試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一章數(shù)與式第02講整式與因式分解（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+2命題點(diǎn)14種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一代數(shù)式考點(diǎn)二整式的相關(guān)概念考點(diǎn)三整式的運(yùn)算考點(diǎn)四因式分解04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一整式及其相關(guān)計(jì)算題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式.題型02求代數(shù)式的值.題型03整式的加減題型04冪的混合運(yùn)算題型05整式的乘除題型06乘法公式的應(yīng)用題型07整式的化簡(jiǎn)求值題型08整式的混合運(yùn)算題型09判斷因式分解的正誤題型10因式分解題型11因式分解的應(yīng)用命題點(diǎn)二規(guī)律探索及新定義問(wèn)題題型01圖形類(lèi)規(guī)律探索題型02數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索題型03數(shù)式中的新定義問(wèn)題

01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求列代數(shù)式★能分析具體問(wèn)題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示代數(shù)式求值★★將具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算整式的加減★★1.了解整數(shù)指數(shù)罪的意義和基本性質(zhì)；2.理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則；3.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減乘除運(yùn)算；4.理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理；5.靈活運(yùn)用多種方法化簡(jiǎn)代數(shù)式.冪的運(yùn)算★★整式的乘除★★整式的混合運(yùn)算★★★因式分解★★★能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超過(guò)二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)為正整數(shù)).【考情分析】本專(zhuān)題包含整式的概念、整式的運(yùn)算及因式分解，是中考的必考內(nèi)容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運(yùn)用是整式運(yùn)算中的重要內(nèi)容，同時(shí)在整式的化簡(jiǎn)求值及因式分解中也都有所體現(xiàn).整式求值計(jì)算中經(jīng)常用到整體代入法，在應(yīng)用的過(guò)程中注意觀察已知與所求間的關(guān)系，因式分解一般以填空題的形式出現(xiàn)，注意分解要徹底.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考考點(diǎn)一代數(shù)式1.列代數(shù)式定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，這就是列代數(shù)式.代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)要求：1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫(xiě)成“·”或省略不寫(xiě)；數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào).2）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時(shí)，通常省略不寫(xiě).3）除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運(yùn)算，則要將整個(gè)式子用括號(hào)括起來(lái)，再寫(xiě)單位.2.代數(shù)式的值定義：根據(jù)問(wèn)題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值的步驟：1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時(shí)，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運(yùn)算符號(hào)、原來(lái)的數(shù)字和運(yùn)算順序都不能改變，同時(shí)對(duì)原來(lái)省略的乘號(hào)要進(jìn)行還原；2）計(jì)算：按照代數(shù)式指定的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果，運(yùn)算時(shí)，要分清運(yùn)算種類(lèi)及運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.1．（2024·四川廣安·中考真題）下列對(duì)代數(shù)式?3x的意義表述正確的是（

）A．?3與x的和 B．?3與x的差 C．?3與x的積 D．?3與x的商【答案】C【分析】本題考查了代數(shù)式的意義，用語(yǔ)言表達(dá)代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的各種運(yùn)算及其順序．根據(jù)?3x中的運(yùn)算關(guān)系解答即可．【詳解】解：代數(shù)式?3x的意義可以是?3與x的積．故選C．2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a2?2a?5=0，則2【答案】11【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價(jià)形式是解題關(guān)鍵．由a2?2a?5=0，得【詳解】解：∵a∴a∴2a故答案為：11．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開(kāi)始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】7.5?10x【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【詳解】根據(jù)題意可得，他離健康跑終點(diǎn)的路程為7.5?10x．故答案為：7.5?10x．【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U=IR1+IR2+IR3．當(dāng)R

【答案】220【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)U=IR【詳解】解：∵U=IR當(dāng)R1=20.3，R2=31.9，U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=20.3+31.9+47.8故答案為：220．5．（2024·四川雅安·中考真題）如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡=．①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．【答案】?+an【分析】本題考查的是列代數(shù)式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)加上n個(gè)杯子的杯沿高na即可得到答案；【詳解】解：由題意可得：H=?+an，故答案為：?+an；考點(diǎn)二整式的相關(guān)概念1.單項(xiàng)式單項(xiàng)式的定義：由數(shù)字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項(xiàng)式.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).注意：圓周率π是常數(shù)，單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)，而不能當(dāng)成字母；單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).注意：?jiǎn)雾?xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān).例如：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是14.2.多項(xiàng)式多項(xiàng)式的定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).多項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).注意：1）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)；2）一個(gè)多項(xiàng)式是幾次、有幾項(xiàng)就叫幾次幾項(xiàng)式，如是二次三項(xiàng)式.升冪排列與降冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái),叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列；若按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列．3.整式定義：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.1．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a4【答案】a【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．【詳解】解：∵a，a2，a3，∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，∴第n個(gè)式子是an∴第100個(gè)式子是a100故答案為：a1002．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）單項(xiàng)式?2a2b【答案】3【分析】此題考查單項(xiàng)式有關(guān)概念，根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義來(lái)求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的定義，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．【詳解】單項(xiàng)式?2a2b故答案為：3．3．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【分析】本題主要考查了規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個(gè)數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，第2個(gè)有5=12+【詳解】第1個(gè)圖形有1個(gè)正方形，第2個(gè)圖形有5=1第3個(gè)圖形有14=1……第6個(gè)圖形有12故選：B.4．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記ai,j為數(shù)表中第i行第j列位置的數(shù)字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a【答案】452【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為k2時(shí)，若k為奇數(shù)，則k2在第k行，第1列，下一個(gè)數(shù)再下一行，上一個(gè)數(shù)在第2列；若k為偶數(shù)，則k2【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為k2若k為奇數(shù)，則k2在第k若k為偶數(shù)，則k2在第1行，第k∵am,n而2025=452，在第∴2024在第45行，第2列，∴m=45，n=2，故答案為：45，2．5．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：?2，4，?8，16，?32，64，……0，7，?4，21，?26，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為．【答案】1024?【分析】通過(guò)觀察第一行數(shù)的規(guī)律為(?2)n，第二行數(shù)的規(guī)律為(?2)【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為(?2)n，∴第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為(?2)第二行數(shù)的規(guī)律為(?2)n∴第①行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(?2)2023，第②行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(?2)∴?2故答案為：1024；?2【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見(jiàn)的題型.QUOTEQUOTE考點(diǎn)三整式的運(yùn)算1.同類(lèi)項(xiàng)定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).判斷同類(lèi)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，缺一不可.2.合并同類(lèi)項(xiàng)定義：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).法則：同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變.（簡(jiǎn)稱(chēng)：一相加兩不變）3.去括號(hào)與添括號(hào)添（去）括號(hào)法則：括號(hào)外是“+”，添(去)括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)外是“-”，添(去)括號(hào)都變號(hào).【補(bǔ)充】去括號(hào)和添括號(hào)是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗(yàn)正誤.4.整式的加減運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng).【補(bǔ)充說(shuō)明】整式加減實(shí)際上就是：去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)；5.冪的運(yùn)算冪的運(yùn)算法則中底數(shù)a的規(guī)定：底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.1）同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（m，n都是整數(shù)）2）冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是整數(shù)）注意：冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“”，指數(shù)相乘是指“3×2”．3）積的乘方積的乘方等于把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為整數(shù)）4）同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a≠0，m，n都為整數(shù)）5）零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即（a≠0）.6.整式的乘除1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.實(shí)質(zhì)：乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即.實(shí)質(zhì)：利用乘法的分配律將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式.3）多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即.【易錯(cuò)易混】①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；

②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào).且結(jié)果仍是多項(xiàng)式，在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．4）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則：一般地,單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.5）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.實(shí)質(zhì)：把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.7.乘法公式1）平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即：特點(diǎn)：等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是一個(gè)二項(xiàng)式，這個(gè)二項(xiàng)式是左邊兩個(gè)二項(xiàng)式中相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差.2）平方差公式的推導(dǎo)①用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)平方差公式②通過(guò)面積法推導(dǎo)平方差公式：如圖1所示，左側(cè)涂色部分的面積為，右側(cè)涂色部分的面積為，所以可以得到.【補(bǔ)充】常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形3）完全平方公式完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.即.特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號(hào)同前方.完全平方式的常見(jiàn)變形（①-⑤基礎(chǔ)必須掌握）：①②③④⑤4）完全平方公式的推導(dǎo)①用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)完全平方公式：②通過(guò)面積法推導(dǎo)完全平方公式：①如圖甲所示是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，面積為，它的面積還可以看成是由兩個(gè)小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)方形的和，即，所以可以得到；②如圖乙所示，邊長(zhǎng)為a-b的小正方形的面積是，它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個(gè)小的長(zhǎng)方形面積，即，所以可以得到.8.整式的混合運(yùn)算定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運(yùn)算叫做整式的混合運(yùn)算.運(yùn)算順序:先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào).1．（2024·山東泰安·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．2x2y?3xC．x?y?x?y=x【答案】D【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：A、2x2yB、4xC、x?y?x?yD、x2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿(mǎn)足2a+2a+???+2aA．a(chǎn)+3=8b B．3a=8b C．a(chǎn)+3=b8 【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意得：8×2【詳解】解：由題意得：8×2∴23∴3+a=8b，故選：A．3．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy?4，結(jié)果是3xy+2y【答案】y【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意“一個(gè)多項(xiàng)式加上y2+3xy?4，結(jié)果是3xy+2y【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為3xy+2=3xy+2=y故答案為：y4．（2023·江蘇南京·中考真題）計(jì)算23×4【答案】1【分析】本題考查了冪的乘方運(yùn)算的逆用及積的乘方運(yùn)算的逆用，根據(jù)冪的乘方運(yùn)算的逆用及積的乘方運(yùn)算的逆用進(jìn)行運(yùn)算，即可求得．【詳解】解：2==故答案為：1165．（2024·甘肅·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2a+b2?2a+b2a?b÷2b【答案】2a+b，3【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去小括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：2a+b====2a+b，當(dāng)a=2，b=?1時(shí)，原式=2×2+?1考點(diǎn)四因式分解1.因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.【補(bǔ)充說(shuō)明】1）因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可.2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．2.公因式定義：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，我們把這個(gè)相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.3.提公因式法分解因式定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外，將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：.實(shí)質(zhì)：乘法分配律的逆用.關(guān)鍵：準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.4.公因式法分解因式定義：運(yùn)用平方差公式、完全平方公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步驟：

1．（2023·四川攀枝花·中考真題）以下因式分解正確的是（

）A．a(chǎn)x2?a=aC．x2+2x?3=xx+2【答案】B【分析】利用平方差公式，x2?1還可分解因式；利用十字相乘法，【詳解】解：axm3x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數(shù)，則(2k+3)2?4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3?2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為a23．（2024·山東淄博·中考真題）若多項(xiàng)式4x2?mxy+9y2【答案】±12【分析】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵多項(xiàng)式4x∴4x∴m=±2×2×3故答案為：±12．4．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）因式分解3ax2【答案】3a【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式=3ax故答案為：3ax?y【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．20．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m?n=1，則代數(shù)式m2n?mn【答案】2【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵mn=2，m?n=1，∴m2故答案為：2．5．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則【答案】45/【分析】由a2+|c?10|+b?8=12a?36，可得a?62【詳解】解：∵a2∴a2∴a?62∴a?6=0，c?10=0，b?8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關(guān)鍵．4題型精研·考命題點(diǎn)一整式及其相關(guān)計(jì)算題型01實(shí)際問(wèn)題中的代數(shù)式.代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)要求：1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫(xiě)成“·”或省略不寫(xiě)；數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào).2）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時(shí)，通常省略不寫(xiě).3）除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運(yùn)算，則要將整個(gè)式子用括號(hào)括起來(lái)，再寫(xiě)單位.1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿(mǎn)校園”的讀書(shū)活動(dòng)．現(xiàn)需購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種讀本x本，則購(gòu)買(mǎi)乙種讀本的費(fèi)用為（

）A．8x元 B．10(100?x)元 C．8(100?x)元 D．(100?8x)元【答案】C【分析】根據(jù)題意列求得購(gòu)買(mǎi)乙種讀本100?x本，根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量即可求解．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種讀本x本，則購(gòu)買(mǎi)乙種讀本100?x本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，則則購(gòu)買(mǎi)乙種讀本的費(fèi)用為8(100?x)元故選C【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】π【詳解】根據(jù)圓柱的體積=圓柱的底面積×圓柱的高，可得V=π故答案為：πa【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式和整式的乘法運(yùn)算，牢記整式乘法的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤(pán)旁有甲、乙兩個(gè)圍棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10個(gè)，乙盒中都是白子，共8個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a個(gè)黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a＝；（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共m(m>2)個(gè)，乙盒中都是白子，共2m個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a(1<a<m)個(gè)黑子放入乙盒中，此時(shí)乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多個(gè)；接下來(lái)，嘉嘉又從乙盒拿回a個(gè)棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)個(gè)白子，此時(shí)乙盒中有y個(gè)黑子，則yx的值為【答案】4m+2a1【分析】①用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙變化前后的數(shù)量，最后按兩倍關(guān)系列方程，求解，即可②用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙每次變化后的數(shù)量，按要求計(jì)算寫(xiě)出代數(shù)式，化簡(jiǎn)，即可③用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙每次變化后的數(shù)量，算出移動(dòng)的a個(gè)棋子中有x個(gè)白子，(a?x)個(gè)黑子，再根據(jù)要求算出y，即可【詳解】答題空1：原甲：10原乙：8現(xiàn)甲：10-a現(xiàn)乙：8+a依題意：8+a=2×(10?a)解得：a=4故答案為：4答題空2：原甲：m原乙：2m現(xiàn)甲1：m-a現(xiàn)乙1：2m+a第一次變化后，乙比甲多：2m+a?(m?a)=2m+a?m+a=m+2a故答案為：m+2a答題空3：原甲：m黑原乙：2m白現(xiàn)甲1：m黑-a黑現(xiàn)乙1：2m白+a黑現(xiàn)甲2：m黑-a黑+a混合現(xiàn)乙2：2m白+a黑-a混合第二次變化，變化的a個(gè)棋子中有x個(gè)白子，(a?x)個(gè)黑子則：y=a?(a?x)=a?a+x=xy故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的應(yīng)用；注意用表格梳理每次變化情況是簡(jiǎn)單有效的方法4．（2023·山東臨沂·中考真題）大學(xué)生小敏參加暑期實(shí)習(xí)活動(dòng)，與公司約定一個(gè)月（30天）的報(bào)酬是M型平板電腦一臺(tái)和1500元現(xiàn)金，當(dāng)她工作滿(mǎn)20天后因故結(jié)束實(shí)習(xí)，結(jié)算工資時(shí)公司給了她一臺(tái)該型平板電腦和300元現(xiàn)金．(1)這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值多少元？(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報(bào)酬（用含m的代數(shù)式表示）？【答案】(1)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為2100元(2)她應(yīng)獲得120m元的報(bào)酬【分析】（1）設(shè)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為x元，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，列出代數(shù)式即可．【詳解】（1）解：設(shè)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為x元，由題意，得：x+150030解得：x=2100；∴這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為2100元；（2）解：由題意，得：m?2100+1500答：她應(yīng)獲得120m元的報(bào)酬．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．題型02求代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值的步驟：1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時(shí)，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運(yùn)算符號(hào)、原來(lái)的數(shù)字和運(yùn)算順序都不能改變，同時(shí)對(duì)原來(lái)省略的乘號(hào)要進(jìn)行還原；2）計(jì)算：按照代數(shù)式指定的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果，運(yùn)算時(shí)，要分清運(yùn)算種類(lèi)及運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.1．（2024·四川·中考真題）已知x2+2x=3，那么2x【答案】1【分析】把所求代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后整體代入求解即可．【詳解】解：∵x2∴2=2(=2×3?5=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是利用整體思想把x22．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn=2，m?n=1，則代數(shù)式m2n?mn【答案】2【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵mn=2，m?n=1，∴m2故答案為：2．3．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知a2?2b+1=0，則4ba【答案】2【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想的運(yùn)用．根據(jù)對(duì)已知條件進(jìn)行變形得到a2【詳解】解：∵a∴∴4b故答案為：24．（2023·湖北隨州·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2?3x=?1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2【答案】1【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根時(shí)，【詳解】解：由2x2?3x=?1∵關(guān)于x的一元二次方程2x2?3x=?1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x∴x1+x∴x1故答案為：1．題型03整式的加減1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算：2a(a?1)?2a2=A．a(chǎn) B．?a C．2a D．?2a【答案】D【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：2a(a?1)?2=2=?2a故選：D．2．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項(xiàng)式?x2my3與單項(xiàng)式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查同類(lèi)項(xiàng)和確定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的性質(zhì)求出m,n的值，再確定點(diǎn)m,n的位置即可【詳解】解：∵單項(xiàng)式?x2my∴單項(xiàng)式?x2my∴2m=4,2?n=3，解得，m=2,n=?1，∴點(diǎn)m,n在第四象限，故選：D3．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數(shù)滿(mǎn)足一定的規(guī)律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的數(shù)字為a+1 B．左下角的數(shù)字為a+7C．右下角的數(shù)字為a+8 D．方框中4個(gè)位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)日歷中的數(shù)字規(guī)律：同一行中后面的數(shù)字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三個(gè)數(shù)，表達(dá)規(guī)律即可．【詳解】解：日歷中的數(shù)字規(guī)律：同一行中后面的數(shù)字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意選擇其中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a，則有：左上角的數(shù)字為a?1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；左下角的數(shù)字為a+6，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；右下角的數(shù)字為a+7，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；把方框中4個(gè)位置的數(shù)相加，即：a?1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運(yùn)算的法則．4．（2023·河北·中考真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示(a>1)．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為S1(1)請(qǐng)用含a的式子分別表示S1,S2；當(dāng)(2)比較S1與S【答案】(1)S1=a2+3a+2，(2)S1【分析】（1）根據(jù)題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到S1,S2，S1+S2（2）利用（1）的結(jié)果，使用作差比較法比較即可．【詳解】（1）解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：S甲∴S1=S∴S1∴當(dāng)a=2時(shí)，S1（2）S1∵S1=∴S∵a>1，∴S1∴S1【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加減，完全平方公式等知識(shí)，會(huì)根據(jù)題意列式和掌握做差比較法是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE題型04冪的混合運(yùn)算計(jì)算時(shí)可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底數(shù)冪的運(yùn)算法則只適用于同底數(shù)冪的乘除，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)要看能否化成同底數(shù)，若不能則不能用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（

）A．m3?m3=m6 B．【答案】A【分析】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、m3B、m3C、(mD、m6故選：A．2．（2024·山西·中考真題）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為6m4的是（

A．3m+3m3 B．?3m22 【答案】C【分析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則逐項(xiàng)排除即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、3m與3mB、?3mC、12mD、?2m故選：C．3．（2024·上海·中考真題）計(jì)算：4x2【答案】64【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計(jì)算即可．【詳解】解：4x故答案為：64x4．（2024·天津·中考真題）計(jì)算x8÷x【答案】x【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：x8故答案為：x2QUOTE題型05整式的乘除整式的乘除法單項(xiàng)式×單項(xiàng)式例：系數(shù)相乘，字母相乘單項(xiàng)式×多項(xiàng)式例：利用乘法分配律，化為單項(xiàng)式×單項(xiàng)式多項(xiàng)式×多項(xiàng)式例：1.要按一定順序進(jìn)行,注意做到不重不漏,確定積中每項(xiàng)的符號(hào)時(shí),按“同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)”的法則確定.2.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,仍得多項(xiàng)式，有同類(lèi)項(xiàng)時(shí)要合并同類(lèi)項(xiàng).單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式例：運(yùn)算順序：首先將系數(shù)相除，然后將同底數(shù)冪相除，最后將被除式中單獨(dú)有的字母連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式，系數(shù)相除時(shí)要注意先確定商的符號(hào).多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式例：1.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式所得商的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致,在計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)；2.計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào),注意符號(hào)的變化.1．（2024·西藏·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．x?2x=x B．x(x+3)=C．?2x23【答案】C【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【詳解】解：A、x?2x=?x，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、x(x+3)=xC、?2xD、3x故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．2．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)2?aC．a(chǎn)a+1=a【答案】B【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，去括號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、a2B、?a?bC、aa+1D、a+b2故選B．3．（2023·山東青島·中考真題）計(jì)算：8x3【答案】2xy【分析】利用積的乘方及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式=8=2xy，故答案為：2xy．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2024·重慶·中考真題）計(jì)算：(1)a3?a(2)1+2【答案】(1)4a?2(2)x【分析】本題主要考查了整式的混合計(jì)算，分式的混合計(jì)算∶（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到答案；（2）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】（1）解：a=3a?=4a?2；（2）解：1+===x題型06乘法公式的應(yīng)用1．（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來(lái)解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①a+b2=a2+2ab+b③(a+b)(a?b)=a2?b2

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】觀察各個(gè)圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知2a2?a?3=0，則(2a+3)(2a?3)+A．6 B．?5 C．?3 D．4【答案】D【分析】2a2?a?3=0變形為2a2【詳解】解：由2a2?a?3=0∴(2a+3)(2a?3)+=4=8=4=4×3?8=4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，將(2a+3)(2a?3)+(2a?1)2變形為3．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）已知a?b=3，ab=10，則a2+【答案】29【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)a2【詳解】解：由題意知，a2故答案為：29．24．（2023·浙江·中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m>n且滿(mǎn)足am?bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【答案】255【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，解方程組得出m=2a+4b3n=4a?2b3，根據(jù)題意得出m+n=【詳解】解：（1）a=3,b=4，圖1陰影部分的面積是a2故答案為：25．（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，∴a2+b2∴m+n=10∵am?bn=2，an+bm=4．解得：m=∵a2∴m=2a+4b∴m+n=6a+2b∴2a+2聯(lián)立①②解得：a=30+91020∴2a+4b=30+3圖2陰影部分的面積是1mn===故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m?n>1，則稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52?32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m【答案】1557【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，當(dāng)m=3，n=1，則第1個(gè)一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為3當(dāng)m=4，n=2，則第2個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為4當(dāng)m=4，n=1，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為42當(dāng)m=5，n=3，則第4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為52當(dāng)m=6，n=4，則第5個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為6當(dāng)m=5，n=2，則第6個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為5當(dāng)m=5，n=1，則第7個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為5……m=6時(shí)有4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，同理m=7時(shí)有5個(gè)，m=8時(shí)有6個(gè)，列表如下，1234567891238415125242116635322720748454033248636055483928980777265564532109996918475645136111201171121059685725740觀察表格可知當(dāng)m=12時(shí)，n=10時(shí)，智慧數(shù)為44，m=13,n=11時(shí)，智慧數(shù)為48，m=14，n=12時(shí)，智慧數(shù)為52，m=15，n=13時(shí)，智慧數(shù)為56，第1至第10個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，第11至第20個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，第21個(gè)智慧優(yōu)數(shù)55，第22個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為56，第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為57故答案為：15，57．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型07整式的化簡(jiǎn)求值一般這類(lèi)題會(huì)利用整體代入法/間接代入法求值，[整體代入法]從題中條件中不易直接得到某個(gè)字母的具體值，可以將原式化為已知條件中字母間的關(guān)系，然后將某個(gè)式子的值作為一個(gè)整體代入計(jì)算.[間接代入法]將已知的代數(shù)式化簡(jiǎn)后，再將已知字母的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中計(jì)算求值.[賦值法]給未知數(shù)賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數(shù)式的形式，從而求出代數(shù)式的值.一般情況下，多是代入-1、0、1這三個(gè)值.1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n為實(shí)數(shù)，且m+42+n?5=0，則【答案】1【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得m、n值，進(jìn)而代值求解即可．【詳解】解：∵m+42∴m+4=0，n?5=0，解得m=?4，n=5，∴m+n2故答案為：1．2．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）當(dāng)a+b=3時(shí)，代數(shù)式2(a+2b)?(3a+5b)+5的值為．【答案】2【分析】先將原式去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)可得?a?b+5，再把前兩項(xiàng)提取?1，然后把a(bǔ)+b=3的值代入可得結(jié)果.【詳解】解：2(a+2b)?(3a+5b)+5=2a+4b?3a?5b+5=?a?b+5=?(a+b)+5當(dāng)a+b=3時(shí)，原式=?3+5=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要是考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能夠熟練運(yùn)用去括號(hào)法則，合并同類(lèi)項(xiàng)法則化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.3．（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x2+2024x?4=0的兩個(gè)解，則a2【答案】2028【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿(mǎn)足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得a2+2024a=4，【詳解】解：∵a和b是方程x2∴a2+2024a?4=0，∴a2∴a==4?=4+2024=2028，故答案為：2028．4．（2023·四川涼山·中考真題）已知x2?2x?1=0，則3x【答案】2023【分析】把x2?2x?1=0化為：x2【詳解】解：由x2?2x?1=0得：x23=3x=6=?4=?4=?4×1+2027=2023，故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，找到整體進(jìn)行降次是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川涼山·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：(2x+y)2?2x+y2x?y?2y【答案】2xy，1【分析】根據(jù)a±b2=a【詳解】解：原式=4=4=2xy．當(dāng)x=122023原式=2×=1．【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，完全平方公式、平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．6．（2024·北京·中考真題）已知a?b?1=0，求代數(shù)式3a?2b【答案】3【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對(duì)分母分子化簡(jiǎn)，再對(duì)a?b?1=0化簡(jiǎn)得到a?b=1，再整體代入求值即可．【詳解】解：原式===3∵a?b?1=0，∴a?b=1，∴原式=3題型08整式的混合運(yùn)算1．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）計(jì)算：(1)?1(2)aa+2【答案】(1)1(2)2a+3b【分析】（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值和計(jì)算乘方，并把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計(jì)算乘法，最后算加減即可求解；（2）先運(yùn)用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和平方差公式計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式=1=3=1；（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b=2a+3b．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算：x+2yx?2y【答案】x【分析】先計(jì)算平方差公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：x+2y==x【點(diǎn)睛】題目主要考查整式的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2022·重慶·中考真題）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記GM=c+d9，PM=10【答案】(1)2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見(jiàn)解析(2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得10a+b=c2+d2，根據(jù)GM，PM均是整數(shù)可得c+d=9，c【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由：∵22+2∴1022不是“勾股和數(shù)”；∵52∴5055是“勾股和數(shù)”；（2）∵M(jìn)為“勾股和數(shù)”，∴10a+b=c∴0<c∵GM∴c+d=9，∵PM∴c2∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此時(shí)M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此時(shí)M=4536或4563，綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．題型09判斷因式分解的正誤1．（2023·山東·中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（

）A．(a+3)2=aC．5ax2?5a【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的概念可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、(a+3)2B、a2C、5axD、因?yàn)閍?2a+4故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）下列因式分解正確的是（

）A．2a2?4a+2=2C．4a2?【答案】A【分析】利用提公因式法，公式法對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：A、2aB、a2C、4aD、a3故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河北秦皇島·一模）對(duì)于①2x?xy=x2?y，②x?32=A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解【答案】C【分析】此題考查了因式分解和整式乘法的概念，熟練掌握有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解和整式乘法的有關(guān)概念，對(duì)式子進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①2x?xy=x2?y②x?32故選：C．4．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）將多項(xiàng)式“4m2??”因式分解，結(jié)果為(2m+3)(2m?3)A．3 B．?3 C．9 D．?9【答案】C【分析】此題主要考查了平方差公式和因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．利用平方差公式計(jì)算(2m+3)(2m?3)，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等即可求出答案．【詳解】∵(2m+3)(2m?3)=4m∴4所以“？”是9．故選C．題型10因式分解1．（2024·山東淄博·中考真題）若多項(xiàng)式4x2?mxy+9y2【答案】±12【分析】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】解：∵多項(xiàng)式4x∴4x∴m=±2×2×3故答案為：±12．2．（2023·浙江嘉興·中考真題）一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為(x+1)，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)符合條件的多項(xiàng)式：．【答案】x2【分析】根據(jù)平方差公式或完全平方公式等知識(shí)解答即可．【詳解】解：∵x2?1=x+1∴這個(gè)多項(xiàng)式可以是x2故答案為：x2【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解此題的關(guān)鍵．3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）因式分解：x+2x+4+1=【答案】x+3【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：x+2===故答案為：x+324．（2023·黑龍江綏化·中考真題）因式分解：x2+xy?xz?yz=【答案】(x+y)(x?z)【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．【詳解】解：x2+xy?xz?yz=故答案為：x+yx?z【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型11因式分解的應(yīng)用1．（2023·河北·中考真題）若k為任意整數(shù)，則(2k+3)2?4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3?2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為a22．（2023·湖南·中考真題）已知實(shí)數(shù)m、x1、x2滿(mǎn)足：①若m=13，x②若m、x1、x2為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)x1【答案】187【分析】①把m=1②由題意知：mx1?2,m【詳解】解：①當(dāng)m=13，解得：x2②當(dāng)m、x1、xmx1而4=1×4=2×2=4×1,∴mx1?2=1m∴mx1=3m當(dāng)mx1=3mx2=6時(shí)，m=1故x1,x當(dāng)mx1=4mx2=4時(shí)，m=1時(shí)，x1故x1,x當(dāng)mx1=6mx2=3時(shí)，m=1故x1,x綜上所述：共有2+3+2=7個(gè)．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類(lèi)討論的思想方法．本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)是運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法解題．3．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫(xiě)出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．【答案】(1)8×9(2)(2n+1)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（3）將(2n+1)2【詳解】（1）192（2）(2n+1)2（3）(2n+1)=(2n+1+2n?1)(2n+1?2n+1)=4n×2=8n．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．4．（2024·福建·中考真題）已知實(shí)數(shù)a,b,c,m,n滿(mǎn)足3m+n=b(1)求證：b2(2)若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)m,n不可能都為整數(shù)，理由見(jiàn)解析．【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力．（1）根據(jù)題意得出b=a3m+n,c=amn，進(jìn)而計(jì)算（2）分情況討論，①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?m+n=b所以b=a3m+n則b===a因?yàn)閍,m,n是實(shí)數(shù)，所以a2所以b2（2）m,n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m,n都為整數(shù)，其可能情況有：①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．①當(dāng)m,n都為奇數(shù)時(shí)，則3m+n必為偶數(shù)．又3m+n=ba，所以因?yàn)閍為奇數(shù)，所以a3m+n必為偶數(shù)，這與b②當(dāng)m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則mn必為偶數(shù)．又因?yàn)閙n=ca，所以因?yàn)閍為奇數(shù)，所以amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾．綜上所述，m,n不可能都為整數(shù)．5．（2022·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將2a?3ab?4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類(lèi)比】(1)請(qǐng)用分組分解法將x2【挑戰(zhàn)】(2)請(qǐng)用分組分解法將ax+a【應(yīng)用】(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和ba>b，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a【答案】(1)x+a(2)a?b(3)a2【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到a2+b【詳解】（1）解：x===x+a（2）解：ax+===a?b（3）解：a====a∴根據(jù)題意得a2+b∴原式=9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．命題點(diǎn)二規(guī)律探索及新定義問(wèn)題題型01圖形類(lèi)規(guī)律探索1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．根據(jù)前幾個(gè)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而可求第674個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即4=3×1+1，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即7=3×2+1，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即10=3×3+1，…，按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有3n+1個(gè)三角形，則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：3×674+1=2023（個(gè)）．故選：B．2．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a2，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a3

A．2021 B．6184 C．589840【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：a1a2a3a4…，an∴1====589故選∶C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問(wèn)題：下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn)……容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____，那么，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？【答案】(1)36；120；1(2)不能(3)一共能擺放20排．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)前n行的點(diǎn)數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；（2）先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是nn+1，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+4+5+6+7+8=1前15行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+?+14+15=1那么，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+?+n=1故答案為：36；120；12（2）解：不能，理由如下：由題意得12得n2Δ=1∴此方程無(wú)正整數(shù)解，所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；故答案為：不能；（3）解：同理，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為2+4+6+?+2n=2×1由題意得nn+1得n2+n?420=0，即解得n=20或n=?21（舍去），∴一共能擺放20排．4．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含n的式子填空：(1)第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為；(2)第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為1×22，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為2×32，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為3×42，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為4×5【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+?+n等于第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)的2倍．【答案】(1)3n(2)n×(3)n=11【分析】（1）根據(jù)前幾個(gè)圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：第1個(gè)圖案中有3個(gè)，第2個(gè)圖案中有3+3=6個(gè)，第3個(gè)圖案中有3+2×3=9個(gè)，第4個(gè)圖案中有3+3×3=12個(gè)，……∴第n個(gè)圖案中有3n個(gè)，故答案為：3n．（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為1×22第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為2×32第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為3×42第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為4×52第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為n×n+1（3）解：依題意，1+2+3+……+n=n×第n個(gè)圖案中有3n個(gè)，∴nn+1解得：n=0（舍去）或n=11．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型02數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索1．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5～7個(gè)數(shù)可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，題目難度不大，通過(guò)觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題是解答該題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出已知數(shù)組的規(guī)律得出結(jié)果即可【詳解】解：∵3×2+2=8，8×2+2=18，18×2+2=38，∴第5個(gè)數(shù)為38×2+2=78，第6個(gè)數(shù)為78×2+2=158，第7個(gè)數(shù)為158×2+2=318，故選：D．2．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）將一組數(shù)2,2,則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（

）A．72 B．82 C．58 【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得．【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，歸納類(lèi)推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)數(shù)，則第八行左起第1個(gè)數(shù)是2×29=故選：C．3．（2023·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規(guī)律排列的第【答案】3n+2【分析】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項(xiàng)式的序號(hào)關(guān)系寫(xiě)出即可．【詳解】解：5a系數(shù)為3×1+2=5，次數(shù)為1；8a2系數(shù)為11a3系數(shù)為14a4系數(shù)為∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)可表示為：3n+2，字母a的次數(shù)可表示為：n，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：3n+2a【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化類(lèi)規(guī)律探究，掌握單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)并發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱(chēng)為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為【答案】128【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開(kāi)，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：a+b5展開(kāi)后系數(shù)為：1,5,10,10,5,1系數(shù)和：1+5+10+10+5+1=32=2a+b6展開(kāi)后系數(shù)為：1,6,15,20,15,6,1系數(shù)和：1+6+15+20+15+6+1=64=2a+b7展開(kāi)后系數(shù)為：1,7,21,35,35,21,7,1系數(shù)和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=2故答案為：128．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．QUOTE題型03數(shù)式中的新定義問(wèn)題解題方法：新定義運(yùn)算的規(guī)律其實(shí)是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡(jiǎn)單的一種，因?yàn)槠湟?guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進(jìn)行簡(jiǎn)單的推論.這時(shí)候就考驗(yàn)大家的觀察能力，以及對(duì)數(shù)字的敏感程度.1．（2024·河北·中考真題）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132×23，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（

）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“□”表示5C．運(yùn)算結(jié)果小于6000 D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a+1025【答案】D【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時(shí)解決本題的關(guān)鍵．設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)