一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

l-|2x-3|,l<x<2

1.已知函數(shù)f(x)=<,則下列說法正確的是()

—f—|,x>2

2⑶

(11)

A.若函數(shù)y=/(x)-丘有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為二,二

1246)

B.關(guān)于x的方程=0(〃eN0)有2〃+4個(gè)不同的解

C.對(duì)于實(shí)數(shù)工￡[1,十8),不等式24(工)一340恒成立

D.當(dāng)x￡[2"T,2"]5eN*)時(shí)，函數(shù)的圖象與X軸圍成的圖形的面積為1

【答案】AC

【分析】

根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖像，對(duì)于A,C利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，對(duì)于B,D利用

特值法進(jìn)行判斷.

【詳解】

33

當(dāng)IVXV—時(shí)，/(x)=2x-2；當(dāng)二vx?2時(shí)，f(x)=4-2x；

222

當(dāng)2c<3,則1苦竦，/W=iZ(C=i"1；

3x/(x)=W=2.：

當(dāng)3<xW4,則二<W?2,

22

X1iX?X1

當(dāng)4vx<6,則2<343,/(x)=-/-=---；

當(dāng)6vxW8,則3v：V4,fW-^-fy

，乙\乙)I

對(duì)于A,函數(shù)y=/（x）-辰有4個(gè)零點(diǎn)，即丁=/*）與丁=履有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線

,一京的斜率應(yīng)該在直線m,c之間，又m=：，幻='，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，f（x）=5有3個(gè)交點(diǎn)，與2〃+4=6不符合，故B錯(cuò)誤；

3

對(duì)于C,對(duì)于實(shí)數(shù)工￡[1,+8）,不等式240）-3工0恒成立，即恒成立，由圖

2x

33

知函數(shù)/（幻的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線y=—上，故/（x）?—恒成立，故C正確；

2x2x

對(duì)于D,取〃=1,XG[1,2],此時(shí)函數(shù)/*）的圖像與x軸圍成的圖形的面積為

—x1x1=—,故D錯(cuò)誤；

22

故選：AC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解投；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

2.已知/（力為定義在R上且周期為5的函數(shù)，當(dāng)工￡[0,5）時(shí)，/⑴=k2一?+3].則下

列說法中正確的是（）

A.7（力的增區(qū)間為（1+5匕2+5%）口（3+5L5+5攵），keZ

B.若y=〃與y=在[-5,7]上有io個(gè)零點(diǎn)，則。的范圍是（0,1）

C.當(dāng)時(shí)，“X）的值域?yàn)閇0,3],則。的取值范圍[1,4]

/12、

D.若y=H-2（&>0）與y=有3個(gè)交點(diǎn)，則％的取值范圍為

【答案】BC

【分析】

首先作出了（九）的圖象幾個(gè)周期的圖象，由于單調(diào)區(qū)間不能并，可判斷選項(xiàng)A不正確；利

用數(shù)形結(jié)合可判斷選項(xiàng)B、C；舉反例如&=1時(shí)經(jīng)分析可得了=依一2伙>0）與y=/（x）

有3個(gè)交點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)D不正確，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

y=x-2

對(duì)于選項(xiàng)A：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能用并集，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由圖知若>與y=f（x）在［-5,7］上有10個(gè)零點(diǎn)，則。的范圍是（0,1）,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C/（1）=0,/（4）=3,由圖知當(dāng)時(shí),/（力的值域?yàn)椋?,3］,則。的

取值范圍［1,4］,故選項(xiàng)c正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)女=1時(shí)，直線為丁二X一2過點(diǎn)（5,3）,“X）也過點(diǎn)（5,3）,當(dāng)x=10

時(shí)，y=10-2=8,直線過點(diǎn)（10,8）,而點(diǎn)（10,8）不在“外圖象上，由圖知：當(dāng)

&=1時(shí)，直線為丁二%—2與y=/（x）有3個(gè)交點(diǎn)，由排除法可知選項(xiàng)D不正確，

故選：BC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：己知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

e\x<0

3.設(shè)函數(shù)=191,對(duì)關(guān)于工的方程，2（彳）一"（"）+2—6=0,下

-x+2x+—.x>0

2

列說法正確的有（）.

A.當(dāng)人=一2+26時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根

3

B.當(dāng)人=二時(shí)，方程有5個(gè)不等實(shí)根

C.若方程有2個(gè)不等實(shí)根，則。＜bW2

D.若方程有6個(gè)不等實(shí)根，則一2+2石＜力＜3

2

【答案】BD

【分析】

先作出函數(shù)的圖象，進(jìn)行換元/（工）=乙將方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次方程，結(jié)合/*）

函數(shù)值的分布，對(duì)選項(xiàng)中參數(shù)值與根的情況逐一分析判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

選項(xiàng)A中，6=-2+2當(dāng)時(shí)方程為產(chǎn)+（2-26/+4-26=0,即卜+1一百）2=0,

故1=6-\，即/（幻=6-1￡（；,“，看圖知存在三個(gè)根，使得f（x）=百一1,故A

錯(cuò)誤；

3311

選項(xiàng)B中，/?=-,方程即“一/+=o,即2/-3/+1=0，解得，=1或，=不，當(dāng)

2222

/（x）=l=l時(shí)看圖可知，存在3個(gè)根，當(dāng)/（x）=z=g時(shí)看圖可知，存在2個(gè)根，故共5

個(gè)不等的實(shí)根，B正確；

選項(xiàng)c中，方程有2個(gè)不等實(shí)根，則有兩種情況：（1）r.=r2=1,則與或

，此時(shí)一!+2-6=0,即從—48+8=0，解得b=—2±2G，

1Q

———1i>/3,均不滿足上面范圍，舍去；(2)時(shí)，即4=$4￡或

33(a、？q

4由w?①當(dāng)4,，2￡(~°°，°］時(shí)4=3，代入方程得——b—F2—6=0,

22\2J2

1731

解得人=而，由/也=2-8=點(diǎn)，得，2=^^(-8,0］，不滿足題意，舍去：②當(dāng)

田2￡(-00,0］時(shí)產(chǎn)-9+2-b=0,則A=/-4(2-。)>0,tlt2=2-b>0,

ti+t2=b<0,解得/v—2—26，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D中，方程有6個(gè)不等實(shí)根，則％E5J由｛(//且乙。，2，

火,)=/一4+2-6=。一號(hào))一日+2—人圖象如下：

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題解題關(guān)鍵在于對(duì)方程f\x)-hf(x)+2-b=0進(jìn)行換元/(x)=1,變成關(guān)于t的二次

方程根的分布問題，結(jié)合函數(shù)/")圖象中函數(shù)值的分布情況來突破難點(diǎn).

4.設(shè)函數(shù)/(力=7"加｛卜一2|,二,+2|｝其中加〃｛x,y,z｝表示x,yz中的最小者.下列說

法正確的有()

A.函數(shù)/()為偶函數(shù)

B.當(dāng)工?1,a)時(shí)，有/(工一2)《一(力

C.當(dāng)xeR時(shí)，/(/(x))^/(x)

D.當(dāng)xc[-4,4]時(shí)，

【答案】ABC

【分析】

畫出了(X)的圖象然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可.

【詳解】

解：畫出了(力的圖象如圖所示：

對(duì)A,由圖象可知：/(力的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故/(X)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)B,當(dāng)時(shí)，一-2V0,y(x-2)=/(2-x)<2-x=/(x)；

當(dāng)2<x?3時(shí)，0<%—241,/(x-2)<x-2=/(x)；

當(dāng)3<xW4時(shí)，Ivx—2W2,/(x-2)=2-(x-2)=4-x<x-2=/(x)；

當(dāng)壯4時(shí)，x-2>2,此時(shí)有了(工一2)v/(x),故B成立；

對(duì)C,從圖象上看，當(dāng)工￡[0,例)時(shí)，有/(x)Wx成立，令，=/卜)，貝iJ/NO，故

/[7(x)]"(x)，故C正確；

對(duì)D,取x=|,則===|/(x-2)</(x),故D不正

確.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{蒼y}表示中的較小

者)，則/(力的圖象是由S(x),T(x)這兩個(gè)函數(shù)的圖象的較低部分構(gòu)成的.

5.下列命題正確的有()

A.已知且a+b=l,則L<2"“<2

2

B.3a=4Z,=V12?則”"0

ab

C.y=V-3f-x的極大值和極小值的和為f

D.過A(-1,O)的直線與函數(shù)y=d—x有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是

(-1,2)U(2M)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求2a"的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求

斗；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與y=d-K有

ab

三個(gè)交點(diǎn)，即可知h(x)=x2-工-2有兩個(gè)零點(diǎn)且工=一1不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.

【詳解】

4選項(xiàng)，山條件知。=1-4且所以。一少二為一1《(-1,1),即L<2〃Y<2：

2

8選項(xiàng)，3"=4"=有a=log3，b=log4V12?而

a+b11c,八一

——=-+-=2(log3+logp4)=2；

ababp

C選項(xiàng)，y'=3/—6]-1中4>0且開口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)不與且X+&=2、

xyx2即%,占為y兩個(gè)極值點(diǎn)，

xx2

所以y+y2=(4+2)l(i+再)2-3耳卬-3Kxi+x2)-2X]X2]-(Xj+x2)=-6；

。選項(xiàng)，令直線為y=k(了+1)與y=Y一4有三個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=(x2-x-z)(x+])有三

個(gè)零點(diǎn)，所以〃*)=d-x—%有兩個(gè)零點(diǎn)即可

△=1+4%>011,

LI、C7八，解得欠￡(一：,2)U(2,+oo)

[h(-\)=2-k^04

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范

圍，屬于難題.

6.設(shè)[尤]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1.2]=1,[―1.2]=—2,y=[x]又稱為取整函

數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按〃取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)

費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是()

A.\/xeR,[2x]=2[x]

B.Yx,ywR,若[同=[曰，則?

C.PXGR,[小X+-=[2x]

D.不等式232T同一3N0的解集為{x|x<0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通過反例可得A錯(cuò)誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式2『-/-320的

解后可得不等式2[同2-[同一320的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對(duì)于A,X=-1.5,M[2x]=[-3]=-3,2[x]=2x(-2)=-4,故[加工2國(guó),故A不成

立.

對(duì)于B,[x\=[y]=7W,則加工人<m+1,相Wyvm+1,

故一“一所以％-)>一1,故B成立.

對(duì)于C,設(shè)x=〃z十廣，其中，〃亡Z,re[0,1),

則[4+x+—=2〃z+r+—,[2x]=2/724-[2r],

22

若0W"L則r+J=0,[2r]=0,故卜]+x+；=[2x]；

若;<r<l,則r+；=1,[2r]=l,故國(guó)+x+；=[2x],故C成立.

對(duì)于D,由不等式2國(guó)2-國(guó)一320可得或⑶之今

故x<0或X22,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部

分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.

2V-1,0<A<1

7.已知函數(shù)<方程/(x)-x=0在區(qū)間[0,2](〃wM)上的

/(X-1)+1,X>1，

所有根的和為“，則()

A.7(2020)=2019B.7(2020)=2020

.n(n+1)

C.b=22n-l+2n-iD.b?=-----

lt2

【答案】BC

【分析】

先推導(dǎo)出〃力在[幾上的解析式，然后畫出了(x)與y=x的圖象，得出

f(x)="時(shí)，所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后得出

【詳解】

因?yàn)楫?dāng)工?0,1)時(shí),/(x)=2A-l,所以當(dāng)工叩,2)時(shí),x-le[O,l),

則=故/(%)=/(x-l)+l=2t-,-l+l=2x-1,

即x-l?O,l)時(shí)，x-1G[0,1),/(x)=2v-1

同理當(dāng)xw[2,3)時(shí)，x-le[l,2),/(X)=/(X-1)+1=2V-2+1；

當(dāng)x?3,4)時(shí)，x—ls[2,3),則/(6=/"-1)+1=2'-3+2；

故當(dāng)+時(shí)，/(x)=2t-/,+(w-l),

當(dāng)x巨2”-1,21時(shí)，f(x)=2*7)+(2"_2).

所以“2020)=2020,故B正確；

作出〃力與y=x的圖象如圖所示，則當(dāng)/(打一區(qū)=0且[0,21時(shí)，]的值分別為：

0,1,2,3,4,5,6,…,2”

則2=0+1+2+2+???+2"=2(；+[=2"T(2"+1)=22M-1+2”“，故C正確?

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)綜合問題，難度較大，推出原函數(shù)在每一段上的解析式并找到其規(guī)律

是關(guān)鍵.

1(%為有理數(shù))

8.函數(shù)/(幻=，則下列結(jié)論正確的是()

0(x為無理數(shù))'

A.f(x)是偶函數(shù)B./(幻的值域是{0,1}

C.方程f(f(x))=x的解為X=1D.方程/(/(?)=/*)的解為X=1

【答案】ABC

【分析】

逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】

???當(dāng)-X為有理數(shù)時(shí)，X也為有理數(shù)

???/(-x)=l

???當(dāng)-X為無理數(shù)時(shí)，X也為無理數(shù)

/(f)=0

?Jl(x為有理數(shù))

.]o(x為無理數(shù))

.??/(%)是偶函數(shù),A對(duì)：

易知B對(duì)；

???工=1時(shí)，."/(1))=/(1)=1

???C對(duì)

/(/(X))=/(X)的解為全體有理數(shù)

，D錯(cuò)

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查分段函數(shù)的奇偶性判斷、值域、解方程等，要求學(xué)生能靈活應(yīng)用知識(shí)解題，

難度較大.

9.太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相

對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓。的

一個(gè)“太極函數(shù)”.則下列有關(guān)說法中，正確的是()

A.對(duì)于圓0：f+y2=l的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)

B.函數(shù)f(x)=sinx+l是圓o：W+(y-1)2=l的一個(gè)太極函數(shù)

C.存在圓0,使得/(x)=4^■是圓。的一個(gè)太極函數(shù)

D,直線(機(jī)+1)%一(2"+1)>-1=0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓0：

(x-2)2+(y-l)2=/?2(/?>0)的太極函數(shù)

【答案】BCD

【分析】

利用“太極函數(shù)〃的定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

【詳解】

對(duì)于A,如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且SJCE=S.PCO=S.POD=S.DFB，所以該函

數(shù)平分圓。的周長(zhǎng)和面積，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)=sinx+l也關(guān)于圓心(0,1)對(duì)稱，平分圓。的周長(zhǎng)和面積，所以函數(shù)

/(x)=sinx+l是圓Ox?+(y-l)2=1的一個(gè)太極函數(shù)；故B正確；

對(duì)于c,/(x)=￡zl=(mk2=i__.

')ex+\ex+\ex+\

X-1x

P--\T7\-e

v/(-x)=——=-^一=——=-/(x),該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

e+\_L+[1+e

所以存在圓0：V+y2=l使得〃力=11是圓。的一個(gè)太極函數(shù)，如下圖所示，故

C正確；

對(duì)于D,對(duì)于直線(機(jī)+l)x—(2m+l)y—l=0的方程，變形為

/n(x-2y)4-(x-y-l)=0,

x-2y=0x=2/、/、

令［y1-0'得［一1’直線("+1)為一(2"+1)'7=°經(jīng)過圓°的圓心，可以平

分圓。周長(zhǎng)和面積，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)對(duì)稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對(duì)稱性為解題的關(guān)鍵，考查推

理能力，屬于較難題.

10.狄利克雷是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷函數(shù)

f(x)=八:(Q是有理數(shù)集)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，

從研究“算''到研究更抽象的“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)關(guān)于/(力的性質(zhì)，下列說法正確的是

()

A.函數(shù)〃X)是偶函數(shù)

B.函數(shù)”力是周期函數(shù)

C.對(duì)任意的王￡k，x2eQ,都有/(芭+%2)=/(x)

D.對(duì)任意的RCR,x2eQ,都有/(戈一/)=/(%)

【答案】ABC

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤：驗(yàn)證/(x+l)=/(x),可判斷B選項(xiàng)的正

誤；分%任。兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)/(力的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；取

x2=0,x2Q可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)丁A選項(xiàng)，任取xeQ,則一xwQ,/(x)=l=/(-%)；

任取則一X2Q,/(X)=0=/(-x).

所以，對(duì)任意的xeR,/(-x)=/(x),即函數(shù)/(另為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，任取xeQ,則X+1EQ,則/(X+1)=1=/(X)；

任取xeQ,則x+1仁。，則/(犬+1)=0=/(1).

所以，對(duì)任意的xcR,/(x+l)=/(x),即函數(shù)/(%)為周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意REQ,x2eQ,則玉+々￡。，/(菁+W)=1=/(X)；

對(duì)任意的X2Q,-v2GQ,則X4%2任Q，/(%+毛)=0=/(%),

綜上，對(duì)任意的玉wR,x2eQ,都有/(N+Z)=/(X),C選項(xiàng)正確：

對(duì)于D選項(xiàng)，取々=0,若內(nèi)任。，則/(x?w)=f(o)=lw/(x)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項(xiàng)，分自變量為無理

數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對(duì)于D選項(xiàng)，可取*任Q,9=0驗(yàn)證.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.對(duì)于定義城為R的函數(shù)/(力，若滿足：①f(0)=0；②當(dāng)xwR,且xwO時(shí)，都

有礦(x)>0；③當(dāng)％vOvj且IxIVwl時(shí),都有/(百)</*2)，則稱/(犬)為"偏對(duì)

稱函數(shù)".下列函數(shù)是"偏對(duì)稱函數(shù)"的是()

2x

A./(X)=-A?+XB.f2[x)=e-x-\

ln(-x+l),x<0

C.力(x)=<D.f(x)=xsinx

2x,x>04

【答案】BC

【分析】

運(yùn)用新定義，分別討論四個(gè)函數(shù)是否滿足三個(gè)條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對(duì)稱性，

即可得到所求結(jié)論.

【詳解】

解：經(jīng)驗(yàn)證，工(幻，&a),人(幻，八。)都滿足條件①；

[x>0[x<0

xf\x)>0,或《；

lru)>o[ra)<o

當(dāng)X]<0<工2且1%1Vx2I時(shí)，等價(jià)于一看<大<彳2，

即條件②等價(jià)于函數(shù)/(%)在區(qū)間(f,O)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+?上單調(diào)遞增；

A中，/(工)=一./+.丫2,/r(x)=-3x2+2.r,則當(dāng)％7to時(shí)，由

9

xf；[x)=-3X3+2x2=x2(2-3x)<0,得工之彳，不符合條件②，故工(用不是"偏對(duì)稱

函數(shù)”；

xxA

B中，f2[x)=e-x-\tf2\x)=e,當(dāng)x〉0時(shí)，e>b/2\x)>0,當(dāng)x<0

時(shí)，0<ex<b6'(x)<。，則當(dāng)xwO時(shí)，都有痣'(">0,符合條件②,

函數(shù)人(刈=，一工一1在(YO,0)上單調(diào)遞減,在(O,T8)上單調(diào)遞增,

由人(x)的單調(diào)性知，當(dāng)一工2〈X<0<一斗<工2時(shí)，右(%)〈啟一%)，

。(菁)一啟引<&(一々)一"%)=-/+"*+2x>,

令尸(x)=-ex+e~x+2x,x>0,F\x)=-ex-e~x+2<+2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)爐=6-、即X=0時(shí)，"="成立，

F(X)在［0,+8)上是減函數(shù)，」.尸(再)〈尸(0)=0,即短亦后⑷,符合條件③,

故人(幻是“偏對(duì)稱函數(shù)”；

,ln(-x+lLx<0|

C中，由函數(shù)力(幻=<'，八，當(dāng)x<0時(shí)，力'(幻=—<0,當(dāng)x>0時(shí)，

2x,x>0x-l

人'(幻=2>0,符合條件②，

???函數(shù)力(燈在(YO,0)上單調(diào)遞減，在(0,也)上單調(diào)遞增，

有單調(diào)性知，當(dāng)一吃<當(dāng)<0<一4<%2時(shí)，力(與)<力(一/)，

設(shè)/a)=ln(x+l)-2r,x>0,則尸'。)=」7-2<0,

尸(幻在(0,+8)上是減函數(shù)，可得尸*)<%0)=0,

f(X］)-/(x2)</(-x2)-f(x2)=ln(x2+l)-/(蒼)二/優(yōu))<0,

即〃百)</。2)，符合條件③，故人。)是“偏對(duì)稱函數(shù)”；

D中,f4(x)=xsinxtJMf4(-x)=-xsin(-x)=j^(x),則力⑺是偶函數(shù)，

而/t'(x)=sinx+xcosx=Vl+x2sin(x+^)(tan^=x)，則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可

知，當(dāng)x>0時(shí)，￡'(外的符號(hào)有正有負(fù)，不符合條件②，故￡(%)不是“偏對(duì)稱函數(shù)"；

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查在新定義下利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與

劃歸思想，屬于難題.

12.已知偶函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意的0,^滿足r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中

/'(X)是函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式中不成立的是()

C./(0)>V2/f-^D./佰］<扃停

\4y\O/\3/

【答案】ABC

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)="2,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和對(duì)稱性可知g(x)為偶函數(shù)且在xeo,g］上單調(diào)遞

cosx2)

增，即可得亞

從而可判斷ABD選項(xiàng)，由

3福卜何圖<2低

g(o)<g5可判斷c選項(xiàng).

【詳解】

一\

因?yàn)榕己瘮?shù)y=/(x)對(duì)于任意的xe0,y滿足r(x)cosx+/(x)sinx>0,

乙7

所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=1^,則g'(x)=r(x)cosx+/(x)sinx

>0,

cosxcos2x

TT

g(X)為偶函數(shù)且在O.,上單調(diào)遞增，圖2/

71=?

cos—

3

71

7t7t

g=gg

-4>【6J7t

cCoCCs—.\JCOS

46

由函數(shù)單調(diào)性可知尼卜周<月閨，即羊/

對(duì)于AB,/卜?)=/(￡|<應(yīng)/(?)=應(yīng)/卜故AB錯(cuò)誤;

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造對(duì)

應(yīng)的新函數(shù)g(x)="?，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小，考查學(xué)生的邏輯

COSX

推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

13.下列不等式正確的有()

A.V31n2<ln3B.Innv左C.2^<15D.3eln2<4>/2

【答案】CD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)〃力=皿，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由/⑵>/(@、

/(厲)>/(4)、/(逐)</(e)得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

人、Inx、1-lnx

令f(x)=—，則nilf(x)=——令/，(冗)=0得x=e

JCX

易得/a)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,E)上單調(diào)遞減

所以①〃2)>/(石)，即即百In2>21nj5=ln3,故A錯(cuò)誤;

2J3

②五)，即￥>呼

所以可得In萬>故B錯(cuò)誤;

\J7Tyje

@/(V15)>/(4),即1^^^>/=殍，即lnl5=21n而>而ln2

所以Inl5>ln2而，所以2布<15，故C正確；

3

④八&)<{)，即見廖〈叱，即過即爭(zhēng)n2<2&

瓜，ITT；2

所以3eln2<4夜，故D正確；

故選：CD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的

構(gòu)造和自變量的選擇.

14.已知：/")是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(%)-/(%)>1,/(1)=3,則()

A./(4)>織3)B./(-4)>e2f(-2)

C./(4)>4?-1D./(-4)<-4e2-l

【答案】ACD

【分析】

—"1'-

由已知構(gòu)造得理四■>0,令g(x)=J綽生，判斷出函數(shù)g(x)在工>0時(shí)單調(diào)遞

_ex」e

增，由此得g(4)>g⑶，化簡(jiǎn)可判斷A；g(4)>g⑵，化簡(jiǎn)并利用/")是奇函數(shù)，可判

斷B；

g(4)>g(。，化簡(jiǎn)可判斷C；由C選項(xiàng)的分析得了(4)>4?3一1>4/+1,可判斷D.

【詳解】

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)-/(x)>l,所以/(x)-/(x)—1>0,即

小)十⑴叫>0,所以「包1>0,

令g5)=以y，則當(dāng)1>0時(shí)，g'a)>。，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以g(4)>g⑶，即當(dāng)學(xué)>智L化簡(jiǎn)得〃4)>叭3)+e-l>次3),故A正

ee

確；

g(4)>g(2),即與寫出，化簡(jiǎn)得了(4)>//(2)+62-1>62〃2),

所以一/(4)<一//(2),又是奇函數(shù)，所以/(一4)<//(_2),故B不正確；

g(4)>g(l),即又f(D=3,化簡(jiǎn)得/(4)>4/一1,故C正確；

ee

由C選項(xiàng)的分析得了(4)>4e3—l>4e2+i,所以_/(4)<-4H-1,又〃避是奇函數(shù),所

W/(-4)<-4e2-l,故D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題中令有導(dǎo)函數(shù)的不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出

所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.

15.已知函數(shù)/(力=1中g(shù)(x)=x-(x-l)lnx,則下列結(jié)論正確的是()

A.g(力存在唯一極值點(diǎn)與，且與￡(1,2)

B./(X)恰有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)左<1時(shí)，函數(shù)g(x)與〃(％)=依的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若不工2>0且/(玉)+/(工2)=0，則藥工2=1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g'(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定，可判定A正

確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/(X)在(-8,0),(0,+8)單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)/(力只有2

個(gè)零點(diǎn)，可判定B不正確；由g(x)=Ax,轉(zhuǎn)化為函數(shù)。(%)=(x-l)lnx和風(fēng)?=(1-幻x

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判定C正確；由/(由)+/(%2)=0,化簡(jiǎn)得到/(石)二八」-),

X2

結(jié)合單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】

由函數(shù)g(x)=x-(x-l)lnx,可得短(x)=-lnx+Lx>0,則g"(x)=」--y<0,

XXX

所以g'(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由gr(l)=l>0,g(2)=-ln2+i<0,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(I,2)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以A正確；

由函數(shù)/(x)=ln國(guó)一工十已,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx-x+—,可得/⑺:-，

XX

I3

因?yàn)橐粻t+工一1=-(工-5)2-^<0,所以/'(力<0,函數(shù)/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減；

又由/(1)=0,所以函數(shù)在(0,+。。)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)/<0時(shí)，f(x)=\n(-x)-x+-f可得r(x)L+J_],

XX

13

因?yàn)橐粻t+工一1=一(%一])2一a<0,所以/'(x)vo,函數(shù)/(X)在(-00,0)單調(diào)遞減；

又由/(-1)=0,所以函數(shù)在(f,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得函數(shù)〃x)=ln|H-4十：在定義域內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；

令g(x)=辰，即x-(x-l)lnx=fcr,g|J(A：-l)lnx=(l-A:)x,

設(shè)0(x)=(x-l)lnx,m(x)=(1-k)x,

可得d(x)=lnx+l-T，貝ij/(￡|=(+*>0,所以函數(shù)”(x)(0,+8)單調(diào)遞增，

又由"(1)=0,可得當(dāng)xw(0,l)時(shí)，”(耳<0,函數(shù)°(力單調(diào)遞減，

當(dāng)％w(L+oo)時(shí),“(x)>0,函數(shù)。(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)9(x)取得最小值，最小值為9(1)=0,

又由加(#=(1-Qx,因?yàn)閦<1,則1一攵>0,且過原點(diǎn)的直線，

結(jié)合圖象，即可得到函數(shù)姒x)=(x-l)lnx和鞏x)=(l-Qx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正

確：

由％%2>0，若百>。,%>0時(shí)，因?yàn)?(芭)+/(毛)=0，

w/^)=-/(x2)=-[lnx2-.2+1]=ln14-1=/[^(即

〃內(nèi))=/(,)，因?yàn)?(X)在(0，長(zhǎng)》)單調(diào)遞減，所以百=一，即%也=1，

同理可知，若不〈0,修〈0時(shí)，可得百不2=1，所以D正確.

故選：ACD.

函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為

從/(司中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條

件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常

解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符

合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,=給定下列命題，其中正確的是()

(1\

A.若方程=Z有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則丘—,0；

B.若方程4(力=9恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則欠<0；

C.若石>W>0，總有“[g(xj-g(x2)]>/(xj一”工2)恒成立，則加2/：

(1、

D.若函數(shù)/(x)=/(x)-為g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。，5「

\乙)

【答案】ACD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=%有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；易知x=l不是該方程的根，當(dāng)不。1時(shí)，將條件等價(jià)于y=卡和

X

),=一只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷

\nx

B選項(xiàng)；當(dāng)％時(shí)，將條件等價(jià)于〃9(%)一7*1)>磔(/2)一/(%2)恒成立，即函

數(shù)丁=沖(幻-/。)在(0,+8)上為增函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)

間，即可?求出陽(yáng)的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；R(x)=jdnx-or2*>o)有兩個(gè)不同極值

點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

解：對(duì)于A,的定義域(0,Ko),r(x)=lnx+l,

令/'。)＞。，有l(wèi)nx＞-l,即

e

可知/(功在(0」)單調(diào)遞減，在(L,+8)單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值,

e

//⑼加=/(-)且當(dāng)Xf0時(shí)/(幻-0,又/(1)=0,

ee

從而要使得方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,

即y=/(x)與y=R有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以女￡(——,0),故A正確;

e

對(duì)于B,易知x=l不是該方程的根，

當(dāng)人工1時(shí)，，。)工0,方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

等價(jià)于y=%和y=7^-只有一個(gè)交點(diǎn),

\nx

y'=,又x>°旦xwl，

?(Inxx)

令y'>0,即lnx>l,有x>e,

Y

知)，=—在(0,1)和(L，單減，在(e,48)上單增,

Inx

/=1是一條漸近線，極小值為％

由丁二1匚大致圖像可知女＜?；蚬蔅錯(cuò)誤;

Inx

對(duì)于C,當(dāng)玉>看>0時(shí)，機(jī)口(%)-8(%2)]>/(%)-/(%2)恒成立,

等價(jià)于小g(x)-f(x2)恒成立，

即函數(shù)>=fng(x)-f(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，

即y=〃?g'(x)-fr(x)=/nr-lnx-120恒成立，

即利之見二"在(0,+00)上恒成立,

x

./、lnx+1…/,、-Inx

令“x)=------,則r(x)=——,

X

令/(x)＞0得In無＜0,有0＜xvl,

從而r(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，

則《功皿="1)=1，于是故C正確;

對(duì)于D,產(chǎn)(X)=工1。工一分2*＞0)有兩個(gè)不同極值點(diǎn),

等價(jià)于尸'(x)=lnx+l-2ar=0有兩個(gè)不同的正根，

即方程2。二^^^有兩個(gè)不同的正根，

x

由C可知，Ov加＜1,即0＜々＜!，則D正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解

決函數(shù)的零點(diǎn)問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)

函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

17.阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對(duì)高中教材中的拋物線做過

系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線

圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線C：y=x2上兩個(gè)不同點(diǎn)AB橫坐標(biāo)

分別為*,%，以A5為切點(diǎn)的切線交于尸點(diǎn).則關(guān)于阿基米德三角形Q48的說法正確的

有（）

A.若48過拋物線的焦點(diǎn)，則〃點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上

B.若阿基米德三角形Q48為正三角形，則其面積為轉(zhuǎn)

4

C.若阿基米德三角形為直角三角形，則其面積有最小值!

4

D.一般情況下，阿基米德三角形RW的面積5二3二如上

4

【答案】ABC

【分析】

設(shè)出直線A8的斜截式方程、點(diǎn)43的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PAPB的方

程，進(jìn)而求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，將宣線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及

該方程兩根的和、積的關(guān)系.

A：把拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線A8的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即

可；

B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；

C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；

D：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解判斷即可..

【詳解】

由題意可知：直線48一定存在斜率，

所以設(shè)直線A8的方程為：），=履+，〃，

由題意可知：點(diǎn)A（X],X1）,B（X2,石），不妨設(shè)用<0<々，

由y=f?“2x,所以直線切線PAP3的方程分別為:

y-xf=2x）（x-xt）,y-%2=2x2（x-x2）,

兩方程聯(lián)立得：[）‘一丫2"-%）,

y-x2=2X2（X-X2）

解得：，"2所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為：，

2

[y=g

直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：

y=kx+m2八

<2=>x-kx-m=O=>x+=k,xx=-m.

y=x~1l"1

A：拋物線C：丁二f的焦點(diǎn)坐標(biāo)為④，!），準(zhǔn)線方程為丁=一!，

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因?yàn)锳B過拋物線的焦點(diǎn)，所以m=；,而百巧二一加二一;，

顯然月點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項(xiàng)說法正確；

B：因?yàn)榘⒒椎氯切问?為正三角形，所以有I尸A|=|產(chǎn)例，

即J（X廣"）2+"氏7；）2=一/y+5堂一審，

因?yàn)榉补っ曰?jiǎn)得：斗=一工2，

此時(shí)4（%