PAGEPAGE17§2.1波函數的統(tǒng)計解釋

一．波動－粒子二重性矛盾的分析

物質粒子既然是波，為什么長期把它看成經典粒子，沒犯錯誤？

實物粒子波長很短，一般宏觀條件下，波動性不會表現出來。到了原子世界（原子大小約1A）,物質波的波長與原子尺寸可比，物質微粒的波動性就明顯的表現出來。

傳統(tǒng)對波粒二象性的理解：

（1）物質波包物質波包會擴散，電子衍射，波包說夸大了波動性一面。

（2）大量電子分布于空間形成的疏密波。電子雙縫衍射表明，單個粒子也有波動性。疏密波說夸大了粒子性一面。

對波粒二象性的辨正認識：微觀粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波動兩重性矛盾的統(tǒng)一，這個波不再是經典概念下的波，粒子也不再是經典概念下的粒子。在經典概念下，粒子和波很難統(tǒng)一到一個客體上。二．波函數的統(tǒng)計解釋

1926年玻恩提出了幾率波的概念:在數學上，用一函數表示描寫粒子的波，這個函數叫波函數。波函數在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。既描寫粒子的波叫幾率波。

描寫粒子波動性的幾率波是一種統(tǒng)計結果，即許多電子同一實驗或一個電子在多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。

幾率波的概念將微觀粒子的波動性和粒子性統(tǒng)一起來。微觀客體的粒子性反映微觀客體具有質量，電荷等屬性。而微觀客體的波動性，也只反映了波動性最本質的東西：波的疊加性（相干性）。

描述經典粒子：坐標、動量，其他力學量隨之確定；

描述微觀粒子：波函數，各力學的可能值以一定幾率出現。設波函數描寫粒子的狀態(tài)，波的強度，則在時刻t、在坐標x到x+dx、y到y(tǒng)+dy、z到z+dz的無窮小區(qū)域內找到粒子的幾率表示為，應正比于體積和強度

歸一化條件：在整個空間找到粒子的幾率為1。

歸一化常數可由歸一化條件確定

重新定義波函數，

叫歸一化的波函數。

在時刻t、在坐標(x,y,z)點附近單位體積內找到粒子的幾率稱為幾率密度，用表示，則

歸一化的波函數還有一不確定的相因子；

只有有限時才能歸一化為1。

經典波和微觀粒子幾率波的區(qū)別：

（1）經典波描述某物理量在空間分布的周期變化，而幾率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布；

（2）經典波的波幅增大一倍，相應波動能量為原來四倍，就變成另一狀態(tài)了；而微觀粒子在空間出現的幾率只決定于波函數在空間各點的相對強度，將幾率波的波幅增大一倍并不影響粒子在空間各點出現的幾率，即將波函數乘上一個常數，所描述的粒子的狀態(tài)并不改變；

（3）對經典波，加一相因子，狀態(tài)會改變，而對幾率波，加一相因子不會引起狀態(tài)改變。

問題：設波函數為，求在（）范圍找到粒子的幾率。

問題：在球坐標系中，粒子波函數表示為，求（a）在球殼中找到粒子的幾率。(b)在方向的立體角中找到粒子的幾率。

§2.2態(tài)迭加原理

波函數的統(tǒng)計解釋是波粒二象性的一個表現。微觀粒子的波粒二象性還可以通過量子力學的一個基本原理：態(tài)迭加原理表現。經典的波是遵從迭加原理的，兩個可能的波動過程與的線性迭加也是一個可能的波動過程。波的干涉、衍射現象可用波的迭加原理解釋。

量子力學的態(tài)迭加原理：如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加：（是復數）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。

電子雙縫衍射：設表示電子穿過上面窄縫到達屏的狀態(tài)，設表示電子穿過下面窄縫到達屏的狀態(tài)。表示電子穿過兩個窄縫到達屏的狀態(tài)，則有，電子在屏上某點出現的幾率可表示為

正是干涉項的存在，才有了衍射條紋。

經典的態(tài)具有正交性，而量子態(tài)具有相干性。薛定諤貓佯謬。

推廣到更一般情況：當是體系的可能狀態(tài)，他們的線性迭加：

（是復數）

也是這個體系的一個可能狀態(tài)。經典力學質點運動：初始狀態(tài)（位置、速度）任意時刻質點的狀態(tài)

量子力學波函數：初始狀態(tài)波函數任意時刻波函數的狀態(tài)

薛定諤在1926年建立了薛定諤方程

對波函數所滿足的方程的要求：

(1)線性方程，迭加原理的要求；

(2)方程系數不含狀態(tài)參量（動量、能量），各種可能的狀態(tài)都要滿足方程。

建立過程：自由粒子波函數所滿足的方程推廣到一般。

自由粒子的波函數為平面波：

對時間求偏微商：

對坐標求二次偏微商：

同理得：，，

將以上三式相加：，

利用自由粒子的能量和動量的關系，我們可得到自由粒子波函數所滿足的微分方程：

上式中劈形算符：，

如存在勢能，能量和動量的關系是：，

波函數應滿足的微分方程是;

這個方程稱為薛定諤方程。

由建立過程可以看出，只需對能量動量關系進行如下代換：

，

就可得到薛定諤方程。注意：薛定諤方程是建立起來的，而不是推導出來的，它是量子力學中的一個基本假設，地位同牛頓力學中的牛頓方程。它的正確性由方程得出的結論與實驗比較來驗證。多粒子體系的薛定諤方程，設體系有N個粒子，分別表示這N個粒子的坐標，體系的狀態(tài)波函數為：，體系的勢能為，則體系的能量可寫成

，

上式兩邊乘以波函數，并作代換：，

其中：，

就得到多粒子體系的薛定諤方程：。

§2.4粒子流密度和粒子數守恒定律一．連續(xù)性方程

設描寫粒子的狀態(tài)波函數為：，則幾率密度為

幾率密度隨時間的變化率是

由薛定諤方程和其共軛復數方程得

，，

將上兩式代入得

則：，連續(xù)性方程。

上式兩邊對空間任意一體積V積分

，

利用高斯定理得：

，

應解釋為幾率流密度矢量。單位時間內體積V中增加的幾率，等于從體積V外部穿過V邊界面S而流進V內的幾率。如果波函數在無窮遠處為零，將積分區(qū)域V擴展到整個空間，則

，

即在整個空間內找到粒子的幾率與時間無關，這反映了粒子數守恒。如波函數是歸一的，則它將保持歸一性，而不隨時間改變。

質量密度：，質量流密度：

則：，量子力學中的質量守恒定律。

同理，定義電荷密度：，電流密度：，可得量子力學中的電荷守恒定律。

二．波函數的標準條件

有限性、連續(xù)性、單值性§2.5定態(tài)薛定諤方程一．定態(tài)薛定諤方程

當勢能與時間無關時，我們可用分離變量法將方程簡化

，

帶入：，并把方程兩邊用去除

，兩邊都等于常數E

,

可解出：，則，定態(tài)波函數。

叫定態(tài)薛定諤方程。

表示能量，為哈密頓函數。

二．定態(tài)下的一些特點

定態(tài)：能量具有確定值；定態(tài)波函數所表示的狀態(tài)。

在定態(tài)中，幾率密度和幾率流密度都與時間無關。§2.6一維定態(tài)問題一．一維定態(tài)波函數的一般性質

對一維定態(tài)問題，薛定諤方程為

定理一：設是方程的一個解，對應能量為E,則也是方程的一個解，對應能量也為E。

證明：，對方程兩邊取復共軛，利用

滿足相同的方程，對應的能量都是E。

定理二：設具有空間反射不變性，即，如為方程的一個解，對應能量為E；則也為方程的一個解，對應能量也是E。

定理三：當時，如無簡并，方程的解有確定的宇稱。即偶宇稱：，或奇宇稱：。

證明：因為和都是能量E的解，二者應表示同樣的狀態(tài)。因此應只差一常數。，則

所以，，，。

二．一維無限深勢阱

，

，

，

，

令，

方程的解為：，

利用邊界條件：得：，

即：，，（時，，無物理意義）

,對應的波函數為：。

利用歸一化條件：,得：，

歸一化后的波函數為：。

束縛態(tài)：無窮遠處為零的波函數所描述的狀態(tài)。

基態(tài)：體系能量最低的態(tài)。

三．一維線性諧振子

一維線性諧振子的勢能為，

體系的薛定諤方程為，

進行如下變量代換：，，

薛定諤方程變?yōu)椋?，變系數二級常微分方程?/p>

，方程變?yōu)?，解為?/p>

時，有限，將寫成如下形式：，

帶入原方程

將H按展成冪級數，時，有限,要求冪級數只有有限項。級數只有有限項的條件是：，

線性諧振子的能級為：，線性諧振子的能量為分離值，相鄰能級的間距為。

零點能：，。

厄密多項式：

遞推公式:(1)

（2）

（3）

（4）

對應的波函數為：，

歸一化常數：

四．勢壘貫穿

；

薛定諤方程為，

，

(a)時

令，

方程變?yōu)椋海?/p>

，

在區(qū)域，波函數：

在區(qū)域，波函數：

在區(qū)域，波函數：

對投射波，不應有向左傳播的波，即：。

利用波函數及微商在和的連續(xù)條件，我們有

:

:

:

,

解方程組：

利用幾率流密度公式：

得出入射波、透射波、反射波的幾率流密度

入射波幾率流密度：

透射波幾率流密度：

反射波幾率流密度：

投射系數：

反射系數：

(b)時

令，方程變?yōu)椋海?/p>

方程的解形式為：

利用邊界條件得：

其中雙曲正弦函數，雙曲余弦函數

投射系數：

隧道效應：粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象。

按經典力學：，如，則動能為負。是無意義的。但在微觀世界，由于粒子的波粒二象性，動能和勢能是無法同時確定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效應是微觀粒子所特有的量子效應。第二章

小結一．波函數的統(tǒng)計解釋.

(量子力學―基本假設)為幾率波。幾率密度滿足連續(xù)性，有限性，單值性。二．態(tài)疊加原理：

態(tài)疊加原理是微觀例子具有波動性的體現。經典粒子的態(tài)是具有正交性。三．薛定諤方程

(量子力學――基本假設)（1）.薛定諤方程是基本假定，是建立的不是推導的（2）.薛定諤方程是線性方程四．定態(tài)薛定諤方程定態(tài)：能量有確定的值定態(tài)波函數

定態(tài)薛定諤方程

定態(tài)波函數實際是能量本征函數定態(tài)薛定諤方程存在定態(tài)解五．一維定態(tài)問題

（1）.一維無限深勢井

本征值

本征函數

（2）.一維線性諧振子

本征值

本征函數

六．連續(xù)性方程

幾率密度

幾率流密度

第二章

例題一．求解一位定態(tài)薛定諤方程

1．試求在不對稱勢井中的粒子能級和波函數[解]薛定諤方程:

當

,

故有

利用波函數在

處的連續(xù)條件由

處連續(xù)條件:

由

處連續(xù)條件:

給定一個n值,可解一個,

為分離能級.2．

粒子在一維勢井中的運動

求粒子的束縛定態(tài)能級與相應的歸一化定態(tài)波函數[解]體系的定態(tài)薛定諤方程為當時對束縛態(tài)

解為

在

處連續(xù)性要求將

代入得

又

相應歸一化波函數為:

歸一化波函數為:3

分子間的范得瓦耳斯力所產生的勢能可近似地表示為

求束縛態(tài)的能級所滿足的方程[解]束縛態(tài)下粒