專題03平面向量一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6二、填空題1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，滿足，，則．一、向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，二、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB三、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．四、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【平面向量常用結(jié)論】（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且（3）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．（4）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問(wèn)題．一、單選題1．（2024·廣東深圳·三模）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線2．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．64．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．5．（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（

）A． B．16 C． D．99．（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．3 D．-310．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．611．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．12．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．13．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·安徽·三模）已知向量，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為15．（2024·福建廈門(mén)·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．16．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開(kāi)口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開(kāi)口ABCDEF，它的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．C．若P為EF的中點(diǎn)，則在上的投影向量為D．的最大值為18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍三、填空題19．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實(shí)數(shù)=．20．（2024·上海·三模）已知向量、滿足，，，則．21．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知向量滿足，，則.22．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知單位向量的夾角為，，則.23．（2024·重慶·三模）已知單位正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，若，則