段a.,,

求作：線(xiàn)段48,使48=a.a

作法：(1)作射線(xiàn)AP；

(2)以為圓心，為半徑作弧，交射

線(xiàn)AP于點(diǎn)8.

__________即為所求，

4.已知線(xiàn)段a,b(a>b),作一條線(xiàn)段，使它等于a+b.

a

,b

作法：(1)作射線(xiàn)AP；

(2)在射線(xiàn)ZP上依次截取,

___________即為所求.

5.如圖，已知線(xiàn)段A8,請(qǐng)用尺規(guī)按下列要求作圖:

(1)延長(zhǎng)線(xiàn)段八8到點(diǎn)C,使8c=A8；

(2)延長(zhǎng)線(xiàn)段附到點(diǎn)D,使AD=4：.

AB

6.在直線(xiàn)/上任取一點(diǎn)4截取AB=8cm,再截取AC=12cm,則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為

7.在直線(xiàn)/上任取一點(diǎn)A,截取八8=16cm,再截取AC=40cm,則點(diǎn)8與4：的中點(diǎn)。

之間的距離為.

8.已知4B,C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，4B=60,8c=40,M,N分別為線(xiàn)段AB,

8c的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為.

9.已知線(xiàn)段A8=16cm,點(diǎn)C在直線(xiàn)A8上，AC=3BC,貝的長(zhǎng)為.

10.從。點(diǎn)出發(fā)的三條射線(xiàn)。4OB,OC,若NAOB是直角，

ZAOC^J30°,貝叱80c的度數(shù)為.

11.已知/4。8=90°,ZBOC=30°,OM平分NAO8,ON平分

ZBOC,則N/WON的度數(shù)為.

12.已知NAOB=40。，ZAOD=3ZAOB,OC平分NAO8,OM平分NAOD,則NMOC

的度數(shù)為.

13,已知NAO8=48°,ZBOC=3ZAOC,0M平分NAOC,ON平分NAO8,則NMON

的度數(shù)為.

【參考答案】

＞課前預(yù)習(xí)

1.(1)垂線(xiàn)段最短；

(2)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.

2.30。，60°,110°,140°

＞知識(shí)點(diǎn)睛

2.①關(guān)鍵詞；②設(shè)計(jì)作圖方案；③分類(lèi)討論.

＞精講精練

1.略

2.(1)連接

(2)PHLAB,垂足為點(diǎn)”

(3)PQ//AB

3.作圖略

(2)點(diǎn)A,線(xiàn)段。長(zhǎng)

(3)線(xiàn)段

4.作圖略

(2)AB=a,BC=b,線(xiàn)段AC

5.略

6.4cm或20cm

7.4cm或36cm

8.50或10

9.4cm或8cm

10.60?；?20°

11.30?；?0。

12.40?；?0°

13.18?；?6。

幾何作圖（隨堂測(cè)試）

1.如圖，已知點(diǎn)P在NA08的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)尸作PC〃OB,交04于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)

P作「DL0A于點(diǎn)D

2.已知線(xiàn)段a,b,畫(huà)一條線(xiàn)段，使它等于2/4（保留作圖痕跡）

a

b

3.已知NAOB=80。，ZBOC=60°,0M平分NAOB,ON平分

NBOC,則/MON的度數(shù)為,并作圖說(shuō)明.

①作草圖：

②設(shè)計(jì)方案:

【參考答案】

1.略

2.略

3.70?；?0。，作圖說(shuō)明略

幾何作圖（習(xí)題）

＞例題示范

例1：在直線(xiàn)/上任取一點(diǎn)A,截取A8=20cm,再截取8C=50cm,則48的中

點(diǎn)。與AC的中點(diǎn)E之間的距離為,并作圖說(shuō)明.

思路分析

首先，理解題意，找關(guān)鍵詞，其中/為直線(xiàn)，AB,BC為/上的兩條線(xiàn)段.

其次，設(shè)計(jì)作圖方案，作圖.

作直線(xiàn)/,任取一點(diǎn)作為A,取適當(dāng)長(zhǎng)作為AB；

此時(shí)點(diǎn)8位置固定，但點(diǎn)C可在點(diǎn)3左側(cè)或右側(cè)，位置不定，故分兩種情

況.

①點(diǎn)C在點(diǎn)8左側(cè)，如圖，

50

_____1

~CAB~

20

接著取A8的中點(diǎn)。，AC的中點(diǎn)￡

50

______________________________1

~CEA~~7）~~B~

20

設(shè)計(jì)算法：

DE=AD+AE

^-AB+-AC

22

=25

②點(diǎn)。在點(diǎn)8右側(cè)，如圖，

2050

ABC

接著取AB的中點(diǎn)。，AC的中點(diǎn)￡

2050

A~D~BEC

設(shè)計(jì)算法:

DE=AE-AD

=-AC--AB

22

=25

綜上，OE的長(zhǎng)度為25cm.

>鞏固練習(xí)

1.如圖1,點(diǎn)C,O是直線(xiàn)A3外兩點(diǎn)，按下列要求作圖：

(1)

(2)

得到的圖形如圖2,請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)填上作法.

2.如圖，已知線(xiàn)段A8,按要求作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)3為圓心、以AB的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和點(diǎn)。；②作直線(xiàn)CD,交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E；

③請(qǐng)通過(guò)測(cè)量猜想線(xiàn)段A3和直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，線(xiàn)段AE與線(xiàn)段BE的數(shù)

量關(guān)系.

AB

3.作圖：已知線(xiàn)段a,bCa>b),作一條線(xiàn)段，使它等于a-6(保留作圖

痕跡，不必寫(xiě)作法)

a

b

4.已知線(xiàn)段AB=15cm,點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，且BC=2AB,則線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為

____________,并作圖說(shuō)明.

5.已知點(diǎn)C在直線(xiàn)A3上，若AC=4cm,BC=6cm,E,尸分別為線(xiàn)段AC,BC

的中點(diǎn)，則所的長(zhǎng)為,并作圖說(shuō)明.

6.已知線(xiàn)段A3=24,點(diǎn)C在直線(xiàn)A3上，BC=3AC,M,N分別為線(xiàn)段AB,AC

的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為,并作圖說(shuō)明.

7.已知從點(diǎn)0出發(fā)的三條射線(xiàn)0A,OB,0C,若/403=60。，

ZAOC=^ZAOB,則N80C的度數(shù)為,并作圖說(shuō)明.

8.已知NAOB為直角，ZBOC=40°,0M平分NAOB,ON平分N30C,則N

M0N的度數(shù)為,并作圖說(shuō)明.

9.已知NAOB=45。，ZAOC=4ZBOC,0D平分NAQB,0E平分NAOC,則

NEO。的度數(shù)為,并作圖說(shuō)明.

＞思考小結(jié)

1.我們學(xué)過(guò)的需要分類(lèi)討論的情況：

第一類(lèi)：由定義本身引起的.

比如：已知|x+2|=3,|y|=3,求xy的值.

思路分析

由絕對(duì)值的定義，得

x=,y=

然后借助進(jìn)行分類(lèi)討論，求解可得xy=.

第二類(lèi)：位置不確定引起的.

比如：習(xí)題中的第9題.

思路分析

首先可畫(huà)出N408,然后根據(jù)題意畫(huà)出射線(xiàn)。C,但射線(xiàn)0C的位置不確定，所

以要分情況討論：

①射線(xiàn)0C在N49B的內(nèi)部；

②射線(xiàn)0C在N408的.

【參考答案】

＞鞏固練習(xí)

1.(1)作射線(xiàn)0c交A8于點(diǎn)E

(2)過(guò)點(diǎn)C作CELDE于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)F

2.作圖略，ABLCD,AE=BE

3.作圖略

4.15cm或45cm,作圖說(shuō)明略

5.1cm或5cm,作圖說(shuō)明略

6.9或18,作圖說(shuō)明略

7.40?；?0。，作圖說(shuō)明略

8.25?；?5。，作圖說(shuō)明略

9.4.5?；?.5。，作圖說(shuō)明略

＞思考小結(jié)

1.-5或1,±3,樹(shù)狀圖，±3或±15.外部，圖略

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角(講義)

＞課前預(yù)習(xí)

1.回顧余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角有關(guān)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

(1)若N1與N2互為余角，則/1+/2=；

(2)若N1與N2互為補(bǔ)角，則Nl+N2=；

(3)若N1與N2互為對(duì)頂角，則.

2.在同一平面內(nèi)，叫做平行線(xiàn).

3.如圖，三根木條相交成Nl,Z2.固定木條b,c,轉(zhuǎn)動(dòng)木條a,當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到。〃

b時(shí)，用量角器測(cè)量一下Nl,N2的度數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)N1Z2.(填“＞”、

“V”或“=”)

＞知識(shí)點(diǎn)睛

1.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角:

「aa

■

能

8V

2.平行線(xiàn)的判定：

①____________相等,兩直線(xiàn)平行；

②____________相等,兩直線(xiàn)平行；

③____________互補(bǔ),兩直線(xiàn)平行.

3.平行線(xiàn)的性質(zhì)：

①兩直線(xiàn)平行，___________相等；

②兩直線(xiàn)平行，___________相等；

③兩直線(xiàn)平行，互補(bǔ).

＞精講精練

1.如圖所示:

(1)N1和/2是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截

得到的角；

(2)N3和N4是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截

得到的角；

(3)N1和N5是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截

得到的角；

(4)N6和N4是同位角嗎？

(5)N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角嗎？

(6)N5和N6是同位角嗎？

2.如圖所示:

(1)ZNOP和ZOMD是直線(xiàn)——和直線(xiàn)―—被直線(xiàn)

_______所截得到的—一角；

(2)ZBON和NOMN是直線(xiàn)——和直線(xiàn)―—被直線(xiàn)

_______所截得到的—一角；

(3)ZAOM和NC/W。是直線(xiàn)——和直線(xiàn)―—被直線(xiàn)

______所截得到的—____角,

3.如圖，在所標(biāo)識(shí)的角中，是內(nèi)錯(cuò)角的是()

第2題圖

A.Z1和N8

B.N1和N3

C.N3和N8

D.N2和N3

4.如圖，判斷正誤：

①N1和N4是同位角；(

②/I和/5是同位角；(

③N1和N3是內(nèi)錯(cuò)角；(

④N1和N2是同旁?xún)?nèi)角.(

5.如圖，若N1=N4,則//,

理由是：__________________________________________

若N1=NDFE,則//,

理由是：__________________________________________

若NDEC+NC=180。，則//,

理由是：__________________________________________

若NADE=,則OE〃8C,

理由是：__________________________________________

6.已知：如圖，Z1=ZADC,ZDAB+ZABC=180°.第5題圖

求證：(1)AB//CD；(2)AD//BC.

7.推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出一個(gè)未知結(jié)論的思維過(guò)程.以下

是一個(gè)題目及完整的推理過(guò)程，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)推理的依據(jù).

Z1=Z2()

Z1=Z3()

J.AB//CD()

8.如圖，直線(xiàn)a和直線(xiàn)b被直線(xiàn)c所截，給出下列條件:

①N1=N2；②N3=N6；③N4+N7=180°；

④N5+N8=180。.其中能判斷?！╞的條件是()

A.①②

B.②④

C.①②④

D.①②③④

9.如圖，已知A0〃8C,Zfi=30°,。8平分N>ADE,則

ZDEC=.

10.如圖，AD//CE,AB//CD,ZC=50°,則NCWB=

11.如圖，易拉罐的上下底面互相平行，用吸管吸飲料時(shí)，若

Zl=110°,則N2=.理由可敘述如下：

"."AB//CD

...N1=N2()

VZ1=110°()

Z2=110°()

第11題圖

12.請(qǐng)根據(jù)給出的圖形完成推理過(guò)程:

(1)若N1=N2,則//

理由是：__________

(2)若/DA8+NA8C=180。，則//

理由是:

(3)若.//,貝ljNC+4BC=180°,

理由是:

(4)若一//，則N3=NC,

理由是:

13.請(qǐng)根據(jù)題意，完成推理并填空:

如圖，已知NA=Nf,ZC=ZD.

求證：BD//CE.

證明：如圖,

,/ZA=ZF(一)

：.AC//DF)

/.ND=____一)

VZC=ZD)

...Z1=ZC(一)

...BD//CE()

【參考答案】

＞課前預(yù)習(xí)

1.（1）90°；（2）180°；（3）Z1=Z2.

2.不相交的兩條直線(xiàn).

3.二.

＞知識(shí)點(diǎn)睛

2.①同位角；②內(nèi)錯(cuò)角；③同旁?xún)?nèi)角.

3.①同位角；②內(nèi)錯(cuò)角；③同旁?xún)?nèi)角.

＞精講精練

1.(Da,b,c,同位；(2)a,b,d,內(nèi)錯(cuò);

(3)c,d,a,同旁?xún)?nèi);(4)不是；

(5)不是;(6)是.

2.(1)OP,CD,NQ,同位；

(2)AB,CD,NQ,同位；

(3)AB,CD,NQ,同旁?xún)?nèi).

3.D

4.①x②＜③q④q

5.AB,EF,同位角相等，兩直線(xiàn)平行.

DF,AC,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.

DE,BC,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行.

NB,同位角相等，兩直線(xiàn)平行.

6,證明：（1）=NAOC（已知）

：.AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）

（2）'：ZDAB+ZABC=1SO°（已知）

（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）

7.對(duì)頂角相等

已知

等量代換

同位角相等，兩直線(xiàn)平行

8.D

9.60°

10.50°

11.110°

兩直線(xiàn)平行，同位角相等

已知

等量代換

12.(1)AB,CD,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.

(2)AD,BC,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行.

(3)AB,CD,兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).

(4)AD,BC,兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

13.已知

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行

Z1兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

已知

等量代換

同位角相等，兩直線(xiàn)平行

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角（習(xí)題）

＞例題示范

例1：如圖，判斷下列各組角的位置關(guān)系：①N1與N2；

②N1與N7；③N1與N8AD；④N2與N6.

思路分析

操作步驟：

①找角；

②找角的邊所在的直線(xiàn)；

③找到截線(xiàn)與被截線(xiàn)，判斷角的位置關(guān)系.

分析可得，N1與N2是角；N1與N7是角；N1與NBAD

是角；N2與N6是角.

＞鞏固練習(xí)

1.如圖，直線(xiàn)CD與N。的兩邊相交.

（1）N。和N2是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截得到的

角；

（2）Z2和N8是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截得到的.

角；

（3）Z2和N5是直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截得到的

角.

第1題圖第2題圖

2.如圖，判斷正誤：

①N1和N5是同位角；（）

②N2和N5是內(nèi)錯(cuò)角；（）

③N3和N5是內(nèi)錯(cuò)角；（）

④N1和N4是同旁?xún)?nèi)角.（）

3.如圖所示，當(dāng)時(shí)，有A8〃CE成立，理由是

__________________________________，（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）

第3題圖第4題圖

4.如圖，若Nl=/2,則下列結(jié)論：①N3=N4；②八8〃C。；

③8c.其中正確的是.（填序號(hào)）

5.如圖，點(diǎn)8在DC上，若8E平分NASD,ZDBE=ZA,則BEAC.理由

如下：

6.已知：如圖，E為DF上的點(diǎn)，B為4c上的點(diǎn)，N1=N2,AC//DF.

求證：ZC=ZD.

證明：如圖,

VZ1=Z2()

：.ZC=ZD（等量代換）

7.已知：如圖，AB//D