牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算案例綜述電力網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)決定了它會(huì)有成千上萬(wàn)條傳輸線(xiàn)路和不計(jì)其數(shù)的升降級(jí)變壓器等靜止線(xiàn)性元件，而且各自的電壓等級(jí)都各不相同。所以在實(shí)際電網(wǎng)中應(yīng)用潮流計(jì)算前必須要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)為潮流計(jì)算提供已知條件。電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖2-1所示為一簡(jiǎn)單的電力系統(tǒng)模型：圖2-1簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)該模型的網(wǎng)絡(luò)方程如公式(2-1)所示:(2-1)上式(2-1)中的節(jié)點(diǎn)電流可以以各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓和各個(gè)節(jié)點(diǎn)的功率表示為：(2-2)再將公式(2-2)代入公式(2-1)可得：(2-3)將公式(2-3)的虛部與實(shí)部分開(kāi)后，可知一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)6個(gè)變量，2個(gè)方程，即n個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)6n個(gè)變量以及2n個(gè)方程。但是2n個(gè)方程不能直接求出6n個(gè)變量，此時(shí)，通常把負(fù)荷功率作為已知量，并把節(jié)點(diǎn)功率(2-2)引入到網(wǎng)絡(luò)方程，得：(2-4)此時(shí)該系統(tǒng)的潮流方程為：(2-5)再將公式(2-5)方程的實(shí)部和虛部分開(kāi)，對(duì)應(yīng)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都可得兩個(gè)實(shí)數(shù)方程，但是變量仍有4個(gè)，即、、、。此時(shí)為了解出方程，需要給定其中的兩個(gè)變量，保留兩個(gè)為待求變量[8]。而按照給定變量的不同，可以將節(jié)點(diǎn)分為三種類(lèi)型：PQ節(jié)點(diǎn)此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的有功功率P與無(wú)功功率Q是給定的，待求量為U和。PU節(jié)點(diǎn)此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的有功功率P和電壓幅值U是給定的，待求量為Q和。平衡節(jié)點(diǎn)此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值U和其相位是給定量。在進(jìn)行潮流計(jì)算時(shí)，只設(shè)置一個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)，該類(lèi)節(jié)點(diǎn)在準(zhǔn)確地計(jì)算出潮流分布和功率損耗前不能給定有功功率而是負(fù)責(zé)平衡整個(gè)電力系統(tǒng)的有功功率。此類(lèi)節(jié)點(diǎn)往往是負(fù)責(zé)系統(tǒng)調(diào)頻任務(wù)的發(fā)電母線(xiàn)，也會(huì)選擇出線(xiàn)最多的發(fā)電廠以提高潮流程序的收斂性[9]。以上三類(lèi)節(jié)點(diǎn)中平衡節(jié)點(diǎn)是必不可少的。根據(jù)上述方程所求得的計(jì)算結(jié)果仍不確定是否其合理，為保證電力系統(tǒng)的合理運(yùn)行，該問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該滿(mǎn)足一定的約束條件。常用約束條件可以分為三類(lèi)：有功功率和無(wú)功功率約束條件所有的節(jié)點(diǎn)功率必須滿(mǎn)足以下條件：(2-6)電壓約束條件為保證電能質(zhì)量和供電安全的要求，電壓必須滿(mǎn)足以下條件：(2-7)相位差約束條件為了保證系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性，輸電線(xiàn)路兩端的電壓相位差必須滿(mǎn)足以下條件：(2-8)導(dǎo)納矩陣節(jié)點(diǎn)電壓方程通常用來(lái)描述電力網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行狀況。在此方程中待求量為母線(xiàn)電壓，求得母線(xiàn)電壓可以求得母線(xiàn)的電流、功率以及支路上的功率，從而掌握電力網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行情況。在求解節(jié)點(diǎn)電壓方程前，需要選取大地作為零電位值參考點(diǎn)。此時(shí)，導(dǎo)納、電壓與電流三者之間的關(guān)系可以表示為：(2-9)對(duì)于具有n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納可以表示為的矩陣。根據(jù)基爾霍夫電流定律可以列出n節(jié)點(diǎn)的電壓方程如下:(2-10)上式(2-10)中，為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素；為節(jié)點(diǎn)電壓：為節(jié)點(diǎn)注入電流。將個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓方程寫(xiě)成矩陣表達(dá)式為：(2-11)其中節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：(2-12)上式(2-12)中，對(duì)角元素為節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納，也是與節(jié)點(diǎn)直接相連的導(dǎo)納之和，即(2-13)由于導(dǎo)納元素并非向量元素而是標(biāo)量，由此可知：(2-14)由上式(2-14)可看出，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中當(dāng)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間不存在互導(dǎo)納時(shí)，會(huì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中有非對(duì)角元素為0的情況，所以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣又稱(chēng)稀疏矩陣。在現(xiàn)實(shí)情況中，隨著電網(wǎng)規(guī)模的擴(kuò)大，節(jié)點(diǎn)數(shù)也隨之上升，而隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，為0的非對(duì)角元素也會(huì)越來(lái)越多，即節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的稀疏程度提高，這樣會(huì)使計(jì)算機(jī)的內(nèi)存占用量降低；并且由于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的對(duì)稱(chēng)性使得其在編程時(shí)更為簡(jiǎn)便，因此該方法廣泛應(yīng)用于潮流計(jì)算中[10]。網(wǎng)絡(luò)損耗圖2-2線(xiàn)路潮流的簡(jiǎn)單模型如圖2-2所示為線(xiàn)路潮流的簡(jiǎn)單模型，在該模型中，線(xiàn)路連接了節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)測(cè)量支路電流，規(guī)定由節(jié)點(diǎn)流向節(jié)點(diǎn)時(shí)為正，其值為(2-15)同上，如果于節(jié)點(diǎn)測(cè)支路電流，則流向節(jié)點(diǎn)時(shí)為正，故公式(2-15)變?yōu)椋?2-16)表示從節(jié)點(diǎn)流向節(jié)點(diǎn)，表示從節(jié)點(diǎn)流向節(jié)點(diǎn)。其值如公式(2-17)所示：(2-17)節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間的線(xiàn)路損耗為(2-17)的代數(shù)和，即：(2-18)以上就是線(xiàn)路損耗[11]。牛頓-拉夫遜法基本原理假定有一非線(xiàn)性方程：(2-19)在此式(2-19)中，為待求量，先給該待求量一初值，為該非線(xiàn)性方程的近似解且與實(shí)際結(jié)果的誤差為。將近似解與誤差帶入式(2-19)得：(2-20)再將式(2-19)在處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：(2-21)如果此時(shí)非常接近實(shí)際結(jié)果，則誤差的二次及二次項(xiàng)以上的高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)，即修正方程為：(2-22)上式中為不平衡量，為修正值。此時(shí)可以求得,并由此可以得出迭代后更加接近實(shí)際結(jié)果的：(2-23)而上式中的可以作為第二次迭代的初值代入求得，一直迭代計(jì)算直到滿(mǎn)足收斂條件即可，收斂條件如下式(2-24)所示：(2-24)上式(2-24)中、為小正數(shù)。與上述內(nèi)容相同，再給一維數(shù)為n的非線(xiàn)性方程組：(2-25)再給出且這些初值與實(shí)際結(jié)果的誤差值為，將這些值帶入式(2-25)并以泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后忽略的高次項(xiàng)，得：(2-26)上式(2-26)便是一組被牛頓-拉夫遜法處理過(guò)的線(xiàn)性化的方程(又稱(chēng)修正方程組)，將其以導(dǎo)納矩陣表示為：(2-27)可先將上式(2-27)簡(jiǎn)寫(xiě)為：(2-28)上式(2-28)中，便是該非線(xiàn)性方程組的初始雅可比矩陣。由此求得修正量的列向量，進(jìn)而求得第一次迭代后的近似值列向量，然后再代入為第二次迭代的初值，循環(huán)計(jì)算直到滿(mǎn)足收斂精度[12]。再對(duì)雅可比矩陣的各元素作詳細(xì)的計(jì)算：先將流入節(jié)點(diǎn)的電流按極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為：(2-29)此時(shí)節(jié)點(diǎn)的復(fù)功率是(2-30)將式(2-29)代入(2-30)得：(2-31)再分離虛實(shí)部：(2-32)(2-33)雅克比矩陣的元素為式(2-27)與式(2-32)及式(2-33)對(duì)與的偏導(dǎo)數(shù)，即：(2-34)此時(shí)，對(duì)于各節(jié)點(diǎn)，電壓幅值是已知的，假設(shè)給定個(gè)電壓控制節(jié)點(diǎn)，則矩陣(2-34)中有和的個(gè)方程可消去。這時(shí)的雅可比矩陣各元素可用如下各式表示：的對(duì)角線(xiàn)及非對(duì)角線(xiàn)元素為：(2-35)(2-36)的對(duì)角線(xiàn)及非對(duì)角線(xiàn)元素為：(2-37)(2-38)的對(duì)角線(xiàn)及非對(duì)角線(xiàn)元素為：(2-39)(2-40)的對(duì)角線(xiàn)及非對(duì)角線(xiàn)元素為：(2-41)(2-42)和是計(jì)劃值和計(jì)算值的差，這個(gè)差值即是功率余額，用下式表示：(2-43)這時(shí)節(jié)點(diǎn)的新電壓值為：(2-44)支路功率表達(dá)式為：(2-45)以上便是牛頓-拉夫遜法的基本原理[13]。牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算基本步驟圖2-3牛頓-拉夫遜法的潮流計(jì)算流程圖如圖2-3所示，牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算有以下步驟：輸入電力系統(tǒng)的初始化節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)以及各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的給定值并進(jìn)行計(jì)算后得出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；輸入節(jié)點(diǎn)電壓初值，將迭代計(jì)數(shù)k置零；將當(dāng)前的電壓值代入(2-43)與(2-44)計(jì)算各類(lèi)節(jié)點(diǎn)的不平衡量，與；按式(2-52)校驗(yàn)收斂，即