第二章線性代數(shù)方程組求解方法2.1向量與矩陣基本知識2.2高斯消去法2.3矩陣的三角分解2.4矩陣的條件數(shù)與方程組的性態(tài)2.5解線性代數(shù)方程組的迭代法2.6基本迭代法2.7迭代法的收斂性習(xí)題2

2.1向量與矩陣基本知識

2.1.1引言

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中,很多問題的解決常常歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組:例如電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問題、船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)問題、用最小二乘法求實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題、解非線性方程組以及用差分法或有限元法求解偏微分方程等。這些線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣大致分為兩種：一種是低階稠密矩陣；另一種是大型稀疏矩陣(即矩陣階數(shù)高且零元素較多)。

線性代數(shù)方程組的解法從理論上可分為兩類：直接法和迭代法。

1.直接法

直接法就是不考慮計算過程中的舍入誤差，經(jīng)過有限次的運算得到方程組精確解的方法。本章將闡述這類算法中最基本的高斯順序消去法及其某些變形，這類方法是解低階稠密線性代數(shù)方程組及某些大型稀疏線性代數(shù)方程組(例如大型帶狀線性代數(shù)方程組)的有效方法。

2.迭代法

迭代法就是采用某種極限過程，用線性代數(shù)方程組的近似解逐步逼近精確解的方法。迭代法具有需要計算機的存儲單元較少、程序設(shè)計簡單、原始系數(shù)矩陣在計算過程中始終不變等優(yōu)點，但存在收斂性及收斂速度問題。迭代法是求解大型稀疏矩陣對應(yīng)的線性代數(shù)方程組(尤其是由微分方程離散化后得到的大型稀疏線性代數(shù)方程組)的重要方法。應(yīng)當注意的是，這兩種方法的使用并沒有嚴格的界限，有時在解某一個問題時會將兩種方法混合使用。用直接法求解線性代數(shù)方程組時，由于在模型建立過程及求解過程中存在誤差的影響，得到的解也不精確，因此在某些精度要求較高的問題中，經(jīng)常把用直接法得到的解再用迭代法進行若干步迭代，以達到更高精度的要求。有關(guān)解線性代數(shù)方程組的迭代方法，我們將在第三章介紹。2.1.2向量和矩陣

下面給出一些本書要用到的定義和基本運算。

用Rm×n表示全體m×n階實矩陣在實數(shù)域上所構(gòu)成的向量空間，Cm×n表示全體m×n階復(fù)矩陣在復(fù)數(shù)域上所構(gòu)成的向量空間。

其中,ai為A的第i(i=1,2,…，n)列，bTj為A

的第j(j=1，2，

…，m)行。

(1)矩陣加法：

(2)矩陣與標量的乘法：

(3)矩陣與矩陣乘法:

(4)矩陣的轉(zhuǎn)置:

(5)單位矩陣:

其中,

(6)非奇異矩陣:設(shè)A,B∈Rn×n,若AB=BA=I，則稱B是A的逆矩陣，記為A-1。若A-1存在，則稱A為可逆矩陣，也稱A為非奇異矩陣。

注意，(A-1)T=(AT)-1，且如果AB均為非奇異矩陣，則有(AB)-1=B-1A-1。

(7)方陣的行列式：設(shè)A∈Rn×n，則A的行列式可按任一行(列)展開，即

(i=1，2，…，n)

其中，Aij為矩陣元素aij的代數(shù)余子式，Aij=(-1)i+jMij，而Mij為aij

的余子式。矩陣行列式的性質(zhì)：2.1.3特殊矩陣

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，i，j=1，2，…，n，有下列特殊矩陣：

(1)若i≠j時，有aij=0，則A為對角矩陣。

(2)若當|i-j|>1時，有aij=0，則A為三對角矩陣。

(3)若當j>i(i>j)時，有aij=0，則A為上(下)三角矩陣。

(4)若當i>j+1時，有aij=0，則A為上海森伯格(Hessenberg)矩陣。

(5)若AT=A，則A為對稱矩陣。

(6)設(shè)A∈Cn×n，若AH=A(即A的元素取共軛后再轉(zhuǎn)置等于A)，則A為埃爾米(Hermit)矩陣或H－矩陣。

(7)若①AT=A；②對任意非零向量x∈Rn，有xTAx>0，則A為實對稱正定矩陣。

(8)若A-1=AT，則A為正交矩陣。

(9)設(shè)A∈Cn×n，若A-1=AH，則A為酉矩陣。

(10)對單位矩陣I交換其第i行與第j(j≥i)行(或交換第i列與第j(j≥i)列)，得到的矩陣記為Iij，它稱為初等置換矩陣，顯然:

①IijA=A1,A1為交換A中第i行與第j行得到的矩陣；

②AIij=A2,A2為交換A中第i列與第j列得到的矩陣。

(11)由有限個初等置換矩陣的乘積得到的矩陣稱為置換矩陣。

定理2.1設(shè)A∈Rn×n，則下述命題等價：

(1)對任何b∈Rn×n，方程組Ax=b若有解，則只有唯一解；

(2)齊次線性方程組Ax=0只有唯一零解x=0；

(3)det(A)≠0；

(4)A-1存在；

(5)A為滿秩，即rank(A)=n。

定理2.2設(shè)A∈Rn×n為實對稱正定矩陣，則:

(1)A為非奇異矩陣，且A-1亦是對稱正定矩陣；

(2)記Ak為A的順序主子矩陣，則Ak也是對稱正定矩陣，其中，

(3)A的特征值λi>0(i=1,2,…，n)；

(4)A的順序主子式都大于零，即det(Ak)>0(k=1,2,…，n)。

定理2.3設(shè)A∈Rn×n為對稱矩陣，若det(Ak)>0(k=1,2,…，n)，或A的特征值λi>0(i=1,2,…，n)，則A為對稱正定矩陣。

定理2.4(Jordan(若當)標準型)設(shè)A為n

階矩陣，若存在一個非奇異矩陣P，使得其中,λ1，λ2,…，λr為A的互不相同的特征值，為若當塊，ni≥1(i=1,2,…，r)，且，這就是矩陣A的若當標準型。

(1)當A的若當標準型中所有若當塊Ji均為一階塊時，此標準型變?yōu)閷切途仃嚕?/p>

(2)若A的特征值各不相同，則若當標準型必為對角陣diag(λ1，λ2，…，λn)。2.1.4向量與矩陣的范數(shù)

首先給出向量范數(shù)定義。

定義2.1對任意向量x∈Rn，若對應(yīng)一個非負實值函數(shù)‖x‖，滿足下列3條時，則稱‖x‖為向量x的范數(shù)：

(1)非負性：‖x‖≥0，‖x‖=0當且僅當x=0；

(2)齊次性：對任意實數(shù)α，有‖αx‖=|α|‖x‖；

(3)三角不等式性：對任意x,y∈Rn，有

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。常用的范數(shù)有：

此處0<p<∞，顯然,當p=1,2及p→+∞時，由p－范數(shù)可得到上面的1－范數(shù)、2－范數(shù)和∞－范數(shù)。

例2.1計算向量x=(1，-2，3)T的各種范數(shù)。

解

向量范數(shù)有如下一些性質(zhì)。

定理2.5(連續(xù)性定理)設(shè)‖x‖是x∈Rn的某種向量范數(shù)，則‖x‖是分量x1，x2，…，xn的連續(xù)函數(shù)。

證明令εi=(0，…，0，1，0，…，0)T，它是Rn空間中第i(i=1，2，…，n)個單位向量，則對任何x=(x1，x2，

…，xn)T和y=(y1，y2，…，yn)T，有：根據(jù)向量范數(shù)的齊次性和三角不等式性質(zhì)，有

所以當|xi-yi|→0(i=1，2，…，n)時，有‖x‖→‖y‖。

定理2.6(等價性定理)設(shè)‖·‖p以及‖·‖q是Rn上兩種向量范數(shù)，則存在正常數(shù)c1，c2使得

c1‖x‖p≤‖x‖q≤c2‖x‖p

對任何x∈Rn成立。

證明當x=0時結(jié)論顯然成立。下證x≠0時結(jié)論也成立。記

它是Rn中在范數(shù)‖·‖∞意義下的單位球面。由定理2.5可知，范數(shù)‖·‖p是有界閉集Ω上的連續(xù)函數(shù)，故它在Ω上有最大值M1和最小值m1。

而在Ω內(nèi)，于是有：

故類似地，‖x‖q也是有界閉集Ω上的連續(xù)函數(shù)，它在Ω上也有最大值M2和最小值m2，即有：

因此或

令，，則范數(shù)的等價性說明，一種范數(shù)可由另一種范數(shù)所控制，因而一般地有，Rn上所有范數(shù)是等價的。

下面給出矩陣范數(shù)定義。

設(shè)Rn×n是n階實矩陣集合按照實數(shù)域上矩陣的線性運算構(gòu)成的線性空間。

定義2.2對任意A∈Rn×n，若對應(yīng)一個非負實數(shù)函數(shù)

‖A‖，滿足以下4條，則稱‖A‖為矩陣A的范數(shù)：

(1)非負性，即‖A‖≥0，‖A‖=0當且僅當A=0；

(2)齊次性，即對任意實數(shù)α∈R，有

‖αA‖=|α|‖A‖；

(3)三角不等式性，即對任意A，B∈Rn×n，有

‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖；

(4)對任意A，B∈Rn×n，有‖AB‖≤‖A‖‖B‖。進一步，若對給定的矩陣范數(shù)‖·‖M，它與某個向量范數(shù)‖·‖V滿足條件(5)，則稱矩陣范數(shù)‖·‖M與向量范數(shù)‖·‖V相容。

(5)對任意A∈Rn×n，x∈Rn，有

‖Ax‖V≤‖A‖M‖x‖V成立。

設(shè)A=(aij)n×n∈Rn×n，常用的矩陣范數(shù)有：

在矩陣范數(shù)中還有一種由向量范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)。

定義2.3設(shè)x∈Rn，A∈Rn×n，‖x‖p為向量x的某種向量范數(shù)，定義矩陣A的非負函數(shù)為

可以驗證它滿足矩陣范數(shù)的條件，稱它為從屬于向量范數(shù)‖·‖p的矩陣范數(shù)，簡稱為從屬范數(shù)，

有時也稱為算子范數(shù)。

顯然，由向量范數(shù)‖x‖p所導(dǎo)出的矩陣范數(shù)‖A‖p與該向量范數(shù)‖x‖p是相容的。

關(guān)于從屬范數(shù)，有下述結(jié)論。

定理2.7矩陣范數(shù)‖A‖1，‖A‖∞，‖A‖2分別是向量范數(shù)‖x‖1，‖x‖∞，‖x‖2的從屬范數(shù)。

證明

(1)先證明是‖x‖∞的

從屬范數(shù)。

設(shè)x=(x1,x2,…，xn)T≠0，A≠0,令則于是對任意非零向量x∈Rn，有

下面說明至少有一個x0∈Rn,x0≠0使設(shè)

取向量x0=(β1,β2,…，βn)T，

(j=1，2，

…，n)，由符號函數(shù)sign定義知‖x0‖∞=1，而

即

(2)再證明是‖x‖1的從屬范數(shù)。

設(shè)則有：

所以對任意非零向量x∈Rn，都有:設(shè)

取向量x0=(β1,β2,…，βn)T，其中

,

則顯然有‖x0‖1=1,而

所以

(3)最后證明是‖x‖2的從屬范數(shù)。

顯然對任意x∈Rn，有xTATAx≥0，從而ATA為對稱半正定矩陣。設(shè)ATA的特征值從大到小依次為λ1≥λ2≥…≥

λn≥0，特征值相應(yīng)的標準正交特征向量為u1,u2,…，un，

對任意非零向量x∈Rn，有:

所以另一方面，若取x=u1，則有:

故2.2高斯消去法

高斯順序消去法是一個古老的求解線性代數(shù)方程組的方法(早在公元前250年，我國就掌握了解線性代數(shù)方程組的消去法)，對這個方法進行改進，變形得到的主元消去法、三角分解法等仍是目前計算機上常用的方法。2.2.1高斯順序消去法

設(shè)有線性代數(shù)方程組

(2.1)或?qū)憺榫仃囆问?/p>

簡記為Ax=b。首先舉一個簡單的例子來說明順序消去法的基本思想。

例2.2用順序消去法解線性代數(shù)方程組

解第一步，將此方程組第一個方程乘以－2，加到方程組的第三個方程上，消去第三個方程中的未知數(shù)x1，得到與原方程組等價的方程組第二步，將此方程組第二個方程加到方程組第三個方程上，消去第三個方程中的未知數(shù)x2，得到與原方程組等價的三角形方程組

對此方程組經(jīng)過回代，容易求得其解為x*=(1，2，3)T。上述過程用矩陣表述如下:由此看出，高斯順序消去法的基本思想是：對線性代數(shù)方程組(2.1)式所對應(yīng)的增廣矩陣(A

b)進行一系列“把某一行的非零常數(shù)倍加到另一行上”的初等行變換，使得

(A

b)中A的對角線以下的元素全變?yōu)?，從而使(2.1)式等價地轉(zhuǎn)化為容易求解的上三角形線性代數(shù)方程組，再通過回代得到上三角形線性代數(shù)方程組的解，即得到線性代數(shù)方程組(2.1)式的解。為方便敘述，我們記

(2.2)

即

1.消去過程

第一步，設(shè)，令,把(2.2)式中第1行的li1倍依次加到(2.2)式中的第i行(i=2，3，…，n)，則(2.2)式中第i(i≥2)行第j列(2≤j≤n)位置處的元素為因此，(2.2)式化為

(2.3)第二步，設(shè)，令，把(2.3)式中第2行的li2倍依次加到(2.3)式中的第i行(i=3，4，…，n)，則(2.3)式中第i(i≥3)行第j列(3≤j≤n)位置處的元素為因此，(2.3)式化為

(2.4)依次做下去，一直做到第n－1步，即有

(2.5)

至此,A(1)x=b(1)轉(zhuǎn)化為A(n)x=b(n)。

2.回代過程

容易看出，線性代數(shù)方程組(2.1)式經(jīng)過上述n-1步消去過程以后變?yōu)?2.5)式所對應(yīng)的上三角形線性代數(shù)方程組。若

以及上述消去過程中假設(shè),

…,

，則可得xn,xn-1,…，x2，x1為

(k=n－1，n－2，…，2，1)

(2.6)

此即為(2.1)式的解。注意：在Ax=b中，由于A∈Rn×n，為非奇異矩陣，如果a11=0，則A的第一列一定有元素不等于0，比如ai1≠0，于是交換第一行和第i行，將ai1調(diào)到(1，1)的位置，然后進行消元計算，這時A(2)右下角矩陣為n－1階非奇異矩陣。繼續(xù)此過程，高斯消去法照樣可繼續(xù)進行?？偨Y(jié)上述討論即有定理2.8。

定理2.8設(shè)Ax=b，其中A∈Rn×n，

(1)如果(k=1,2,…，n)，則可通過高斯順

序消去法將Ax=b化為等價的上三角形線性代數(shù)方程組(2.5)式，且計算公式為

(a)消元計算(k=1，2，…，n－1)：

(b)回代計算：

(2)如果A為非奇異矩陣，則可通過高斯消去法(及交換兩行的初等變換)將方程組Ax=b約化為(2.5)式。

(3)如果A的各階順序主子式di≠0(i=1,2,…，n)，則可通過高斯順序消去法將方程組Ax=b約化為(2.5)式，即

(2.7)下面計算高斯順序消去法中乘除法運算的工作量。

(1)消去過程中的計算量。在第k步的消去過程中，對矩陣A(k)的元素作n－k次除法運算和(n－k)2次乘法運算，對b(k)作n－k次乘法運算，于是消去過程中總的乘除運算量為

(2)回代過程中的計算量。計算xk需作(n－k)次乘法運算和一次除法運算，于是回代過程中的運算量為

因此，用高斯順序消去法計算線性代數(shù)方程組(2.1)式解的乘除法運算次數(shù)為在浮點機上完成一次乘除運算比完成一次加減運算所耗的時間要多得多，故當一個算法中的加減運算次數(shù)與乘除運算次數(shù)相差不多時，僅考慮乘除運算次數(shù)就可以體現(xiàn)該算法的計算量。

如果在消去的過程中考慮進行行交換，那么求線性代數(shù)方程組(2.1)式的解所進行的乘除法運算量不超過對于一個含有20個未知量的線性代數(shù)方程組，用高斯消去法求解，總的乘除法運算量不超過3440次，用每秒1億次運算速度的計算機來完成則是一瞬間的事情，而如果采用線性代數(shù)課程中學(xué)過的克萊姆法則求解，則其乘除法的運算量大約為9.7×1020，也就是說，即使用每秒1億次運算速度的計算機計算，也需要30多萬年。因此，算法的好壞對計算能力的提高至關(guān)重要。

例2.3采用四位有效數(shù)字，求下列線性代數(shù)方程組的解：

解方法1采用不進行行交換的高斯消去法求解。把的第一行乘以－1764加到第二行,有:

回代可得x2=1.001，x1=－10.00。

方法2采用進行行交換的高斯消去法求解。

交換增廣矩陣第一、二行，有：把的第一行乘以－0.0005670加到第二行,有:

回代可得x2=1.000，x1=10.00。從原線性代數(shù)方程組可看出精確解為x1=10.00，x2=1.000，即為方法2所求的解。那么方法1得出的解為何會有如此大的誤差呢？這主要是因為在計算x2時，產(chǎn)生的小誤差0.001導(dǎo)致了在求解x1時產(chǎn)生了更大的誤差，即誤差擴大了20000倍。

從以上例子可以看出，高斯順序消去法是有缺陷的。它并沒有考慮同列對角線以下元素絕對值的大小關(guān)系，有時會導(dǎo)致用絕對值較小的數(shù)字做分母而出現(xiàn)較大的數(shù)字與較小數(shù)字進行相加減運算而被“吞掉”的現(xiàn)象，以至于產(chǎn)生某一未知元較小的誤差卻引起其它元更大的誤差。為了改變這一缺陷，實際應(yīng)用時較多采用高斯主元消去法。2.2.2高斯主元消去法

根據(jù)主元選取范圍不同，主元消去法又分為列主元消去法和全主元消去法。

1.列主元消去法

設(shè)線性代數(shù)方程組(2.1)式的增廣矩陣為首先在的第一列中選取絕對值最大的元素

作為第一列的主元，即

然后交換中的第一行與第i行，經(jīng)一次消元計算得

此消去過程與高斯順序消去法完全相同。重復(fù)上述過程，設(shè)已完成第k－1步的選主元素，交換兩行及消元過程后(A

b)已約化為第k步選主元素，在右下角方陣的第一列內(nèi)選取絕對值最大的元素作為這一列的主元，即

然后交換的第i行與第k行，再進行消元計算。如此重復(fù)上述過程，直到最后將原線性代數(shù)方程組約化為回代求解

從上面分析可以看出，列主元消去法除了每步需要按列選出主元，然后進行對換外，其消去過程與高斯順序消去法是相同的。

2.全主元消去法

全主元消去法是對于一般的矩陣，每一步都在要處理的矩陣(或消元后的低階矩陣)中選取絕對值最大的元素作為主元，從而使高斯消去法具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性的方法。雖然全主元消去法的求解結(jié)果更加可靠，但由于全選主元每步耗時更多，而且要進行列交換，那么所求未知量x1,x2,…,xn的次序就會被打亂，因此，實際應(yīng)用中一般使用列主元消去法。

2.3矩陣的三角分解

由線性代數(shù)知道，對矩陣進行一次初等變換，就相當于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘或右乘原來的矩陣。因此，我們把上述求解線性代數(shù)方程組的高斯消去法用矩陣乘法表示出來，即可得到求解線性代數(shù)方程組的另一種直接方法——矩陣的三角分解法。設(shè)(2.1)式的系數(shù)矩陣A∈Rn×n的各階順序主子式均不為0。由于對A施行初等行變換相當于用相應(yīng)的初等矩陣左乘矩陣A，因此對(2.1)式施行第一次消元后，化為

，其中A(1)化為A(2)

，b(1)化為b(2)，即其中，一般第k步消元后，化為，其中A(k)化為A(k+1)，b(k)化為b(k+1)，相當于

LkA(k)=A(k+1)，Lkb(k)=b(k+1)

其中，重復(fù)這個過程，最后得到

(2.8)

其中,將上三角形矩陣A(n)記為U，由(2.8)式得

其中,

為單位下三角矩陣。由以上討論可知，高斯順序消去法實質(zhì)上產(chǎn)生了一個將A分解為兩個三角形矩陣相乘的因式。為明確起見，對矩陣的三角分解有如下定義。

定義2.4設(shè)A為n(n≥2)階方陣，稱A=LU為矩陣A的三角分解，其中L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。

定義2.5若L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣，則三角分解A=LU稱為杜利脫爾(Doolittle)分解；若L是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱A=LU為克羅脫(Grout)分解。應(yīng)該注意的是，矩陣A=LU的三角分解是不唯一的，如

其中，L1=LD，U1=D－1U。對角矩陣D為可逆的非單位矩陣，顯然L1≠L，U1≠U。為了保證A的三角分解的唯一性，我們有如下定理。

定理2.9如果非奇異矩陣A滿足下列三個條件之一，

則矩陣A有唯一的杜利脫爾分解A=LU和唯一的克羅脫分解

。

(1)A的各階順序主子式det(Ak)>0(k=1,2,…，n)；

(2)

(3)A為對稱正定矩陣。

證明僅給出條件(1)下杜利脫爾分解唯一性的證明，其余情形讀者可練習(xí)證明。

根據(jù)以上高斯消去法的矩陣分析，當det(Ak)>0(k=1,2,…,n)時，杜利脫爾分解過程可以進行到底，即A=LU的存在性已證。以下證明分解的唯一性。

設(shè)A為非奇異矩陣，且

A=LU=L1U1

其中,L、L1

為單位下三角矩陣，U、U1為上三角矩陣。由于U１－1存在，因此

容易證明上(下)三角矩陣的逆矩陣仍然為上(下)三角矩陣，因而上式右邊為上三角矩陣，左邊為單位下三角矩陣，故上式要成立，兩邊都必須等于單位矩陣，從而U=U1，L=L1。證畢。2.3.1直接三角分解法

將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣A的元素得到計算L、U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟，這就是所謂的直接三角分解法。一旦實現(xiàn)了矩陣A的LU分解，那么求解線性代數(shù)方程組Ax=b的問題就等價于求解兩個三角方程組

Ly=b，求y

Ux=y，求x

的問題，而這兩個線性代數(shù)方程組只要回代，就可以求出其解。

1.不選主元的三角分解法

設(shè)A為非奇異矩陣，且有分解式A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，即

(2.9)第一步，用L的第一行分別乘U的第j(j=1，2，…，n)列，比較兩邊可得

a1j=u1j

(j=1，2，…，n)

分別用L的第i(i=2，3，…，n)行乘U的第一列，比較兩邊可得

ai1=li1u11

(i=2，3，…，n)

即得

(i=2，3，…，n)

這樣就求出了L的第一列和U的第一行的所有元素。第二步，用L的第二行分別乘U的第j(j=2，3，…，n)列，比較兩邊可得

a2j=l21u1j+u2j

(j=2，3，…，n)

即得

u2j=a2j－l21u1j

(j=2，3，…，n)

分別用L的第i(i=3，4，…，n)行乘U的第二列，比較兩邊可得

ai2=li1u12+li2u22

即得

這樣就求出了L的第二列和U的第二行的所有元素。依次進行下去，一直到第k－1步，即已求出L的前k－1列和U的前k－1行的所有元素。

第k步，用L的第k行分別乘U的第j(j=k，k+1，…，n)列，比較兩邊可得

akj=lk1u1j+…+lk，k－1uk－1，j+ukj

(j=k，k+1，…，n)

即得

ukj=akj－(lk1u1j+…+lk，k－1uk－1，j)

(j=k，k+1，…，n)分別用L的第i(i=k+1，…，n)行乘U的第k列，比較兩邊可得

aik=li1uik+…+li，k－1uk－1，k+likukk

(i=k+1，…，n)

即得總結(jié)上述討論，得到用直接三角分解法求解Ax=b(要求A的所有順序主子式都不為零)的計算公式：及求解Ly=b，Ux=y的計算公式：

例2.4用杜利脫爾分解法求線性代數(shù)方程組的解：

解設(shè)第一步有：

u11=1,

u12=2,

u13=3

l21=1,

l31=1

第二步有：

u22=1,

u23=2

l32=1

第三步有：

u33=1

l33=1于是有

由Ly=b得y=(2,1,1)T；由Ux=y得x=(1，－1，1)T。

直接三角分解法大約需要次乘除法運算，與高斯順序消去法的計算量基本相同。

2.選主元的三角分解法

從直接三角分解公式可以看出，當ukk=0時，或者當ukk絕對值很小時，按分解公式計算可能會引起舍入誤差的積累，但如果A為非奇異矩陣，則可通過對A進行行交換后再分解的方法實現(xiàn)LU分解。也就是說，可采用與列主元消去法類似的方法，將直接三角分解法修改為(部分)選主元的三角分解法。

定理2.10對非奇異矩陣A，存在n階置換陣

(ik≥k)，使得PA有杜利脫爾分解，即PA=LU。

證明由于A為非奇異矩陣，因而有

Ln－1Pn－1…L2P2L1P1A=U

成立，此式等價于用帶行交換的高斯消元法將A化為上三角形矩陣。其中Lk為單位下三角矩陣；Pk為初等置換矩陣，表示進行第k行與它下面的某行進行交換，且PkPk=I；U

為上三角形矩陣。從而有其中，容易驗證為單位下三角矩陣，因此

例2.5用帶行交換的杜利脫爾分解求線性代數(shù)方程組的解。

解

于是于是

即令P=P2，L－1=P2L1P2，則

這樣我們得到A的杜利脫爾分解為PA=LU。因此，由Ax=b有PAx=Pb，即LUx=Pb，故

回代計算可得y=(5，7，4)T，x=(2，3，4)T。2.3.2平方根法

許多問題的求解所歸納出來的線性代數(shù)方程組Ax=b，其系數(shù)矩陣常常具有對稱正定性。由上節(jié)討論可知，這樣的系數(shù)矩陣A一定有唯一的杜利脫爾分解，因而完全可用前述方法分解并求解。然而利用矩陣A的對稱正定性，我們可以建立更好的三角分解法，這就是下面的平分根法。

定義2.6設(shè)A是n(n≥2)階實對稱正定矩陣，L是非奇異的下三角矩陣，則稱A=LLT為矩陣A的喬列斯基(Cholesky)分解。

喬列斯基分解法計算公式如下所述。設(shè)A為實對稱正定矩陣，令A(yù)=LLT，即第一步，分別用L的第i(i=1，2，…，n)行乘LT的第一列，比較兩邊元素可得

a11=l11l11，ai1=l11li1

(i=2，3，…，n)

即得

第二步，分別用L的第i(i=2，3，…，n)行乘以LT第二列，比較兩邊元素可得

即得依次進行下去，直到第n－1步。

第n步，用L的第n行乘LT的第n列，比較兩邊元素可得

即得綜上所述，可以得到解對稱正定方程組Ax=b的平方根法計算公式，對于i=1，2，…，n，有：而求解線性代數(shù)方程組Ax=b相當于求解兩個三角形方程組：

Ly=b

(求y)

LTx=y

(求x)

從而有：由計算公式①知：

所以這說明在喬列斯基分解過程中，元素lis的平方不會超過A的最大對角元素，因而舍入誤差的放大受到了限制。因此，用平方根方法求解對稱正定矩陣所對應(yīng)的線性代數(shù)方程組時可以不考慮選主元問題。平方根法約需次乘除法，大約為一般直接LU分解法計算量的一半。

在上述計算lis的公式中，由于每步都有開方運算，因此也稱喬列斯基分解法為平方根法。在用平方根法解對稱正定矩陣所對應(yīng)的線性代數(shù)方程組時，不可避免地要用到開方運

算，為了避免開方運算，我們可以對喬列斯基分解法作以改進，從而得到以下定理。

定理2.11

n(n≥2)階對稱正定矩陣A必有如下分解：

A=LDLT

其中，L是單位下三角矩陣；D是對角元素全為正的對角矩陣，并且這種分解是唯一的。

證明因為A為對稱正定矩陣，A的順序主子式全大于0，從而A有唯一的杜利脫爾分解，因為

所以故有將等式右端三個矩陣分別記為LDR，因為AT=A，所以有：

A=LDR=RTDLT=AT

或

A=L(DR)=RT(DLT)

由杜利脫爾分解的唯一性可知，L=RT，LT=R，從而

A=LDLT

即上式分解的唯一性成立。應(yīng)用定理2.11的分解式A=LDLT解線性代數(shù)方程組Ax=b，其分解計算量與LLT分解計算量差不多，但LDLT分解不需要開方計算。

例2.6用改進的平方根法解方程組：

解

設(shè)由矩陣乘法得即得于是有

從而由Ly=b得y=(2,3,1)T；由DLTx=y得x=(1,1,1)T。

關(guān)于喬列斯基分解的唯一性有如下定理。

定理2.12

n(n≥2)階對稱正定矩陣A一定有喬列斯基分解A=LLT，當限定L對角線上元素全為正時，喬列斯基分解是唯一的。

證明由定理2.11可知，存在單位下三角矩陣L1，對角線元素全為正的對角矩陣D=diag(u11,u22，…，unn)，使得

記

則有

再令，顯然L是非奇異的下三角矩陣，故A有喬列斯基分解A=LLT，當L的對角線元素全為正時，由杜利脫爾分解的唯一性可推知喬列斯基分解的唯一性。2.3.3解三對角方程組的追趕法

有些實際問題，如二階常微分方程邊值問題、熱傳導(dǎo)問題等導(dǎo)出的線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是三對角矩陣，即Ax=d，其中，并且滿足條件

即三對角矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，此時A的各階順序主子式不為零，因此A有唯一的杜利脫爾分解。但根據(jù)A是三對角矩陣的特點，易知三對角矩陣有如下更特殊的杜利脫爾三角分解式：

A=LU且由矩陣乘法運算，比較上式兩邊對應(yīng)元素可得如下計算公式：從而將求解方程組Ax=d化為求解兩個二對角方程組Ly=d和Ux=y，計算公式如下：

如果把A進行克羅脫分解，則有：

即有由矩陣乘法運算，比較上式兩邊對應(yīng)元素可得如下計算公式：從而將求解方程組Ax=d化為求解兩個方程組和，計算公式為追趕法公式實際上就是把高斯消去法用到求解三對角線方程組上去的結(jié)果。這時由于A特別簡單，因此使得求解的計算公式非常簡單，而且計算量僅為5n－4次乘法，而另外增加一個方程組僅增加3n－2次乘法運算，可見追趕法的計算量是比較小的。

例2.7用追趕法求解三對角線性代數(shù)方程組：

解令A(yù)=LU，即利用矩陣乘法運算，再比較兩邊對應(yīng)元素可得從而從而由Ly=d及Ux=y可算出

2.4矩陣的條件數(shù)與方程組的性態(tài)

考慮線性代數(shù)方程組Ax=b，其中A為非奇異矩陣，x為方程組的精確解。由于A(或b)元素是測量得到的，或者是計算的結(jié)果，在第一種情況下，A(或b)常帶有某種觀測誤差，而在后一種情況下A(或b)又包含有舍入誤差，因此參與線性代數(shù)方程組運算的實際矩陣是A+δA(或b+δb)。本節(jié)討論線性代數(shù)方程組的解對系數(shù)矩陣A與常數(shù)項b的擾動(誤差)的敏感性問題。先來觀察兩個例子。

例2.8線性代數(shù)方程組：

的精確解為(1,1)T，若A及b作微小擾動，擾動后的線性代數(shù)方程組為則其精確解為(－2，7)T。由此可見，在本例中，A與b的微小變化引起了x的很大的變化，這表明x對A與b的擾動是敏感的。此例中，detA=－10－4，方程組由兩條幾乎平行的直線組成，因而當其中一條直線有很小的變化時，新交點與原交點相差較遠。

例2.9線性代數(shù)方程組：的精確解為x=(9.2,－12.6,4.5,－1.1)T，如果對方程組的系數(shù)矩陣A作微小擾動，則變?yōu)?/p>

從而其精確解為x=(－8.1,137,－34,22)T。同樣，解也有很大的誤差。下面來詳細分析線性代數(shù)方程組Ax=b中向量b和系數(shù)矩陣A的微小擾動對解x的影響。首先來看一些相關(guān)基本概念。

如例2.8和例2.9所示，當方程組的系數(shù)矩陣A或b有微小變化時，方程組的解可能會產(chǎn)生很大的變化，這樣的方程組稱為病態(tài)方程組。

定義2.7如果矩陣A或常數(shù)項b的微小變化，引起方程組Ax=b解的巨大變化，則稱此方程組為“病態(tài)方程組”，相對于方程組而言，矩陣A稱為“病態(tài)”矩陣，否則稱方程組

為“良態(tài)”方程組，A為“良態(tài)”矩陣。

應(yīng)該注意，矩陣的“病態(tài)”性質(zhì)是矩陣本身的特性，下面希望找出刻畫矩陣“病態(tài)”性質(zhì)的量。設(shè)有方程組：

Ax=b

(2.10)其中，A為非奇異矩陣，x為(2.10)式的精確解，以下我們來研究方程組的系數(shù)矩陣A(或b)的微小誤差(擾動)對解的影響問題。

1.常數(shù)項b有擾動

設(shè)A是精確的，b有誤差δb，解為x+δx，即

A(x+δx)=b+δb

則

δx=A－1δb

‖δx‖≤‖A－1‖‖δb‖

(2.11)

由(2.10)式得‖b‖≤‖A‖‖x‖，即

(2.12)

于是由(2.11)式及(2.12)式得定理2.13。

定理2.13設(shè)A是非奇異矩陣，Ax=b≠0,且A(x+δx)=b+δb,則

(2.13)

上式給出了解的相對誤差的上界，常數(shù)項b的相對誤差在解中可能放大‖A－1‖‖A‖倍。

2.系數(shù)矩陣A有擾動

設(shè)(2.10)式中b是精確的，A有微小誤差(擾動)δA，解為x+δx，即

(A+δA)(x+δx)=b

則

(A+δA)δx=－(δA)x

而

A+δA=A(I+A－1δA)當‖A－1δA‖<1時，(I+A－1δA)－1存在，則有

δx=－(I+A－1δA)－1A－1(δA)x

因此設(shè)

‖A－1‖‖δA‖<1

即得

(2.14)

3.系數(shù)矩陣A和常數(shù)項b都有擾動

設(shè)(2.10)式中A和b都有小擾動時，解為x+δx，即

(A+δA)(x+δx)=(b+δb)

則

(A+δA)δx=δb－δAx

得

δx+A－1δAδx=A－1δb－A－1δAx從而

‖δx‖－‖A－1‖‖δA‖‖δx‖≤‖A－1‖‖δb‖

+‖A－1‖‖δA‖‖x‖

兩邊同除‖x‖，并由(2.12)式得當‖A－1‖‖δA‖<1時，可得

(2.15)

分析(2.13)~(2.15)式可知，無論方程組(2.10)式中右端常數(shù)項b有擾動，還是系數(shù)矩陣A有擾動，或者兩者都有擾動，總之，量‖A－1‖‖A‖愈小，由A(或b)的相對誤差

引起的解的相對誤差就愈小，量‖A－1‖‖A‖愈大，解的相對誤差就愈大，所以量‖A－1‖‖A‖實際上刻畫了解對原始數(shù)據(jù)變化的靈敏程度，即刻畫了方程組的“病態(tài)”程度。

定義2.8設(shè)A為n階非奇異矩陣，稱數(shù)

Cond(A)v=‖A‖v‖A－1‖v

為矩陣A的條件數(shù)。其中，‖·‖v為Rn×n中的某種矩陣范數(shù)。

由此看出，矩陣的條件數(shù)與矩陣范數(shù)有關(guān)。矩陣的條件數(shù)是一個十分重要的概念，由上面討論知，當A的條件數(shù)相對比較大，即Cond(A)>>1時，方程組Ax=b是“病態(tài)”的(即A為“病態(tài)”或者說相對于解方程組來說A是壞條件的)；當A的條件數(shù)相對較小時，方程組Ax=b是“良態(tài)“的(或者說A是好條件的)。注意，方程組病態(tài)性質(zhì)是方程組本身的特性，A的條件數(shù)愈大，方程組的病態(tài)程度愈嚴重，也就愈難用一般的計算方法求比較精確的解。常用的條件數(shù)有：條件數(shù)的性質(zhì)有：

(1)對任意非奇異矩陣A∈Rn×n，有Cond(A)≥1；

(2)對任意非奇異矩陣A∈Rn×n及c∈R，c≠0，有Cond(cA)=Cond(A)；

(3)對于任意正交矩陣A，有Cond(A)2=1;

(4)如果P為正交矩陣，A為非奇異矩陣，則有Cond(PA)2=Cond(AP)2=Cond(A)2。

例2.10已知希爾伯特(Hilbert)矩陣:

計算H3的條件數(shù)。

解

(1)計算H3的條件數(shù)Cond(H3)10：

同理可計算得Cond(H6)∞=2.9×107，Cond(H7)∞=

9.85×108。可見，隨著n的增大，Cond(Hn)2急劇增加，因此，以Hn為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Hnx=b是嚴重病態(tài)的。

(2) 考慮方程組

設(shè)H3及b有微小誤差(取3位有效數(shù)字)，有：

(2.16)簡寫為(H3+δH3)(x+δx)=b+δb，方程組H3x=b與(2.16)式的精確解分別為

x=(1，1，1)T

x+δx=(1.089512538,0.487967062,1.491002798)T于是δx=(0.089512538,－0.512032938,

0.491002798)T，可以算得：

這就是說,H3與b的相對誤差不超過0.2%，而引起的解的相對誤差則超過了50%。由上述例題可以看出，對于給定的線性代數(shù)方程組Ax=b，要判斷它是否病態(tài)并不容易，因為用條件Cond(A)=‖A‖‖A－1‖判斷時要求出A－1，而計算A－1是比較費勁的，那么在實際計算中如何發(fā)現(xiàn)病態(tài)情況呢？

(1)如果在系數(shù)矩陣A的三角分解時(尤其是用主元素消去法解(2.10)式)出現(xiàn)小主元，則對大多數(shù)矩陣來說，A可能是病態(tài)的。

(2)系數(shù)矩陣A的行列式值相對很小，或系數(shù)矩陣某些行近似線性相關(guān)，則A可能是病態(tài)的。

(3)系數(shù)矩陣A的元素間數(shù)量級相差很大，并且無一定規(guī)則，則A可能是病態(tài)的。一般病態(tài)線性代數(shù)方程組的求解是比較困難的，線性代數(shù)方程組給定時，其系數(shù)矩陣的條件數(shù)也是隨之確定的，因而線性代數(shù)方程組的性態(tài)是方程組本身固有的性質(zhì)，與求解線性方程組的算法無關(guān)。

在計算機上求解線性方程組，都是所給方程組的擾動方程組，這是因為將系數(shù)矩陣和常數(shù)項輸入計算機后，機器要對數(shù)作十進制和二進制轉(zhuǎn)化，由于字長的限制總有誤差。對于良態(tài)方程組，只要求解方法穩(wěn)定，即可得到比較滿意的計算結(jié)果；但對于病態(tài)方程組，即使采用穩(wěn)定性好的算法也未必能得到理想解。對于病態(tài)方程組Ax=b，實際應(yīng)用中使用下述兩種方法進行處理：

(1)采用高精度的算術(shù)運算。如采用雙精度運算，使由于舍入誤差的放大而損失若干有效數(shù)位后，還能保留一些有效數(shù)位，改善或減輕“病態(tài)”影響。

(2)對方程組進行預(yù)處理。如用可逆對角矩陣對方程組進行矩陣平衡，降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)。具體作法是尋找可逆對角矩陣D，使方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為等價方程組DAx=Db，并且使DAx=Db的條件數(shù)相對較小，如計算(i=1，2，…)，取D=diag(S－11，S－12，

…，S－1n)，那么Cond(DA)的值比Cond(A)要小得多。

例2.11對線性代數(shù)方程組：

(2.17)

計算條件數(shù)Cond(A)∞。

解

可見原方程組為病態(tài)方程組?，F(xiàn)對方程組進行預(yù)處理。

取，

得

設(shè)DA=A′，Db=b′,則有同解方程組:

A′x=b′

(2.18)而

于是當用列主元消去法解(2.17)式時(計算到三位數(shù)字)：

得到很壞的結(jié)果：x2=1，x1=0。

現(xiàn)用列主元消去法解(2.18)式，得到

從而得到較好的解：x1=1，x2=1。2.5解線性代數(shù)方程組的迭代法

考慮線性代數(shù)方程組:

Ax=b

(2.19)其中,A為非奇異矩陣，當A為低階稠密矩陣時，選主元消去法是解(2.19)式的有效方法，但是，對由工程技術(shù)中產(chǎn)生的大型稀疏矩陣方程組(A的階數(shù)n

很大，零元素很多，例如求某些偏微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線性方程組，n≥104)，利用迭代法求解(2.19)式是合適的。在計算機的內(nèi)存和運算方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特點。本節(jié)將介紹迭代法的一些基本理論及雅可比(Jacobi)迭代(簡稱J－迭代)、高斯賽德爾(Gauss-Seidel)迭代(簡稱GS-迭代)、逐次超松弛(SuccesiveOver-Relaxation)迭代(簡稱SOR-迭代)和對稱逐次超松弛(SymmetricSuccessiveOverRelaxation)迭代(簡稱SSOR迭代)。其中，超松弛迭代法應(yīng)用很廣泛。

先看下面簡例，以便了解迭代法的基本思想。

例2.12求解線性代數(shù)方程組：

(2.20)

解記為Ax=b，其中，線性代數(shù)方程組的精確解x*=(3，2，1)T?，F(xiàn)將(2.20)式改寫為

(2.21)

也可簡寫為

x=Bx+f其中，任取初始值，比如取x(0)=(0，0，0)T，代入(2.21)式右邊(若(2.21)式為等式即求得線性代數(shù)方程組的解，但一般不滿足)，得到新的值x(1)=(x(1)1，x(1)2，x(1)3)T=(2.5,3,3)T，再將x(1)代入(2.21)式右邊得到x(2)。反復(fù)利用這個計算程序，得到一個向量序列和一般的計算公式(迭代公式)：

(2.22)簡寫為

x(k+1)=Bx(k)+f

其中，k表示迭代次數(shù)(k=0，1，2，…)。

迭代到第10次時有：

x(10)=(3.000032,1.999838,0.9998813)T

‖ε(10)‖∞=0.000187

(ε(10)=x(10)－x*)

從此例看出，由迭代法產(chǎn)生的向量序列x(k)逐次逼近線性代數(shù)方程組的精確解x*。對于任何一個線性代數(shù)方程組x=Bx+f(由Ax=b變形得到的等價方程組)，由迭代法產(chǎn)生的向量序列x(k)是否一定逐步逼近線性代數(shù)方程組的解x*呢？回答是不一定。請讀者考慮用迭代法解下述方程組：對于給定方程組x=Bx+f，設(shè)有唯一解x*，則

x*=Bx*+f

(2.23)

又設(shè)x(0)為任取的初始向量，按下述公式構(gòu)造向量序列

x(k+1)=Bx(k)+f

(k=0，1，2，…)(2.24)其中，k表示迭代次數(shù)。

定義2.9

(1)對于給定的線性代數(shù)方程組x=Bx+f，用(2.24)式逐步代入求近似解的方法稱為迭代法(或稱為一階定常迭代法，這里B與k無關(guān))。

(2)如果存在(記為x*)，則稱此迭代法收斂，顯然，x*就是線性代數(shù)方程組的解，否則稱迭代法發(fā)散。由上述討論，需要研究{x(k)}的收斂性。引入誤差向量：

ε(k+1)=x(k+1)－x*

由(2.24)式減去(2.23)式得

ε(k+1)=Bε(k)

(k=0,1,2,…)

遞推得

ε(k)=Bε(k－1)=…=Bkε(0)

可見要考察{x(k)}的收斂性，就要研究B在什么條件下有

，即要研究B滿足什么條件時有。2.6基本迭代法

對線性代數(shù)方程組:

Ax=b(2.25)

其中，A=(aij)∈Rn×n為非奇異矩陣，下面研究如何建立解Ax=b的各種迭代方法。

將A分裂為

A=M－N

(2.26)其中，M為非奇異矩陣，且要求線性代數(shù)方程組Mx=d容易求解，一般選擇為A的某一部分元素構(gòu)成的矩陣，稱M為A的分裂矩陣。于是，求解Ax=b轉(zhuǎn)化為求解Mx=Nx+b，

即

由此可構(gòu)造一個迭代法

(2.27)

其中，B=M－1N=M－1(M－A)=I－M－1A，f=M－1b，稱

B=I－M－1A為迭代法的迭代矩陣。通過選取不同的M矩陣，就可得到解Ax=b的各種迭代方法。設(shè)aii≠0(i=1,2,…，n)，將A分為三部分：

(2.28)2.6.1雅克比迭代法(J-迭代法)

由aii≠0(i=1,2,…，n)，選取M為A的對角元素組成的矩陣，即選取M=D(對角陣)，因此A=D－N。由(2.27)式得到解Ax=b的雅克比迭代法：

(2.29)

其中，BJ=I－D－1A=D－1(L+U)，f=D－1b，稱BJ為求解Ax=b的雅克比迭代法的迭代矩陣。以下給出雅克比迭代的分量計算公式。令x(k)=(x(k)1，x(k)2，…，x(k)n)T，由雅克比迭代公式(2.29)有：

即有于是，解Ax=b的雅克比迭代法的計算公式為

(2.30)

由(2.30)式可知，雅克比迭代法的計算公式簡單，每迭代一次只需計算矩陣和向量的乘法一次，且計算過程中原始矩陣A的元素始終不變。

例2.13用J迭代法計算線性代數(shù)方程組：

的近似解x(k+1)，要求‖x(k+1)－x(k)‖∞<10－5(精確解為x1=3,x2=4,x3=－5)。

解應(yīng)用J-迭代法，取x(0)=(1，1，1)T，得到迭代公式對k=0，1，…，計算得

x(1)=(5.250000,7.000000,-5.750000)T

x(2)=(0.750000,2.125000,-4.250000)T

x(58)=(2.999996,3.999996,-4.999999)T

且滿足‖x(58)－x(57)‖∞<10－5。2.6.2高斯-賽德爾迭代法(GS-迭代法)

選取矩陣M為A的下三角部分，即M=D－L(下三角矩陣)，因此A=M－N，由(2.27)式得到解Ax=b的高斯賽德爾迭代法：

(2.31)

其中，BG=I－(D－L)－1A=(D－L)－1U，f=(D－L)－1b，

稱BG=(D－L)－1U為解Ax=b的高斯-賽德爾迭代法的迭代矩

陣。以下給出高斯-賽德爾迭代法的分量計算公式。記x(k)=(x(k)1，x(k)2，…，x(k)n)T，由(2.31)式有：

(D－L)x(k+1)=Ux(k)+b

即

得于是，解Ax=b的高斯賽德爾迭代法的計算公式為

(2.32)雅克比迭代法不使用變量的最新信息計算xi(k+1)，而由高斯-賽德爾迭代公式(2.32)可知，計算x(k+1)的第i個分量xi(k+1)時,利用了已經(jīng)計算出的最新分量xj(k+1)(j=1，2，…，i－1),高斯-賽德爾迭代法可看做是雅克比迭代法的一種改進。由(2.32)式可知，高斯-賽德爾迭代法每迭代一次只需計算一次矩陣與向量的乘法。

例2.14用高斯-賽德爾迭代法解線性方程組(2.20)。

解應(yīng)用高斯-賽德爾迭代公式，取x(0)=(0，0，0)T，得對k=0，1，…，計算

x(1)=(2.500000,2.090909,1.227273)T

x(7)=(3.000002,1.9999987,0.9999932)T

此時‖x*－x(7)‖∞<2.02×10－6。由此例可知，用高斯-賽德爾迭代法、雅克比迭代法解同一線性代數(shù)方程組(2.20)(且取x(0)=(0,0,0)T)時均收斂，而高斯-賽德爾迭代法比雅克比迭代法收斂快，(即取相同初始值x(0)，在同樣精度要求下，高斯-賽德爾迭代法所需迭代次數(shù)較少)，