第1頁/共1頁2021北京重點校高一（上）期中數(shù)學匯編函數(shù)的應用（二）一、單選題1．（2021·北京八中高一期中）已知函數(shù)滿足：①定義域為R；②對任意，有；③當時，.則方程在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)是（

）A．18 B．12 C．11 D．102．（2021·北京八中高一期中）已知函數(shù)，在下列說法中正確的是（

）A．是函數(shù)的一個零點 B．函數(shù)只有兩個零點C．函數(shù)在上至少有一個零點 D．函數(shù)在上沒有零點3．（2021·北京·清華附中高一期中）下列函數(shù)中能說明“若函數(shù)滿足，則在內(nèi)不存在零點”為假命題的函數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2021·北京·人大附中高一期中）在用“二分法”求函數(shù)零點近似值時，第一次所取的區(qū)間是，則第三次所取的區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．5．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人將進貨單價為8元的商品按每件10元出售時，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤.已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件，如果要使每天所賺的利潤最大，那么他應將銷售價每件定為（

）A．11元 B．12元 C．13元 D．14元6．（2021·北京·人大附中高一期中）函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．在其定義域上單調(diào)遞增C．的值域為D．函數(shù)有且只有一個零點7．（2021·北京師大附中高一期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B．C． D．8．（2021·北京市第九中學高一期中）在以下區(qū)間中，存在函數(shù)的零點的是（）A． B． C． D．二、填空題9．（2021·北京八十中高一期中）設方程的解的個數(shù)為m，則m可能的值有________．10．（2021·北京八十中高一期中）函數(shù)的零點有________個．11．（2021·北京市第九中學高一期中）對于實數(shù)和，定義運算：，設，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________.三、解答題12．（2021·北京師大附中高一期中）如果函數(shù)f(x)的定義域為R，且存在實常數(shù)a，使得對于定義域內(nèi)任意x，都有f(x＋a)＝f(－x)成立，則稱此函數(shù)f(x)具有“性質(zhì)P(a)”．(1)若函數(shù)f(x)＝x2－2x具有“P(a)性質(zhì)”，求實數(shù)a的值；(2)已知函數(shù)f(x)具有“P(0)性質(zhì)”，且當x≤0時，f(x)＝(x－m)2，若方程f(x)＝在區(qū)間［－2，2］上恰有四個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(3)已知f(x)＝|x－m2|－m2．①若函數(shù)f(x)具有“性質(zhì)P(2)”，求實數(shù)m的值；②若定義域為R的函數(shù)g(x)具有“P(0)性質(zhì)”，且當x≥0時，g(x)＝f(x)，請問是否存在實數(shù)m，使得對于任意x∈(－1，+∞)，g(x＋2)＞g(x)．若存在，直接寫出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，直接寫不存在實數(shù)m．(不需說明理由)13．（2021·北京師大附中高一期中）設．(1)當時，求的解集；(2)求函數(shù)的零點．14．（2021·北京八十中高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式，以及零點．(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．（只需寫出結(jié)論）(4)在所給出的平面直角坐標系上，作出在定義域R上的示意圖．15．（2021·北京市第九中學高一期中）已知二次函數(shù)．(1)若，且，試證明：必有兩個零點；(2)若對且，，方程有兩個不等實根，證明必有一實根屬于．四、雙空題16．（2021·北京市第一六一中學高一期中）將函數(shù)的圖像先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為____________，的零點為___________．

參考答案1．C【分析】根據(jù)已知條件分別作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間的圖象，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)即為方程在區(qū)間內(nèi)的解的個數(shù).【詳解】由已知中函數(shù)滿足：①定義域為；②對任意，有；③當時，，首先作出時的圖象，由可知：當自變量增加函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼谋?，或者圖象向左平移兩個單位函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?，作出函?shù)與函數(shù)的圖象如圖：當時；當時，，此時是方程的一個根，當時，；當時，，此時是方程的一個根，當時，的函數(shù)值小于，函數(shù)的函數(shù)值大于，所以兩個函數(shù)圖象不再有交點，當時方程有個根，由圖知當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間有個交點，函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間有個交點，所以函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間共有11個交點，即方程在區(qū)間內(nèi)的解的個數(shù)是，故選：C2．C【分析】求出函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)零點的概念依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，函數(shù)的零點不是坐標，故錯誤；對于B選項，，故得，即函數(shù)有三個零點，故錯誤；對于C、D選項，，故函數(shù)在上至少有一個零點，故C正確，D錯誤；故選：C3．A【分析】根據(jù)已知條件逐一檢驗四個函數(shù)，滿足，在內(nèi)存在零點即為符合題意的函數(shù).【詳解】對于A：對于函數(shù)，，，所以函數(shù)滿足，在內(nèi)存在零點，所以可說明命題為假命題符合題意，故選項A符合題意；對于B：對于函數(shù)，，所以不滿足，故選項B不符合題意；對于C：對于函數(shù)，，由可得，此函數(shù)在內(nèi)不存在零點，不能說明命題是假命題，故選項C不符合題意；對于D：對于函數(shù)，，，此函數(shù)在內(nèi)不存在零點，不能說明命題是假命題，故選項D不符合題意；故選：A.4．C【分析】由第一次所取的區(qū)間是，取該區(qū)間的中點，可得第二次所取的區(qū)間，利用同樣的方法得到第三次所取的區(qū)間.【詳解】因為第一次所取的區(qū)間是，所以第二次所取的區(qū)間可能是，則第三次所取的區(qū)間可能是，故選：C5．D【分析】列出利潤關(guān)于售價的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)即可求解【詳解】解：設售價為元，則提高價格為元，少買商品數(shù)為，實際單品利潤為元，實際賣出，實際利潤為，當時，利潤有最大值.故選：D6．A【分析】根據(jù)的圖象上的點關(guān)于對稱的點不在的圖象上，可知A不正確；利用的奇偶性以及在上的單調(diào)性，可知在其定義域上單調(diào)遞增，故B正確；求出函數(shù)的值域，可知C正確；求出函數(shù)的零點，可知D正確.【詳解】的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點對稱，在的圖象上取點，它關(guān)于對稱的點不在的圖象上，故A不正確；當時，為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，且，所以在其定義域上單調(diào)遞增，故B正確；當時，，又為奇函數(shù)，所以當時，，又，所以的值域為，故C正確；令，得，得，所以函數(shù)有且只有一個零點，故D正確.故選：A7．D【解析】由零點存在性定理求解即可.【詳解】，，，，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選：D8．C【詳解】分析：要判斷函數(shù)f（x）=x3+3x-3的零點的位置，我們可以根據(jù)零點存在定理，則該區(qū)間兩端點對應的函數(shù)值，應異號，將四個答案中各區(qū)間的端點依次代入函數(shù)的解析式，易判斷零點的位置．解答：解：∵f（-1）=-7f（0）=-3f（1）=1f（2）=11f（3）=33根據(jù)零點存在定理，∵f（0）f（1）＜0故[0，1]存在零點故選C點評：要判斷函數(shù)的零點位于哪個區(qū)間，可以根據(jù)零點存在定理，即如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上存在一個零點，則f（a）?f（b）＜0，如果方程在某區(qū)間上有且只有一個根，可根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進行解答，但要注意該定理只適用于開區(qū)間的情況，如果已知條件是閉區(qū)間或是半開半閉區(qū)間，我們要分類討論．9．0或2或3或4【分析】作出圖形，通過數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】設，如圖所示（直線僅畫出一種情形）：則當a>3或a=0時，有2個交點；當a=3時，有3個交點；當0<a<3時，有4個交點；當a<0時，沒有交點.故答案為：0或2或3或4.10．1【分析】令解方程，即可得解；【詳解】解：因為，令，即，解得故函數(shù)有1個零點；故答案為：111．【分析】根據(jù)代數(shù)式和之間的大小關(guān)系，結(jié)合題中所給的定義，用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由可得，由可得，所以根據(jù)題意得，即，作出函數(shù)的圖象如圖，當時，開口向下，對稱軸為，所以當時，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的圖象和直線有三個不同的交點．可得的取值范圍是，故答案為：12．(1)a＝2(2)－≤m＜0(3)①m＝±1；②存在；－1＜m＜1【分析】（1）由(x＋a)2－2(x＋a)＝(－x)2＋2x恒成立可求得的值；（2）函數(shù)f(x)具有“P(0)性質(zhì)”，由函數(shù)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)對稱性，可得f(x)＝在區(qū)間［－2，0)上恰有兩個實根，由此可求得范圍；（3）①根據(jù)“性質(zhì)P(2)”，由恒等式知識求解；②是偶函數(shù)，作出函數(shù)圖象，利用圖象平移可得不等關(guān)系，從而得參數(shù)范圍．(1)因為f(x)＝x2－2x具有“P(a)性質(zhì)”，所以(x＋a)2－2(x＋a)＝(－x)2＋2x恒成立，整理得，(2a－4)x＋a2－2a＝0，因為等式恒成立，所以，解得a＝2；(2)因為函數(shù)y＝f(x)具有“P(0)性質(zhì)”，所以f(x)＝f(－x)恒成立，∴y＝f(x)是偶函數(shù)．①當m≥0時，函數(shù)f(x)在(－∞，0］上單調(diào)遞減，在［0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以方程f(x)＝在區(qū)間［－2，2］上至多有兩個實數(shù)根，不符合題意；②當m＜0時，函數(shù)f(x)在(－∞，m］上單調(diào)遞減，在［m，0］上單調(diào)遞增，又方程f(x)＝在區(qū)間［－2，2］上恰有四個實根，所以f(x)＝在區(qū)間［－2，0)上恰有兩個實根，所以，所以－≤m＜0；綜上，實數(shù)m的取值范圍為－≤m＜0；(3)①因為函數(shù)f(x)具有“性質(zhì)P(2)”，所以f(x＋2)＝f(－x)恒成立，即|x＋2－m2|－m2=|－x－m2|－m2，|x＋2－m2|=|－x－m2|，兩邊平方后整理得：(4m2－4)x＋4m2－4＝0，(4m2－4)(x＋1)＝0，所以4m2－4＝0，即m＝±1；②具有性質(zhì)，則是偶函數(shù)，若，，顯然滿足題意，若，，其圖象如圖所示，把其圖象向左平移2個單位，得的圖象，要使得時，恒成立，則點必須移到點左側(cè)，所以，．綜上，的范圍是．13．(1).(2)答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）將代入解析式后解不等式即可.（2）分三種情況分別進行討論求函數(shù)零點.(1)時，，即的解集為(2)當時，，，的零點為；或，，的零點為；當，即時，無零點；當，即或時，的零點為和．14．(1)，零點為；(2)在上是單調(diào)遞減，證明見解析．(3)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．(4)函數(shù)圖象見解析；【分析】（1）依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再由，即可求出、，從而求出函數(shù)解析式，再令，求出，即可得到函數(shù)的零點．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)給出結(jié)論即可（4）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性作出草圖即可．(1)解：是定義在上的奇函數(shù)，，，又，解得，．令，即，解得，所以函數(shù)的零點為；(2)解：在上是單調(diào)遞減．證明：設，則，，，，，，即，在上單調(diào)遞減．(3)解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．證明：設，則，，，，，，即，在上單調(diào)遞增．(4)解：因為，函數(shù)圖象如下所示：15．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用可證得結(jié)論；（2）令，由可知在