PAGE統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)教案一、本章知識(shí)脈絡(luò)：統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例回歸分析樣本點(diǎn)的中心隨機(jī)誤差殘差分析建立回歸模型的基本步驟回歸分析列聯(lián)表K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)判斷結(jié)論成立可能性的步驟二、本章要點(diǎn)追蹤：1.樣本點(diǎn)的中心（eq\O(x,\s\up8(－))，eq\O(y,\s\up8(－))）其中eq\O(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\s\di(n,∑,i＝1)xi，eq\O(y,\s\up8(－))＝eq\s\di(n,∑,i＝1)yi.2.線性回歸模型的完美表達(dá)式eq\b\lc\{(\a\vs2(y＝bx＋a＋e,E（e）＝0，D（e）＝σ2))3.類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用eq\O(σ2,\s\up8(∧))＝eq\f(1,n－2)eq\s\di(n,∑,i＝1)eq\O(e2,\s\up8(∧))i＝eq\f(1,n－2)Q（eq\O(a,\s\up8(∧))，eq\O(b,\s\up8(∧))）（n＞2）作為σ2的估計(jì)量其中eq\O(a,\s\up8(∧))＝eq\O(y,\s\up8(－))－eq\O(b,\s\up8(∧))eq\O(x,\s\up8(－))eq\O(b,\s\up8(∧))＝eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（xi－eq\O(x,\s\up8(－))）（yi－eq\O(y,\s\up8(－))）,eq\s\di(n,∑,i＝1)（xi－eq\O(x,\s\up8(－))）2)4.我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2＝1－eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2,eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(－))）2)R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好.5.建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋x）；（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。6.作K2來(lái)確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信程度.三、幾個(gè)典型例題：例1某地區(qū)10名健康兒童頭發(fā)和全血中的硒含量（1000ppm）如下，血硒74668869917366965873發(fā)硒13101311169714510（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸方程；（3）如果某名健康兒童的血硒含量為94（1000ppm）預(yù)測(cè)他的發(fā)硒含量.解（1）散點(diǎn)圖如下圖所示：（2）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，求得回歸方程：eq\O(y,\s\up8(∧))＝0.2358x－6.9803（3）當(dāng)x＝94時(shí)，eq\O(y,\s\up8(∧))≈15.2因此，當(dāng)兒童的血硒含量為94（1000ppm）時(shí)，該兒童的發(fā)硒含量約為15.2（1000ppm）.某地大氣中氰化物測(cè)定結(jié)果如下：污染源距離50100150200250300400500氰化物濃度0.6870.3980.2000.1210.090.050.020.01（1）試建立氰化物濃度與距離之間的回歸方程.（2）求相關(guān)指數(shù).（3）作出殘差圖，并求殘差平方和解析（1）選取污染源距離為變量x，氰化物濃度為自因變量y作散點(diǎn)圖.從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，氰化物濃度與距離有負(fù)的相關(guān)關(guān)系，用非線性回歸方程來(lái)擬合，建立y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程.eq\O(y,\s\up8(∧))＝0.9293e－0.0094x（2）相關(guān)指數(shù)K2＝1－eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2,eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(y,\s\up8(∧))）2)＝0.9915（3）編號(hào)12345678污染源距離50100150200250300400500氰化物濃度0.6870.3980.20.1210.090.050.020.01殘差0.10618570.035－0.027－0.0210.0014－0.005－0.0020.0015殘差平方和eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2＝0.0118例3某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)制取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太造成企業(yè)改革合計(jì)工作積極544094工作一般326395合計(jì)86103189對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(189×（54×63－40×32）2,94×95×86×103)＝10.76.因?yàn)?0.76＞6.635，所以有99%的把握說(shuō)：?jiǎn)T工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的.例4有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（即人均GDP）和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：人均GDP（萬(wàn)元）1086431患白血病的兒童數(shù)351312207175132180（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求對(duì)的回歸直線方程；（3）如果這個(gè)省的某一城市同時(shí)期年人均GDP為12萬(wàn)元，估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目；分析：利用公式分別求出的值，即可確定回歸直線方程，然后再進(jìn)行預(yù)測(cè).16題圖解：（1）作與對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，如右圖所示；16題圖（2）計(jì)算得，∴，，∴對(duì)的回歸直線方程是；（3）將代入得，估計(jì)這個(gè)城市一年患白血病的兒童數(shù)目約為381.評(píng)注：本題涉及的是一個(gè)和我們生活息息相關(guān)，也是一個(gè)愈來(lái)愈嚴(yán)峻的問(wèn)題——環(huán)保問(wèn)題.本題告訴了我們一個(gè)沉痛的事實(shí)：現(xiàn)如今，一個(gè)城市愈發(fā)達(dá)，這個(gè)城市患白血病的兒童愈多.原因在于，城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展大都以犧牲環(huán)境為代價(jià)的，經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了大面積的環(huán)境污染，空氣、水源中含有的大量的有害物質(zhì)是導(dǎo)致白血病患者增多的罪魁禍?zhǔn)祝?，我們一定要增?qiáng)自我保護(hù)意識(shí)和環(huán)境保護(hù)意識(shí).例5寒假中，某同學(xué)為組織一次愛(ài)心捐款，于2008年天數(shù)1234567人數(shù)711212466115325（1）作出散點(diǎn)圖，并猜測(cè)與之間的關(guān)系；（2）建立與的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；（3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子傳播時(shí)間共10天）進(jìn)行募捐活動(dòng)，根據(jù)上述回歸模型，估計(jì)可去多少人.分析：先通過(guò)散點(diǎn)圖，看二者是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有，可通過(guò)相關(guān)函數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系.解：（1）散點(diǎn)圖略.從散點(diǎn)圖可以看出與不具有線性相關(guān)關(guān)系，同時(shí)可發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一個(gè)指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中是參數(shù)；（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，把指數(shù)關(guān)系變成線性關(guān)系.令，則變換后的樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立與之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：天數(shù)1234567人數(shù)1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為，∴.（3）截止到2008年2月12日，，此時(shí)（人）.∴估計(jì)可去1530人.評(píng)注：現(xiàn)如今是網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，很多同學(xué)都會(huì)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖子，所以此類問(wèn)題為同學(xué)們司空見(jiàn)慣.但如何預(yù)測(cè)發(fā)帖后的效果，這卻是個(gè)新課題，通過(guò)本題你是否已明確.例6有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字的關(guān)系，他收集了124個(gè)郵箱名稱，其中中國(guó)人的70個(gè)，外國(guó)人的54個(gè)，中國(guó)人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字，外國(guó)人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；（2）他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中，外國(guó)人郵箱名稱里含數(shù)字的也不少，他不能斷定國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)，你能幫他判斷一下嗎？分析：按題中數(shù)據(jù)建列聯(lián)表，然后根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出值，即可判定.解：（1）2×2的列聯(lián)表中國(guó)人外國(guó)人總計(jì)有數(shù)字432770無(wú)數(shù)字213354總計(jì)6460124（2）假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”.由表中數(shù)據(jù)得，因?yàn)椋杂欣碛烧J(rèn)為假設(shè)“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)”是不合理的，即有的把握認(rèn)為“國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)”.評(píng)注：獨(dú)立性檢驗(yàn)類似于反證法，其一般步驟為：第一步：首先假設(shè)兩個(gè)分類變量幾乎沒(méi)有關(guān)系（幾乎獨(dú)立）；第二步：求隨機(jī)變量的值；第三步.判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的把握（即概率）有多大.例7針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和是否喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇人數(shù)占女生人數(shù)的.（1）若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有多少人；（2）若沒(méi)有充分的證據(jù)顯示是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至多有多少人.分析：有的把握認(rèn)為回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，說(shuō)明，沒(méi)有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，說(shuō)明.設(shè)出男生人數(shù)，并用它分別表示各類別人數(shù)，代入的計(jì)算公式，建立不等式求解即可.解：設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡韓劇不喜歡韓劇總計(jì)男生女生總計(jì) （1）若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有關(guān)，則，由，解得，∵為整數(shù)，∴若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對(duì)錯(cuò)和性別有