專題w3.6e橢圓e的綜e合問題

1.與直線與桶圓有關(guān)的解答題的求解策略：

（1）求解此類問題，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去工（或，）建立一元二次方程，然

后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；

（2）涉及直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情

形.有時若直線過x軸上的一點，可將直線設(shè)成橫截式.

2.求定點、定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定點或定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點或定值.

2211

【預(yù)測題1】已知橢圓C：，+點長軸的頂點與雙曲線。：----二1實

4b2

軸的頂點相同，且。的右焦點F到D的漸近線的距離為上.

7

（1）求C與。的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線>=（近-2卜的傾斜角的2倍,且/經(jīng)過點/，/與C交于A,

3兩點，與。交于M，N兩點，求木疝.

【答案】（1）橢圓的方程為三+片=1,雙曲線的方程為二一f二］：（2）叵.

43436

【解析】（1）因為橢圓C長軸的頂點與雙曲線。實軸的頂點相同，

所以。=2,①

雙曲線。的漸近線為y=±gx,即陵±2y=0,

所以右焦點F（c,O）到漸近線bx±2y=0的距離為喘鼻=耳，②

又1=從+/,③

由①?③解得〃=3，c2=b

所以橢圓的方程為占+?=1,雙曲線的方程為￡=i.

4343

（2）設(shè)直線y=便-2卜傾斜角為"則tan"右一2,

2tan6_2(石一2)1

所以tan29=

l-tan26>-l-(^/5-2)22

所以直線/的方程為y=g（x—l）,

設(shè)A（x，yJ,8（七,%）,加（不，必）,N（%,y4），

y=*T)

聯(lián)立得4/一24-11=0,

x2y2.

—+—=1

43

111

所以玉+/=5，x}x2=--

所以MM=+-x2|=Jl+/-d(X]+w)2-4$々

y=g(xT)

22得2—+2工-13二0,

三-上=1

143

13

所以了3+匕=-1，工3工4=一萬

22

所以|MN|=\!\+k\x3-x4\=Jl+M-^(x3+x4)-4X3X4

15

\AB\TV15

所以網(wǎng)際二

2

【預(yù)測題2】在圓f+y2=4上任取一點。過點下作工軸的垂線段a,D為垂足，點P

為線段7Q的中點.

（1）求動點尸的軌跡C的方程；

（2）斜率為k*>0）且不過原點O的直線/交曲線。于A,B兩點，線段A8的中點為E,

2

射線0E交曲線。于點M,交直線尤=6于點M且|OM「=|ONH。同，求點”（0,1）到直

線/的距離d的最大值.

【答案】（1）三+y2=]；口）巫

43

【解析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,點了的坐標(biāo)為（/，為），則x=/，y=—?

2

22

???4+y：=4且垢=工，%=2y，x+4y=4,

2

???動點P的軌跡C的方程為—+y2=]

4-

(2)設(shè)直線/:>=&+相(4>0,mv0),AG，%),B(x2,y2),

W+4v?=4

聯(lián)立《得,(1+4k2)x2+8kmx+4w2-4=0,

y=kx+m

Shn4kmm

Xj+Xj=-中點E（-

1+4公1+4-'1+4公

113

由斜率公式可知々OF=—二~,,.JoF：y=__77X，，'N(6,--)?

4k4k2k

x2+4/=4

216k2Hn216k2

聯(lián)立《1得,X=-----,即X；=-------------

y=---x1+4/1W1+以

4k

???NF二阿煙’.?黑=一黑’…一'’

???直線/過定點4,0）,易知當(dāng)定點與點”（0,1）的連線與直線/垂宜時，d取得最大值姮.

33

22

【預(yù)測題3]已知橢圓。:[+馬=1（。>6>0）的左，右焦點分別為丹，鳥，過耳的直

a~b-

線/與橢圓C交于M，N兩點，圓尸是氏必般的內(nèi)切圓.當(dāng)直線/的傾斜角為45。時,

（41

直線/與橢圓C交于點（一一§

（1）求橢圓。的方程：

（2）求圓尸周長的最大值.

3

【答案】（1）y+/=l:（2）71.

【解析】⑴設(shè)橢圓C的半焦距為C（C>0）,則爪-GO）,

當(dāng)直線/的傾斜角為45。時，直線/的方程為》二》+仁

又直線/與橢圓C交于點（一^,一；），/.c=l,.?./=//+］,

（41、161.

將點［一］，—］）代入橢圓方程得近旬十斤=1，

解得力2=1或6=一:（舍），「."二？，

2

???橢圓。的方程為5+9=1;

（2）設(shè)圓產(chǎn)的半徑為廣（〃>0）,

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為％=—1,|MN|=J5,

SuMNFi=SgfpN+S&wpE+S.pF］

=；（|MN|+|M/|+|N閭）r=2應(yīng)/*=；x2x應(yīng),

/.r=-,當(dāng)直線，的斜率存在時，設(shè)為上，直線/的方程為丁二丘+上，

2

設(shè)刈牛必），

y=kx+k

由?x2,得（2%2+1）冗2+442]+2攵2一2=0,

?+）'=

4-2k2-2

/.X.+X=----;——，X,X=-Z----

92k2+\1292爐+1

,?S.NF1=^忻圖'一切|=10慟一切

=1M&（+三）2-4中2=lk?/僅工）8儼-1）

2k2+\

4

==

又^AMNF2S&WPN+S&w"+Sap。2。2r,

2V2r=V21----------7

Nw+廣

.?，r=lCZTZ<l

2]/（25+1）22、

綜上，0<廠工工，.,.當(dāng)時，圓尸的周長取得最大值乃.

22

【名師點睛】三角形內(nèi)切圓半徑與三角形面積的等量關(guān)系：Sv=gr（a+b+c）.

【預(yù)測題412022年北京冬奧會標(biāo)志性場館——國家速滑館的設(shè)計理念來源于一個冰和速度

結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留

下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶''乂象征北京2022年冬奧會.其

中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動感，體

現(xiàn)了冰上運動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計參數(shù)

包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究在中國數(shù)學(xué)史上有過

輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導(dǎo)球的體積

公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家

祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖咂原理：“嘉勢既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的

體積推導(dǎo)出球的體積公式原理的意思是兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面

積相等，則這兩個幾何體的體積相等.

（1）利用祖咂原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體M，

兒何體M的底面半徑和高都為R，其底面和半球體的底面同在平面。內(nèi).設(shè)與平面a平行

且距離為d的平面6截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰影截

5

面面積相等的圖形并給出證明;

個不同的橢球A,B（如圖），類比（1）中的方法，探究橢球A的體積公式，并寫出橢球A,

8的體積之比.

2

【答案】（1）答案見解析；（2）VA=—ab,體積之比為2.

3a

【解析】（1）由圖可知，圖①幾何體的為半徑為R的半球，圖②幾何體為底面半徑和高都

為R的圓柱中挖掉了一個圓錐，與圖①截面面積相等的圖形是圓環(huán)（如陰影部分）

證明如下:

在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為?！敢椎媒孛鎴A。?的面積為4（十一12）,

在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為d,所以，圓環(huán)的面積為萬（心-〃2）,所以，

截得的截面的面積相等

（2）類比（1）可知，橢圓的長半軸為。，短半軸為b,構(gòu)造一個底面半徑為人，高為。的

圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上（如圖），在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為

6

頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為人，高為

在半橢球截面圓的面積乃與一/卜

在圓柱內(nèi)圓環(huán)的面積為苗一乃與儲="與（/_筋卜

所以距離平面a為d的平面截取兩個幾何體的平面面積相等,

根據(jù)祖隨原理得出橢球A的體積為

匕=2（%柱-%錐）=2口力2?"（萬方?〃）二當(dāng)時2,

4元

同理：橢球8的體積為%=彳〃%,

所以，兩個橢球A，6的體積之比為2.

a

【名師點睛】本題考查新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建圓柱，通過計算得到高相

等時截面面積相等，考查學(xué)生的空間想象能力與運算求解能力，屬于較難題.

【預(yù)測題5】已知橢圓。：鳥+斗=1（。>6>0）的右焦點廠恰為拋物線￡:丁=4%的焦點,

P/，半J是橢圓。與拋物線七的一個公共點.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點尸且不與x軸平行的直線，交橢圓。于A、B兩點，線段AB的中垂線分別交X、

\AB\

y軸于M、N兩點，求情后的取值范圍.

7

v-2v2

【答案】（1）—+^=1；（2）[12,-Ko）.

43

2Ss

【解析】（1）由點P在拋物線E上知，%=一，則P到拋物線準(zhǔn)線的距離為一，所以I尸尸1=

333

設(shè)橢圓左焦點為耳，則尸耳

所以24=^+：=4,。=2,又c=l,所以b=JJ，橢圓。的方程為上+工=1：

3343

（2）設(shè)直線/的方程為工=沖+1,

與橢圓C的方程聯(lián)立得（3病+4）丁+6陽一9=0,

-6m

設(shè)A（X],y）,5（七,％）,則,?%=3機‘十4''防一3加十4

一|AB|M一%

由知麗

-分跖二,設(shè)AB中點坐標(biāo)為（王，％），

1^-y2\=J（y+；；：；

X+必-3m4

則%==~7%=吵+1=

23m~+43m2+4

故48中垂線方程為y+

3療+4（3m2+4j

令k°得/=高'所以^=I2WW[12,+8）.

\AB\

【名師點睛】解決本題的關(guān)鍵，一是定義的運用，二是對前的化簡與求范圍.

丫2V22

【預(yù)測題6】已知橢圓c：j+2T=1（。＞力＞0）的左、右頂點分別是點A,8,直線/:“=一

a2b23

與橢圓C相交于。，E兩個不同點，直線ZM與直線的斜率之積為-!，ZXAB。的面

扣+4夜

積為----.

3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

8

2

（2）若點P是直線l:x=-的一個動點（不在x軸上），直線AP與橢圓C的另一個交點為Q,

過尸作8Q的垂線，垂足為M，在x軸上是否存在定點N,使得|MN|為定值，若存在，

請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）+（2）存在，定點為N（1,O）.

k.k.上」

K"-224

—+a—a

33

|x2ax|y0|=^,

【解析】（D設(shè)由題意得,

二+超=1

9/b23

力2_12

:，二橢圓C的方程為三+y2=i；

6=44

（2）假設(shè)存在這樣的點N,設(shè)直線PM與不軸相交于點了（用,0），由題意得丁尸

（2、

由⑴得8（2,0）,設(shè)P鼻/，Q（X，yJ，由題意可設(shè)直線”的方程為x=—2,

IJ/

x=my-22

由，x2,,^(m2+4]y2-4my=0,/.y,=或’=0(舍去)，王=^-

——+y-=l"+4"+4

4-

2—」

33m

?.?TP±BQ,.-.7PBe=f|-x0)(^-2)+^,=0,

2ty.284m

-H-----=-H-----------

3%,—233mm2+4*

二直線PM過定點7（0,0），，存在定點N（l,0）,使得|MN|=1.

【名師點睛】此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，解題

的關(guān)鍵是設(shè)直線PM與x軸相交于點?。?,0），由題意得7尸，8。，設(shè)直線AP的方程為

x=my-2,然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出。點的坐標(biāo)，再由7P_LB。，

9

可得毛=0,從而可得答案，屬7中檔題.

/，2

【預(yù)測題71已知橢圓G：部+5=1（?！?>0）,其短軸長為28，離心率為，，雙曲

線G：士-上=1（p>o,4>0）的漸近線為y=±JIr,離心率為02，且q?e2=l.

pq

（1）求橢圓C1的方程;

（2）設(shè)橢圓G的右焦點為產(chǎn)，動直線/（/不垂直于坐標(biāo)軸）交橢圓G于M，N不同兩

點，設(shè)直線短，和FN的斜率為占，女2,若匕=-&，試探究該動直線/是否過工軸上的

定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

22

廠4>,■

【答案】（1）------1-------1；（2）直線過定點（4,0）.

43

【解析】（1）由題意知,二+竺=I/Q">

其短軸長為26，可得b=JJ，橢圓的離心率為4,

r*vl

雙曲線C,：----------=1（p>0,g>。）的漸近線為y=,

pq

即，1=即J=3,所以離心率為6=不」~~工=Ji+旦=2'

且q?e,=l.所以e=_L=￡=J土［三，解得。=2,

12aa2Va2

22

所以橢圓方程工+工=1;

43

（2）假設(shè)該直線過定點。,0）,設(shè)直線）的方程y=Z（x-。,

y=k(x-t)

聯(lián)立《X2/_，消去y整理得(3+4公卜2-8/枕+4析2-12=0,

.T+T~

設(shè)N（4%），則為+中小々丁

D十QKDI^TK

10

△>0=左2/一3—4k2<0,

k?幺:，?y?_?4（々一，）_//—，）（々—1）+（電—，）（2—1）

1—-

"X,—1x21X,1Xj-1（X]—1）（馬一1）

=k.2、.一（，+1）（工|+%）+2,=0

2xtX2一（，+1）（苦+々）+2/=0,

xix2-[x]+x2）+\

4公/_12/c838公產(chǎn)-24-8公產(chǎn)-83+6E+8k21

即2----------―（r+l）--------2r==0,

3+4-'勺+4-?3+4公

所以一24+61=0,解得f=4,即直線過定點（4,0）.

【名師點睛】圓錐曲線中求直線過定點的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用根

與系數(shù)關(guān)系、結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等）直接計算，即

可求出結(jié)果,運算量較大.

21

【預(yù)測題8】已知橢圓E:=+N=l（〃＞力＞0）的左、右焦點分別為耳，5，P是橢圓E上

a2b‘

3

的一動點，且|尸制的最小值是1,當(dāng)?shù)鸫怪遍L軸時，|尸照=:.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在斜率為-1的直線[與以線段耳巴為直徑的圓相交于兩點，與橢圓E相

交于C、。兩點，且|。。|?|4例=馬普若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

22

【答案】（1）三+21=1：（2）存在；y=-x+l或y=-x-l.

43

【解析】⑴由題意，點P在橢圓上的一個動點，且|尸制的最小值為1,得a-c=l,

因為當(dāng)Pg垂直長軸時，|P￡|二L所以2=3,即26=3°，

112a2

又由標(biāo)二層+^，解得a=2,方=6，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+工=1.

43

（2）假設(shè)存在斜率為-1的直線/,設(shè)為丁=一工+機，

11

由（1）知，耳（一1,0）,瑪（1,0）,

所以以線段耳工為直徑的圓為f+y2=],

由題意，圓心（0,。）到直線/的距離〃=^^<1,得|相|〈立,

所以|A3b2>/1一/=2,1-^_=@也一>

工+2=1

聯(lián)立，43，得7f—8g+4根2—12=0，

y=-x+m

由題意，△=（一8加）2-4X7X（4〃?2—12）=336—48加2=48（7—〃,

解得川2<7，又|機|〈3，所以帆2<2，設(shè)。（%,%）,。（X2，%），

8m4,n2-12

則%+毛=彳，大超二--一

所以|CD\=Jl+>|x2-x,|=V2x+々）2-4西工2

卜81口丫心40?-12_4^

Nl萬）~7=7~

若皿陰=嚶則&x耳7x孚莘,

所以M-9m2+8=0,解得*=1,或帆2=8,

又相2<2，所以相2=1，即機=±1,

故存在符合條件的直線）,其方程為y=—x+1或y=-x-L

【名師點睛】通過“垂徑定理”求出直線與圓相交所截得的弦長，直線與橢圓相交通過弦長公

式ICOI=2k2-h得到.

[預(yù)測題9】已知點P到"（右,0）的距離與它到直線l:x=—的距離之比為—.

53

（1）求點尸的軌跡E的方程；

（2）若A是軌跡E與x軸負(fù)半軸的交點，過點D（-3,8）的直線/與軌跡E交于8,C兩點,

12

求證：直線A民AC的斜率之和為定值.

22

【答案】（1）—+^-=1;（2）證明見解析.

94

j（X-⑹2+（y―0）2=石

【解析】（1）設(shè)點P（x,y）,由題意可得9^5=T.

2222

化簡整理可得上+匯=1,所以點P的軌跡E的方程為三十二=1.

9494

（2）由（1）可得，A（-3,0）,過點。的直線/斜率存在且不為0,

故可設(shè)/的方程為y=履+加（后工0）,,y）,C（w，%），

y=kx+m

由，x2y2得（4+9攵2）“2+18k我+9m2-36=（）,

A=（l8如"-4（4+*2）（9>一36）=i皿（然2一病+勺>0,

\Skrn

中2=而一干,而

M+W=一4+9公1-4+9-

乂（W+3）+%（芯+3）（取]+〃。（9+3）+（乜+根）（王+3）

“AB+怎C%?%

X）+3X2+3（X14-3）（XJ+3）（X]+3）（x2+3）

9m2-36/.）

2kx--------%+（3oL+〃2）----------+6m

2kxix2+（32+加）（內(nèi)+電）+6加4+9&2'4+97/J

MW+3（x）+x2）+9而二苧+3/」8?。?9

4+9/I4+9切

8/、

二3（〃「3k），由于直線/過點。（—3,8）,所以一3女+加=8，

所以原8十37=；（即為定值）.

【名師點睛】解決本題的關(guān)鍵一是直線與橢圓聯(lián)立，二是準(zhǔn)確的運算.

【預(yù)測題10】已知橢圓E：1+￡=l（a>b>0）的長軸長為4,離心率為

（1）求橢圓E的方程;

（2）點6，工分別為橢圓E的左、右焦點，若過點K的直線交橢圓E于A,B兩點，過

13

點耳的直線交橢圓E于C,O兩點，且A8_LC。，求的最小值.

【答案】（1）—+^-=1；（2）最小值為3.

423

【解析】（1）因為橢圓C的長軸長為4,所以勿=4,即。=2.

因為橢圓C的離心率為巫，所以￡=也，即c=&,

2a2

所以Z?=>Ja2-c2=yji1—V2=V2，

22

所以橢圓C的方程為—+^=1.

42

（2）當(dāng)A8斜率為。時，

圍=加=4,皿=空=2,|陰+卬=6,

同理，當(dāng)AB斜率不存在時，也有|蜴+|8|=6.

當(dāng)A3斜率存在且不為。時，

設(shè)斜率為左，則A8方程為y=2[一應(yīng)）,

設(shè)4（%，乂）,3（孫必），

[r22

x?3v_?

聯(lián)立《42-得（1+2公卜2-4>/羽工+4公一4=0,

y=k（X-五）

04同4^-4

易知A=16公+16>0,且為+電=]+2.2，XIX2=

1+2公

由弦長公式得，

心行.河亍^:=中陛了二5三位4

112/12虱1+2叩1+2/1+2公

設(shè)。（七,%）,。（%，/），

因為A8_LCD，所以直線CQ的斜率為一,，

K

14

所以同川8|-4(心\4。+0_4(1+用(3公+3)12①+2人］)

*????1+2左2/+20+2/)(公+2)2/+5/+2

12（k4+-k2+\\--k22=6--7―J—

=72_）_2_J=6__^L_2公+75'

2A4+5&2+22/+5r+2Ik）

因為F+122,當(dāng)且僅當(dāng)二=1即左=±i時取"=”，

k~

所以|/4即+|。。|=6-§=3~,顯然？~＜6,

所以MM+|cq的最小值為華，此時攵=±i.

【名師點睛】通過弦長公式以及根與系數(shù)關(guān)系得|AB|的長，對運算能力的要求較高，川-;

k

代替上求得|c4的長是解題的關(guān)鍵.

【預(yù)測題11］已知橢圓C：與+強■=1（〃＞人＞0）,長軸為4,不過坐標(biāo)原點0且不平行

于坐標(biāo)軸的直線/與橢圓。有兩個交點A,B,線段A8的中點為M，直線0M的斜率與

直線/的斜率的乘積為定值-1.

4

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線/過右焦點招，問y軸上是否存在點。，使得三角形題為正三角形，若存

在，求出點O坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）王+y2=］；⑵存在，點.

【解析】（1）由題意可知，為=4,a=2.

設(shè)點A（X，yJ,8玉,%），A,8在橢圓上，所以三十4=1,4+4=^

a~b-ab

所以(x+%)(%-/)?(%+%)(乂一%)

b2“唔鬻MH，

15

L所以0?山二一"

因為kAli-kOM

4x2-x(%]+x24

所以一與=-_1丫2

所以從=3,所以橢圓。方程為二+91.

a244.

（2）馬（后,0）,設(shè)直線/：y=

聯(lián)立方程得(1+4公b2-8辰+1222-4=0,

'4下如

rrhl8辰12公一4匚「zA/

所以％+5二二一7，%蒞=----3-，所以〃

,~1+4公~1+4公J+4公'

3人?4辰2、3&)

假設(shè)存在點?！瘎tM。的直線方程為y+,X-----,---所-----以-----。-0,

1+4小1+4左

1十QK"

若△ABD為等邊三角形,則|MD|二正MM'

即去我R舞"，解得叫■此時澳遇

（9}

所以存在點O[0,±,J,使得△A3。為等邊三角形.

【預(yù)測題12]如圖，分別過橢圓￡：「+，=1（。>6>0）左、右焦點6、居的動直線4、

，2相交于P點，與橢圓E分別交于A、8與C、。不同四點，直線OA、OB、。。、OD

的斜率占、&、&、&4滿足K+&=&+%.已知當(dāng)4與x軸重合時，a叫=26，

卬|=孚

（1）求橢圓E的方程;

16

(2)是否存在定點M、N,使得歸M+為定值？若存在，求出M、N點坐標(biāo)并

求出此定值；若不存在，說明理由.

【答案Xl)1+］=1；(2)存在點和點N(0,l),且1PM+|PN|的定值為2應(yīng).

【解析】(1)當(dāng)4與x軸重合時，K+&=&+&=0,即&=一治，所以4垂直于工軸，

22?2

將％=C代入橢圓E的方程可得二十馬二1,可得y=±"，

a2b2丁a

\AB\=2a=243

所以，當(dāng)4與4軸重合時，則(2b246，解得a=J5，b=五,

\CD\=-r=-r

a3

橢I員IE的方程為二十5=1；

32

(2)焦點耳、鳥坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,0),

當(dāng)直線4或/2斜率不存在時，p點坐標(biāo)為(-1,o)或(1,o)；

當(dāng)直線/］、，2的斜率存在時，設(shè)斜率分別為町、加2，設(shè)A(x，yJ、85,為)，

由~2~,得(2+3/獷+6*%+3町2-6=0,

y=/w1(x+l)

6〃彳_3"-6

所以：％+/=2十3/'X/廣

一2十3鬲'

則：&/士」上］=芯+心］=*

%h1%^2）1%々；町-2

..-4機2

同理：與+%2C，

因為4+e—七+e，所以2；=欣-2,即（引色+2）（嗎一嗎）一0,

"21—2

由題意知町工相2，所以町生+2二=0,

17

設(shè)P（x,y）,則忘.^+2=0,即］+d=i（"±i）,

當(dāng)直線4或4斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（一1,0）或（1,0）也滿足此方程，

所以在橢圓?+爐=1上存在點歷（0,一。和點N（O/），使得1PMi+歸陷為定值，定

值為2&-

22

【預(yù)測題13］己知橢圓"：￡+方=1（。>6>0）的左、右頂點分別為A8,上、下頂點

分別為C,。，右焦點為尸，離心率為其中4|E4|二|尸8||COf.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)Q是橢圓M上異于AB的任意一點，過點。且與橢圓M相切的直線與％=-。，

x=〃分別交于S,T兩點，以ST為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；如果

不存在，請說明理由.

r2v2

【答案】（1）—+2_=1；（2）ST為直徑的圓過定點（±1,0）.

43

【解析】（1）由條件可得4（4+c）=（a—c）（?）2

所以心空￡二史二3,

a-c\-e

又￡=4，所以"一2〃2=3,解得。2=4，

a24

22

所以橢圓的方程為工+匕=1.

43

（2）設(shè)（毛。±2），所以今+近=1,①

對橢圓《+亡=1求導(dǎo)得，手+?了=0,所以％=一尹

43434%

所以切線方程為丁一%=一盧（%一%），

18

將①代入上式，得切線方程3止+*=1,

43

分別聯(lián)立x=-2,x=2,得S-2,

I2%)

所以以ST為直徑的圓，圓心為。,且，半徑「二isri

y^j2

2

6-3x6+3xY9x

所以|S7T=4/=(2+2)2+00=16+"

(2yo2yo)

2221

因為至+%=1,所以片=41-4

43I3J

/2

36"工

所以4，“6十3J/36,

3

所以圓的方程為V+y—

y。）%

2

39

令f=l，得y-A得X=±1時，y=0,

Iyo)

所以sr為直徑的圓是過定點（士i,o）.

1

【預(yù)測題14]已知橢圓E：二十y=1（曲￡>0）的右焦點為尸（C,0）,圓O：/+y2=42,過點

a

（

產(chǎn)與x軸垂直的直線在第一象限交圓與橢圓分別于點A,B,且|"]=、5|外1，點P1,手

在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點尸且斜率為k的直線/與E交于C,。兩點，CO的中點為M,直線OM與橢圓

有一個交點為M若砸=L說,求AMN廠的面積.

3

22

【答案】(1)—2_i.

+=⑵好

42

,2

【解析】（1）由題意知A（c,b),B(c,—),

a

19

,2

因為正因Q，所以b=y/i.也,所以用孤兒

a

又點尸（1,直）在橢圓上，所以二十3=1,解得聽2,b二母,

2a~4b-

v22

所以橢圓E的方程為土+二v二1

42

（2）依題意可得直線/：產(chǎn)網(wǎng)”及）,

y=k(X-五)

2

聯(lián)xy2,得(1+2尸3-4y/2Rx+4R-4=0,

—+—=1

142

則-(-4)(1+2)2=36攵2+4>0,

設(shè)C(xi,yi),D(X2t”)，M(xo,>D),所以箝+內(nèi)二生厄￡■,xo二漢絲"

1+2k21+2公

所以和二二^與，所以M’2亞2―瓜

1+2公1+2&2'1+2/

——1一(-6辰3叵k1

因為MO=-ON,所以N

3、1+2/,\+2k2)

72A18&2

因為點N在橢圓上，所以際中

解得好二（舍去）或&2=所以4±且，

277