29.3切線的性質(zhì)和判定第1課時目錄課前導入新課精講學以致用課堂小結(jié)課前導入情景導入前一節(jié)課已經(jīng)學到點和圓的位置關系．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?

d>r，如圖（a）所示；

點P在圓上?d=r，如圖（b）所示；

點P在圓內(nèi)?d<r，如圖（c）所示．新課精講探索新知1知識點切線的性質(zhì)定理前面我們已學過的切線的性質(zhì)有哪些？答：①切線和圓有且只有一個公共點；

②切線和圓心的距離等于半徑.切線還有什么性質(zhì)？切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.探索新知例1

如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點，BC經(jīng)

過圓心．若∠B＝20°，則∠C的大小為(

)A．20°

B．25°

C．40°

D．50°D探索新知如圖，連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，先求出∠OAC＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和∠B＝20°，可以求出∠AOC＝40°，最后根據(jù)直角三角形中兩銳角互余就可以求出∠C＝50°.答案：D導引：探索新知總

結(jié)(1)半徑處處相等可得等腰三角形，從而底角相等；(2)切線垂直于過切點的半徑得直角三角形，從而兩銳角互余．典題精講如圖，PA為⊙O的切線，切點為A，OP=2，∠APO=30°求⊙O的半徑.1連接OA，則OA為⊙O的半徑，因為PA是⊙O的切線，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以OA＝

OP＝1，即⊙O的半徑為1.解：

典題精講如圖，CD為⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，直線AE與⊙O相切于點B，∠A=28°.求∠DBE的度數(shù).2典題精講連接OB，則OB＝OD，因為AE與⊙O相切于點B，所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°，又因為∠A＝28°，所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°.所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°.所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.解:典題精講下列說法正確的是(

)A．圓的切線垂直于半徑B．垂直于切線的直線經(jīng)過圓心C．經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線經(jīng)過切點D．經(jīng)過切點的直線經(jīng)過圓心3C典題精講如圖，直線l是⊙O的切線，A為切點，B為直線l上一點，連接OB交⊙O于點C.若AB＝12，OA＝5，則BC的長為(

)A．5B．6C．7D．84D典題精講如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，BC交⊙O于點D，若∠C＝70°，則∠AOD的度數(shù)為(

)A．70°B．35°C．20°D．40°5D探索新知2知識點切線性質(zhì)定理的應用例2如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝2∠B，⊙O的切線AP與OC的延長線相交于點P，若PA＝6cm，求AC的長．探索新知根據(jù)AB是⊙O的直徑求出∠ACB＝90°，再根據(jù)∠BAC＝2∠B求出∠B＝30°，∠BAC＝60°，得出△AOC是等邊三角形，得出∠AOC＝60°，OA＝AC，在Rt△OAP中，求出OA，即可求出AC的長．導引：探索新知∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝30°，∠BAC＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，AC＝OA.∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，∵PA＝6cm，∠AOP＝60°，∴OA＝＝6(cm)，∴AC＝OA＝6cm.解：探索新知總

結(jié)圓的切線垂直于過切點的半徑，這個性質(zhì)為解題提供了隱含條件．當已知直線為圓的切線時，可以連接過切點的半徑，由切線的性質(zhì)得出直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解．典題精講如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD＝2，tan∠OAB＝

，則AB的長是(

)A．4B．2C．8D．41C典題精講如圖，菱形ABCD的邊AB＝20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO＝10，則⊙O的半徑長等于(

)A．5B．6C．2D．32C典題精講如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限內(nèi)，x軸與⊙P相切于點Q，y軸與⊙P相交于M(0，2)，N(0，8)兩點，則點P的坐標是(

)A．(5，3)B．(3，5)C．(5，4)D．(4，5)3D易錯提醒如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為(

)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6易錯點：忽視“過切點”這一條件而致錯.B學以致用小試牛刀如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，∠A＝25°，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D，則∠D的度數(shù)是(

)A．25°B．40°C．50°D．65°1B如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是(

)A．15°B．30°C．60°D．75°2B小試牛刀如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，若∠ABC＝55°，則∠ACD等于(

)A．20°B．35°C．40°D．55°3A小試牛刀小試牛刀如圖，圓形薄鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點A落在直尺的14cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點為B.下列說法錯誤的是(

)A．圓形鐵片的半徑是4cmB．四邊形AOBC為正方形C．弧AB的長度為4πcmD．扇形OAB的面積是4πcm24C(1)證明：∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE.∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.

∴∠CBE＝∠OBC.∴BC平分∠ABE.(2)解：在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝

＝10.∵OC∥BE，∴.∴.

∴CE＝4.8.小試牛刀5如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C，BE∥CO.

(1)求證：BC是∠ABE的平分線；

(2)若DC＝8，⊙O的半徑OA＝6，求CE的長．小試牛刀如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圓心O在△ABC內(nèi)部)

經(jīng)過B，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO

交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.

(1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．小試牛刀(1)證明：如圖，連接CE.∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.∴∠COE＝90°.∴∠CEO＝∠ECO＝45°.∵EF是⊙O的切線，∴∠FEO＝90°.∴∠FEC＝45°.∴∠FEC＝∠ECO.∴EF∥CG.

又∵ED∥AC，∴四邊形CDEF是平行四邊形．小試牛刀(2)解：如圖，過G作GM⊥BC于M，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM.∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠FCD＝∠FED.∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD.∴∠CGM＝∠DEF.∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝

＝2.∴CM＝2GM，

又∵BC＝CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1.∴BG＝

GM＝.小試牛刀如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行

四邊形，EB交⊙O于點D，連接CD并延長交AB的延長線于點F.

(1)求證：CF是⊙O的切線；

(2)若∠F＝30°，EB＝4，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和π)．小試牛刀(1)證明：如圖，連接OD.

∵四邊形EBOC是平行四邊形，

∴OC∥BE.

∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB.

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB.∴∠DOC＝∠AOC.

在△COD和△COA中，

∴△COD≌△COA.∴∠CDO＝∠CAO＝90°.

∴圓心O到CF的距離等于⊙O的半徑．

∴CF是⊙O的切線．小試牛刀(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，

∴∠DOF＝60°，∴∠AOD＝120°.

∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BDO＝∠DBO＝60°，OB＝BD.

易證∠EDC＝∠ECD＝30°，∴ED＝EC.

又∵四邊形EBOC是平行四邊形，

∴EC＝ED＝BO＝DB.

∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2.

∵∠AOC＝∠COD，∴∠AOC＝60°.

在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，∠AOC＝60°，∴∠OCA＝30°，∴OC＝4.∴AC＝

＝2.∴S陰影＝2S△AOC－S扇形OAD＝2××2×2－×

π×22＝4－

.小試牛刀已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT＝50°，

BT交⊙O于點C，E是AB上一點，延長CE交⊙O于點D.

(1)如圖①，求∠T和∠CDB的大?。?/p>

(2)如圖②，當BE＝BC時，求∠CDO的大小．小試牛刀解：(1)如圖①，連接AC，∵AT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴∠TAB＝90°.∵∠ABT