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重要內(nèi)容一、線性方程組有解的條件三、舉例第三節(jié)線性方程組的解二、線性方程組的求解環(huán)節(jié)

秩(A)=秩(A，b)

定理1

線性方程組AX=b有解

一、線性方程組有解的條件秩(A)=秩(A，b)

=n

定理2

n元線性方程組Am×nX=b有唯一解

秩(A)<秩(A，b)

無(wú)解秩(A)=秩(A，b)<n

無(wú)窮多特別：

n

個(gè)方程的

n元線性方程組An×nX=b

有唯一解本節(jié)運(yùn)用矩陣的秩討論線性方程組解的存在及解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。推論1

n元齊次線性方程組Am

nX=0

有非零解R(A)<n

推論2

當(dāng)m

<n時(shí)，齊次線性方程組Am

nX=0一定有非零解。定理2應(yīng)用于齊次線性方程組，容易得出：R(A)=n

只有零解特別：n

個(gè)方程的

n元齊次線性方程組AX=0有非零解只有零解運(yùn)用定理3容易得出矩陣秩的性質(zhì)(7)，即定理4

R(AB)≤min{R(A),R(B)}定理1可推廣到矩陣方程：定理3

矩陣方程AX=B有解的充要條件是R(A)=R(A,B).R(AB)≤

R(A)R(AB)≤

R(B)環(huán)節(jié)1對(duì)于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣(A,b)化成行階梯形，從中可同時(shí)看出R(A)和R(A,b).若R(A)<R(A,b)，則方程組無(wú)解.環(huán)節(jié)2若R(A)=R(A,b),則方程組有解。進(jìn)一

A

化成行最簡(jiǎn)形.二、線性方程組的求解環(huán)節(jié)注：對(duì)于齊次線性方程組，則只要把系數(shù)矩陣步把(A,b)化成行最簡(jiǎn)形.

令自由未知量分別等于c1,c2,···,cn–r

,由(A,b)的行最簡(jiǎn)形，即可寫(xiě)出含n–r個(gè)參數(shù)的通解。環(huán)節(jié)3若R(A)=R(A,b)=r＜n，把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知量可取作約束未知量，其它n–r個(gè)未知量取作自由未知量，并

例1求解齊次線性方程組三、舉例

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