實驗九用單擺測量重力加速度考情調研命題特征本實驗屬于新高考中的冷門力學實驗，考查頻度不是太高，考查難度不大。在2023年新課標卷和重慶卷考查了本實驗1.考讀算：讀長度、算加速度以及作圖求解。2.考數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)處理和誤差分析的方法。3.考變化：計時方式、實驗原理創(chuàng)新用單擺測定重力加速度的實驗裝置如圖1所示?！緦嶒炘怼浚?）測出懸點O到小球球心的距離（擺長）l及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝4π2n2lt2（用l【實驗步驟】（2）用米尺測出擺長l，將擺球從平衡位置拉開一個很小角度（不超過5°），然后放開擺球，使擺球在豎直平面內擺動，用秒表測出全振動50次的時間，計算出平均完成一次全振動所用的時間，這個時間就是單擺的振動周期，改變擺長，重復做幾次實驗。【注意事項】（3）組裝單擺時，應在下列器材中選用AD（填選項前的字母）。A.長度為1m左右的細線B.長度為30cm左右的細線C.直徑為1.8cm的塑料球D.直徑為1.8cm的鐵球【數(shù)據(jù)處理與誤差分析】（4）下表是某同學記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。組次123擺長l/cm80.0090.00100.0050次全振動時間t/s90.095.5100.5振動周期T/s1.801.91重力加速度g/（m·s－2）9.749.73請計算出第3組實驗數(shù)據(jù)中的T＝2.01s，g＝9.76m/s2。（結果保留3位有效數(shù)字）（5）用多組實驗數(shù)據(jù)作出T2－l圖像，也可以求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2－l圖線的示意圖如圖2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當?shù)刂亓铀俣鹊闹?。則相對于圖線b，下列分析正確的是B（選填選項前的字母）。A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長lB.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次C.圖線c對應的g值小于圖線b對應的g值解析：（1）周期T＝tn，結合T＝2πl(wèi)g，推出g＝（3）單擺模型需要滿足的條件是，擺線的長度遠大于小球直徑，小球應選擇密度大，體積小的，這樣可以降低空氣阻力的影響，故選A、D。（4）周期T＝tn＝100.5s50＝2.01s，由T＝2πl(wèi)g，（5）由T＝2πl(wèi)g，可得T2＝4π2gl，可知T2－l是過原點的直線，又b為正確的圖像，a與b相比，周期相同時，擺長更短，說明a對應測量的擺長偏小，A錯誤；c與b相比，擺長相同時，周期偏小，可能是多記錄了振動次數(shù)，B正確；圖線的斜率k＝4π2g，斜率越小1.數(shù)據(jù)處理與分析（1）數(shù)據(jù)處理公式法：擺長不變，重復測量幾次，T取平均值，根據(jù)公式g＝4π圖像法：測出一系列擺長l及對應的周期T，畫出T2－l圖像，T2＝kl，斜率為k，g＝4π（2）誤差分析產生原因減小方法偶然誤差測量時間（單擺周期）及擺長時產生誤差（1）多次測量再求平均值（2）計時從單擺經過平衡位置時開始系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身（1）擺球要選體積小，密度大的（2）最大擺角要小于5°2.注意事項（1）選用1m左右的細線。（2）懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證頂點固定。（3）小球在同一豎直面內擺動，且擺角小于5°。（4）選擇在擺球擺到平衡位置處開始計時，并數(shù)準全振動的次數(shù)。（5）小球自然下垂時，用毫米刻度尺量出懸線長l'，用游標卡尺測量小球的直徑，然后算出擺球的半徑r，則擺長l＝l'＋r。1.（2024·浙江臺州校聯(lián)考模擬預測）某同學做“用單擺測量重力加速度”的實驗裝置如圖所示。（1）下列實驗操作正確的是B（填正確選項前的字母）。A.小球運動到最高點時開始計時B.小球的擺角控制在5°以內C.用天平測出小球的質量D.測出單擺擺動5個周期的總時間t，求得單擺的周期T＝15（2）實驗器材中沒有小鐵球，于是他用小鐵塊來代替小鐵球進行實驗。由于鐵塊形狀不規(guī)則，無法測出擺長，他設計了如下的實驗方法：先測出使用某一長度擺線時單擺的周期T1，然后將單擺的擺線縮短Δl，再測出對應的周期T2。請寫出重力加速度的表達式4π2解析：（1）應小球運動到最低點時開始計時，故A錯誤；小球的擺角控制在5°以內，故B正確；由單擺的周期公式T＝2πl(wèi)g，可得g＝4π2lT2可知，測量重力加速度與小球質量無關，則無需測量小球質量，故C錯誤；測周期時，為了減小誤差，一般測量30～50次全振動的時間（2）根據(jù)題意，設單擺的周期為T1時的擺長為l，則單擺的周期為T2時的擺長為l－Δl，由單擺的周期公式T＝2πl(wèi)g可得T1＝2πl(wèi)g，T2＝2πl(wèi)－Δlg2.（2023·重慶高考11題）某實驗小組用單擺測量重力加速度。所用實驗器材有擺球、長度可調的輕質擺線、刻度尺、50分度的游標卡尺、攝像裝置等。（1）用游標卡尺測量擺球直徑d。當測量爪并攏時，游標尺和主尺的零刻度線對齊。放置擺球后游標卡尺示數(shù)如圖甲所示，則擺球的直徑d為19.20mm。（2）用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當擺線長度l＝990.1mm時，記錄并分析單擺的振動視頻，得到單擺的振動周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g為9.86m/s2（保留3位有效數(shù)字）。（3）改變擺線長度l，記錄并分析單擺的振動視頻，得到相應的振動周期。他們發(fā)現(xiàn)，分別用l和l＋d2作為擺長，這兩種計算方法得到的重力加速度數(shù)值的差異大小Δg隨擺線長度l的變化曲線如圖所示。由圖可知，該實驗中，隨著擺線長度l的增加，Δg的變化特點是，原因是答案：（3）見解析解析：（1）用游標卡尺測量擺球直徑d＝19mm＋0.02mm×10＝19.20mm。（2）單擺的擺長為L＝990.1mm＋12×19.20mm＝999.7mm，根據(jù)T＝2πLg，可得g＝4π2LT2（3）由圖可知，隨著擺線長度l的增加，Δg逐漸減小，原因是隨著擺線長度l的增加，則l＋d2越接近于l，此時計算得到的g【典例】（2024·福建寧德模擬預測）某智能手機中的“磁傳感器”功能可實時記錄手機附近磁場的變化，磁極越靠近手機，磁感應強度越大。寧德某中學的小寧在家里用手機、磁化的小球、支架、塑料夾子等實驗器材組裝成如圖甲所示的裝置來測量重力加速度，實驗步驟如下；①把智能手機正面朝上放在懸點的正下方，接著往側邊拉開小球，并用夾子夾住。②打開夾子釋放小球，小球運動，取下夾子。③運行手機“磁傳感器”功能，手機記錄磁感應強度的變化。④改變擺線長和夾子的位置，測量出各次實驗的擺線長L及相應的周期T。（1）利用智能手機測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期T的測量值為。（2）實驗中用游標卡尺測量小球直徑如圖乙所示，則小球直徑為cm。（3）得到多組擺線長L及相應的周期T后，作出了T2－L圖像，如圖丙所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得當?shù)刂亓铀俣萭＝m/s2。（結果保留3位有效數(shù)字）（4）查表可知寧德地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，則本實驗的相對誤差為％。（結果保留2位有效數(shù)字）三步穩(wěn)解題（1）分析實驗目的：利用手機、磁化的小球等實驗器材來測量當?shù)氐闹亓铀俣?。?）確定實驗原理：①利用手機中的磁傳感器記錄磁感應強度的變化規(guī)律，確定單擺的周期；②利用T2－L圖像求當?shù)氐闹亓铀俣取＃?）制定數(shù)據(jù)處理方案：根據(jù)單擺的周期公式T＝2πL＋rg得出T2＝4π2g（L＋r），結合T2－L圖像得斜率k＝4答案：（1）2tN－1（2）2.00（3）9.96（解析：（1）測得第1個到第N個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期T的測量值為T＝tN－1（2）擺球直徑為d＝20mm＋0×0.1mm＝20.0mm＝2.00cm。（3）根據(jù)單擺周期公式可得T＝2πL＋rg，整理可得T2＝4π2g（L＋r），其中r＝d2＝1.00cm，對比圖丙可得k＝4π2g＝4（4）查表可知寧德地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，則本實驗的相對誤差為η＝9.96－9.1.（2024·福建泉州模擬預測）一端固定在房頂?shù)囊桓毦€垂到三樓窗沿下，某同學為了測量窗的上沿到房頂?shù)母叨?，在線的下端系了一小球，發(fā)現(xiàn)當小球靜止時，細線保持豎直且恰好與窗子上沿接觸。打開窗子，讓小球在垂直于窗口的豎直平面內擺動，如圖所示。（1）為了測量小球擺動的周期，他打開手機里的計時器，在某次小球從窗外向內運動到達最低點時數(shù)1，同時開始計時，隨后每次小球從外向內運動到最低點依次數(shù)2、3、4、…，數(shù)到n時，手機上顯示的時間為t，則小球擺動的周期T為tn－（2）該同學用鋼卷尺測量出擺動中小球球心到窗上沿的距離，記作L。則用小球擺動的周期T、L和當?shù)氐闹亓铀俣萭，可將窗的上沿到房頂?shù)母叨缺硎緸間T2解析：（1）從小球第1次從外向內通過最低點開始計時，第n次從外向內通過最低點用時t，故周期為T＝tn（2）以窗上沿為懸點的單擺周期為T1＝2πLg，以房頂為懸點的單擺周期為T2＝2πL＋?g，其中有T＝12（T1＋T2），2.（2023·新課標卷23題）一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。（1）用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節(jié)螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖（a）所示，該示數(shù)為0.008（0.007～0.009均可）mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)為20.035（20.034～20.036均可）mm，則擺球的直徑為20.027（20.025～20.029均可）mm。（2）單擺實驗的裝置示意圖如圖（c）所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時，實際擺角大于5°（填“大于”或“小于”）。（3）某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50cm，則擺長為82.5cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60s，則此單擺周期為1.82s，該小組測得的重力加速度大小為9.83m/s2。（結果均保留3位有效數(shù)字，π2取9.870）解析：（1）題圖（a）中，螺旋測微器固定刻度讀數(shù)為0.0mm，可動刻度讀數(shù)為0.8×0.01mm＝0.008mm，所以讀數(shù)為0.008mm；題圖（b）中，螺旋測微器固定刻度讀數(shù)為20.0mm，可動刻度讀數(shù)為3.5×0.01mm＝0.035mm，所以讀數(shù)為20.035mm；擺球的直徑d＝20.035mm－0.008mm＝20.027mm。（2）角度盤固定在O點時，擺線在角度盤上所指角度為擺角大小，若將角度盤固定在O點上方，由幾何知識可知，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時，實際擺角大于5°。（3）單擺的擺長l等于擺線長L與擺球半徑之和，即l＝L＋d2≈82.5cm；從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點，單擺完成30次全振動，故單擺的周期T＝54.6030s＝1.82s；由單擺的周期公式T＝2πl(wèi)g可得g＝4π2跟蹤訓練·鞏固提升1.在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，（1）如圖給出了細線上端的兩種不同的懸掛方式，你認為選用哪種方式較好乙（選填“甲”或“乙”）；（2）小明同學用刻度尺測量得擺線長度當作單擺的擺長，并測出多組數(shù)據(jù)，作出T2－L圖像，那么小明作出的圖像應為圖中的A，再利用圖像法求出的重力加速度等于真實值（選填“大于”“等于”或“小于”）。解析：（1）乙的懸掛較好，夾子夾住細線，可以保證實驗過程中，單擺的擺長保持不變。（2）用刻度尺測量擺線長度當作單擺的擺長，則測量值比真實值少一個擺球的半徑，在圖像中會出現(xiàn)，“擺長”取零，單擺存在周期的情況。故小明做出的圖像應為圖中的A。根據(jù)單擺的周期公式，有T2＝4π2g（L＋R），雖然測量擺長少加了半徑，但是自變量L前面的系數(shù)，即斜率k＝42.（2024·山東泰安模擬）某同學用圖甲所示裝置測定當?shù)氐闹亓铀俣?。小球上安裝有擋光部件，光電門安裝在小球平衡位置正下方。（1）用螺旋測微器測量擋光部件的擋光寬度d，其讀數(shù)如圖乙所示，則d＝2.330mm；（2）讓單擺做簡諧運動并開啟傳感器的計數(shù)模式，當光電門第一次被遮擋時計數(shù)器計數(shù)為1并同時開始計時，以后光電門被遮擋一次計數(shù)增加1，若計數(shù)器計數(shù)為N時，單擺運動時間為t，則該單擺的周期T＝2tN（3）擺線長度大約80cm，該同學只有一把測量范圍為30cm的刻度尺，于是他在細線上標記一點A，使得懸點O到A點間的細線長度為30cm，如圖丙所示?，F(xiàn)保持A點以下的細線長度不變，通過改變OA間細線長度l以改變擺長，并測出單擺做簡諧運動對應的周期T。實驗中測得了多組數(shù)據(jù)并繪制了T2－l圖像，求得圖像斜率為k，由此可知當?shù)刂亓铀俣萭＝4π2解析：（1）螺旋測微器的讀數(shù)為固定刻度與可動刻度之和，所以圖中測得擋光部件的寬度為d＝2mm＋33.0×0.01mm＝2.330mm。（2）由題意可知t＝（N－1）T2，解得T＝2（3）設A點以下的細線長度為l0，根據(jù)單擺周期公式得T＝2πl(wèi)＋l0g，化簡得T2＝4π2gl＋4π2gl0，又T2－l圖像的斜率為k，3.在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，（1）某同學的操作步驟為：①取一根細線，下端系住直徑為d的金屬小球，上端固定在鐵架臺上；用米尺量得細線長度l；在擺線偏離豎直方向5°位置釋放小球；用秒表記錄小球完成n次全振動的總時間t，得到周期T＝tn②用公式g＝4π按上述方法得出的重力加速度值與實際值相比偏小（選填“偏大”“相同”或“偏小”）。（2）已知單擺在任意擺角θ時的周期公式可近似為T'＝T01+asin2θ2，式中T0為擺角趨近于0°時的周期，a為常數(shù)。為了用圖像法驗證該關系式，需要測量的物理量有T'（或t、n）、（3）若某同學在實驗中得到了如圖所示的圖線，則圖線中的橫軸表示T'（寫式子中的字母符號）。解析：（1）由于擺長應為細線長度l加上小球半徑，所以用公式g＝4π2l（2）由T'＝T01+asin2θ2變形得sin2θ2＝1aT0T'－1a，通過測量不同擺角θ下的對應的周期T'（或t1n），才能用圖像法驗證該關系式，（3）根據(jù)T'＝T01+asin2θ2，得sin2θ2＝T'aT0－1a，所以4.（2024·廣東東莞聯(lián)考模擬）某實驗小組的同學在實驗室做“用單擺測量重力加速度”的實驗。（1）下列最合理的裝置是D（填選項前的字母）。（2）為使重力加速度的測量結果更加準確，下列做法合理的有BC（填選項前的字母）。A.測量擺長時，應測量水平拉直后的擺線長B.在擺球運動過程中，必須保證懸點固定不動C.擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大D.測量周期時，應該從擺球運動到最高點時開始計時（3）某同學課后嘗試在家里做用單擺測量重力加速度的實驗。由于沒有合適的擺球，于是他找到了一塊雞蛋大小、外形不規(guī)則的大理石塊代替小球進行實驗。如圖甲所示，實驗過程中他先將石塊用細線系好，結點為M，將細線的上端固定于O點。然后利用刻度尺測出OM間細線的長度l作為擺長，利用手機的秒表功能測出石塊做簡諧運動的周期T。在測出幾組不同擺長l對應的周期T的數(shù)值后，他作出的T2－l圖像如圖乙所示。①該圖像的斜率為C。A.g B.1C.4π2g②由此得出重力加速度的測量值為9.86m/s2。（π取3.14，計算結果保留3位有效數(shù)字）解析：（1）根據(jù)單擺理想模型可知，為減小空氣阻力的影響，擺球應采用密度較大，體積較小的鐵球，為使單擺擺動時擺長不變化，擺線應用不易形變的細絲線，懸點應該用鐵夾來固定，故選D。（2）根據(jù)周期公式T＝2πLg，可得重力加速度為g＝4π2LT2。測量擺長時，應該測量豎直拉直后的擺線長，故A錯誤；在擺球運動過程中，必須保證懸點固定不動，故B正確；擺球運動過程中，擺線與豎直方向的夾角不能太大，如果擺角太大，將不能看作簡諧運動，單擺周期公式失效，故C正確；測量周期時，應該從擺球運動到最低點時開始計時，因為最低點位置擺球速度最大，相同的視覺距離誤差引起的時間誤差較?。?）①由圖甲可知，設M點到重心的距離為d，根據(jù)周期公式T＝2πl(wèi)＋dg，可得T2＝4π2g（l＋d），故該圖像的斜率為k＝4π2g，故選C。②由于k＝4π2g＝4.099.05.（2024·廣東惠州一模）將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h（未知）且開口向下的小筒中（單擺的下部分露于筒外），如圖甲所示。將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動的過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數(shù)關系圖像，那么就可以通過此圖像得出當?shù)氐闹亓铀俣萭和小筒的深度h，取π＝3.14?；卮鹣铝袉栴}：（1）現(xiàn)有可選擇的測量工具如下，本實驗不需要的測量工具是BC（填選項前的字母）。A.秒表 B.時鐘C.天平 D.毫米刻度尺（2）如果實驗中所得到的T2－L圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應該是a（選填“a”“b”或“c”）。（3）由圖像可知，當?shù)氐闹亓铀俣萭＝9.86m/s2（結果保留3位有效數(shù)字），小筒的深度h＝0.45m。解析：（1）本實驗需要測量時間求出周期，并要測量筒的下端口到擺球球心的距離L，則所需要的測量工具是秒表和毫米刻度尺，本題選擇不需要的測量工具，即為時鐘和天平。故選B、C。（2）由單擺的周期公式得T＝2π?＋Lg，得到T2＝4π2（?＋L）g，當L＝0時（3）根據(jù)表達式結合圖像a可知，圖像的斜率為k＝1.800.45＝4，4π2g＝k，聯(lián)立解得g＝π2≈9.86m/s2。根據(jù)表達式T2＝4π2（?＋L）g可知，當T2＝0時，h6.在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時，測得