2022年廣東省深圳市福田區(qū)一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的，請把答案按要求填涂到答題卡相應(yīng)位置上）1.下列圖形中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項合題意．故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.某種福利彩票特等獎的中獎率為，把用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示方法直接求解即可．【詳解】．故選：C【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法，解題關(guān)鍵是表示方法為．3.在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有()A.6個 B.15個 C.13個 D.12個【答案】D【解析】【詳解】解：設(shè)白球個數(shù)為：x個，∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，∴口袋中得到紅色球的概率為25%．∴，解得：x=12．經(jīng)檢驗：x=12是原方程的解∴白球的個數(shù)為12個．故選D．4.下列運算中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法運算法則求解即可．【詳解】解：A．，原式結(jié)果錯誤；B．，原式結(jié)果正確；C．，原式結(jié)果錯誤；D．，原式結(jié)果錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力．5.某小組在一次“在線測試”中做對的題數(shù)分別是10，8，6，9，8，7，8，對于這組數(shù)據(jù)，下列判斷中錯誤的是（）A.眾數(shù)是8 B.中位數(shù)是8 C.平均數(shù)是8 D.方差是8【答案】D【解析】【分析】由題意可知：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7；總數(shù)個數(shù)是奇數(shù)的，按從小到大的順序排列，取中間的那個數(shù)便為中位數(shù)，按此方法求中位數(shù)；一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)次數(shù)最多，由此求出眾數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，按此方法計算方差．【詳解】解：平均數(shù)＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7＝8；按從小到大排列為：6，7，8，8，8，9，10，∴中位數(shù)是8；∵8出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)是8；方差S2＝[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.25．所以D錯誤．故選：D．【點睛】考查了方差，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)及眾數(shù)的知識，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)及方差的概念，是解決本題的關(guān)鍵．6.若與都是反比例函數(shù)圖象上的點，則a的值是（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先把用代入確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，然后求出函數(shù)解析式，再把點（-2，a）代入可求a的值．【詳解】解：∵點是反比例函數(shù)圖象上的點；∴k=2×4=8∴反比例函數(shù)解析式為：∵點是反比例函數(shù)圖象上的點，∴a=-4故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．7.下列說法中，正確的是（）A.當(dāng)x≠－1時，有意義B.對角線相等的四邊形是矩形C.三角形三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等D.若a＜b則一定成立【答案】C【解析】【分析】由分別使分式和二次根式有意義的條件，即可判斷A；由矩形的判定條件，即可判斷B；由三角形垂心的性質(zhì)，即可判斷C；當(dāng)m=0時，，即可判斷D．【詳解】A．當(dāng)，即時，有意義，故該選項錯誤，不符合題意．B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故該選項錯誤，不符合題意．C．三角形三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等，正確，符合題意．D．當(dāng)m=0時，則，故該選項錯誤，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查使分式和二次根式有意義的條件，矩形的判定，三角形垂心的性質(zhì)等知識．熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，點C在以AB為直徑的圓上，則BC＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BC即可．【詳解】解：連接AC，∵AB是⊙的直徑，∴∠ACB=90°，∵sinB=，cosB=，tanB=，∴AC=AB?sinB，BC=AB?cosB，AC=BC?tanB，觀察四個選項，選項B正確，故選；B．【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．9.甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一種類型口罩，每個小時甲廠比乙廠多生產(chǎn)1000個這種類型的口罩，甲廠生產(chǎn)30000個這種類型的口罩所用的時間與乙廠生產(chǎn)25000個這種類型的口罩的時間相同．設(shè)甲廠每小時生產(chǎn)這種類型的口罩x個，依據(jù)題意列方程為（）A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】C【解析】【分析】直接利用甲廠生產(chǎn)30000個和乙廠生產(chǎn)25000個口罩的時間相同得出等式即可．【詳解】解：設(shè)甲廠每小時生產(chǎn)這種類型的口罩個，依據(jù)題意列方程為：．故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列分式方程，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若將△ADC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△FDE，當(dāng)點E恰好落在AC上，連接AF．則AF的長為（）A B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】過點D作DH⊥AF于點H，由銳角三角函數(shù)的定義求出CD＝1，AD＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，證出∠DCE＝∠DAF，設(shè)AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．【詳解】解：過點D作DH⊥AF于點H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB3，設(shè)CD＝x，∴AD＝3x，∴BC＝3x+x＝4，∴x＝1，∴CD＝1，AD＝3，∵將△ADC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△FDE，∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，∴，∴∠DCE＝∠DAF，∴tan∠DAH＝3，設(shè)AH＝a，DH＝3a，∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝32，∴a，∴AH，∵DA=DF，DH⊥AF，∴AF＝2AH，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定，應(yīng)用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.方程x2﹣2x=0的解為_____________【答案】x1=0，x2=2【解析】【分析】把方程的左邊分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或x-2=0，求出方程的解即可．【詳解】解：x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，故答案為：x1=0，x2=2．【點睛】本題主要考查對解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．12.2022年冬奧會的主題口號是“一起向未來”，從5張上面分別寫著“一”“起”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小，形狀完全相同）中隨機抽取一張，則這張卡片上面恰好寫著“來”字的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】從5張上面分別寫著“一”“起”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小，形狀完全相同）中隨機抽取一張的結(jié)果可能有5種，其中恰好寫著“來”字的結(jié)果有1種，∴隨機抽取的這張卡片恰好寫著“來”字的概率．故答案為：．【點睛】本題考查簡單的概率計算．熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．13.如圖，直角中，，根據(jù)作圖痕跡，若，，則________cm．【答案】【解析】【分析】先解直角三角形ABC求出BC的長，從而求出AB的長，再由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，即可得到BE的長，再解直角△BED即可得到答案．詳解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，∴，∴BC=4cm，∴，由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，∴DE⊥AB，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，正確理解DE是線段AB的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．14.若，是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則、的大小關(guān)系是______（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【解析】【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷即可．【詳解】解：∵∴即∴反比例函數(shù)圖像每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大∵1<3∴<故答案為：<．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的增減性、不等式的性質(zhì)、熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．15.如圖，在正方形ABCD中，，M為對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交線段AB于點N．連接NC交BD于點G．若BG：MG＝3：5，則NG?CG的值為_____．【答案】15【解析】【分析】把△DMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BHC，連接GH，先證△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可設(shè)BG＝3a，則MG＝GH＝5a，繼而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝12可求出a，最后通過△MGN∽△CGB可得出答案．【詳解】解：如圖，把△DMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BHC，連接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，過M作ME⊥BC，MF⊥AB，∵∵M(jìn)C＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，設(shè)BG＝3a，則MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，則MD＝4a，∵正方形ABCD的邊長為，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG?NG＝BG?MG＝15．故答案為：15．【點睛】本題主要考查三角形的全等證明、相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，聯(lián)系題目實際，結(jié)合全等三角形、正方形的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7小題，其中第16題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】直接利用因式分解法解方程即可．【詳解】∴或∴解得，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．18.港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋．如圖是港珠澳大橋的海豚塔部分效果圖，為了測得海豚塔斜拉索頂端A距離海平面的高度，先測出斜拉索底端C到橋塔的距離（CD的長）約為100米，又在C點測得A點的仰角為30°，測得B點的俯角為20°，求斜拉索頂端A點到海平面B點的距離（AB的長）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，結(jié)果精確到0.1）【答案】斜拉索頂端A點到海平面B點的距離AB約為93.7米．【解析】【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AD、BD，即可求出AB．【詳解】如圖，由題意得，在△ABC中，CD=100，∠ACD=30°，∠DCB=20°，CD⊥AB，在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=100×≈57.73(米)，在Rt△BCD中，BD=CD?tan∠BCD≈100×0.36≈36(米)，∴AB=AD+DB=5773+36=93.73≈93.7(米)，答：斜拉索頂端A點到海平面B點的距離AB約為93.7米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題問題，掌握銳角三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．19.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，對角線AC，BD交于點E，⊙O的切線AF交BD的延長線于點F，且AE=AF．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若AF=3，BF=5，求BE的長．【答案】（1）證明過程見詳解（2）【解析】【分析】（1）先證△AED≌△AFD，得到∠DAE=∠DAF，DE=DF，根據(jù)圓周角定理可得∠DBC=∠DAC=∠DAF，再根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠FAD=∠ABD，即可得證；（2）證明△BFA∽△AFD，即有，即可求出DF，結(jié)合DE=DF即可求出BE．小問1詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADF=∠ADB=90°，∴∠F+∠FAD=90°，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴△AED≌△AFD，∴∠DAE=∠DAF，DE=DF，∴∠DBC=∠DAC=∠DAF，∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB=90°，∴∠F+∠ABD=90°，∵∠F+∠FAD=90°，∴∠FAD=∠ABD，∵∠DBC=∠FAD，∴∠DBC=∠ABD，∴BD平分∠ABC；【小問2詳解】∵∠FAD=∠ABD，∠F=∠F，∴△BFA∽△AFD，∴，∵BF=5，AF=3，即，在（1）中已證得DE=DF，∴BE=BF-DE-DF=5-=．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．20.某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價為每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)每月獲得的利潤為W（元）．這種文化衫銷售單價定為多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y＝﹣10x+1000（2）銷售單價定為70元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是9000元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意用待定系數(shù)法求出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【小問1詳解】設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），將（40，600），（80，200）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1000；【小問2詳解】由題意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴當(dāng)x＝70時，W有最大值為9000，答：這種文化衫銷售單價定為70元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是9000元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，點D，E是線段BC上的兩點（E在D的右側(cè)），，過點D作DP∥y軸，交直線BC上方拋物線于點P，過點E作EF⊥x軸于點F，連接FD，F(xiàn)P，當(dāng)△DFP面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△DFP面積的最大值；（3）如圖2，在（2）取得面積最大的條件下，連接BP，將線段BP沿射線BC方向平移，平移后的線段記為B'P'，G為y軸上的動點，是否存在以B'P'為直角邊的等腰Rt△GB'P'？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）點P的坐標(biāo)為（2，）時，△PDF的面積最大值為（3）存在；點G的坐標(biāo)（0，）或（0，）【解析】【分析】（1）將點A和點C分別代入求得a和c的值，得到拋物線的解析式；（2）過點E作EH⊥直線PD于點H，由PD∥y軸得到∠DEH＝∠CBO，然后由等角的余弦值相等得到EH的長，再求得直線BC的解析式，然后設(shè)點P的坐標(biāo)，得到點D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到PD的長，即可求得△PDF的面積，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得△PDF的面積最大值和點P的坐標(biāo)；（3）分情況討論：當(dāng)點B'在y軸的右側(cè)和左側(cè)時，分別討論點P'為直角頂點和點B'為直角頂點幾種情況，然后作出輔助線構(gòu)造K型全等，然后設(shè)點B'、點P'和點G的坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列出方程求得點G的坐標(biāo)．【小問1詳解】將A（﹣1，0），C（0，3）代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為：．【小問2詳解】過點E作EH⊥PD于點H，令y＝0，得，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∵EH⊥PD，BO⊥CO，∴HE∥OB，∴∠DEH＝∠CBO，∴cos∠DEH＝cos∠CBO，即，∴，解得：HE＝1，設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則，解得：，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，，則，∴，配方得：，∵，∴t＝2時，S△FPD有最大值為，∴點P的坐標(biāo)為（2，）時，△PDF的面積最大值為．【小問3詳解】設(shè)B'（x，x+3）（x≤4），G（0，y），∵P（2，），B（4，0），線段BP沿射線BC方向平移，∴P'（x﹣2，x），①如圖2，當(dāng)點B'1在y軸右側(cè)，∠G1B'1P'1＝90°時，B'1P'1＝B'1G1，過點B'1作B'1M1⊥y軸于點M1，過點P'1作P'1N1⊥B'1M1于點N1，則∠P'1N1B'1＝∠B'1M1G1＝90°，∠P'1B'1N1+∠M1B'1G1＝90°，∴∠P'1B'1N1+∠N1P'1B'1＝90°，∴∠M1B'1G1＝∠N1P'1B'1，∴△M1B'1G1≌△N1P'1B'1（AAS），∴M1G1＝B'1N1，P'1N1＝B'1M1，∵M(jìn)1G1x+3﹣y，B'1N1＝2，P'1N1，B'1M1＝x，∴x+3﹣y＝2，且x4，舍去；②如圖3，當(dāng)點B'2在y軸右側(cè)，∠G2P'2B'2＝90°時，B'2P'2＝P'2G2，過點P'2作P'2N2⊥y軸于點N2，過點B'2作B'2M2⊥N2P'2的延長線于點M2，則∠P'2N2G2＝∠B'2M2P'2＝90°，∠P'2B'2M2+∠M2P'2B'2＝90°，∴∠N2P'2G2+∠M2P'2B'2＝90°，∴∠N2P'2G2＝∠P'2B'2M2，∴△N2P'2G2≌△M2B'2P'2（AAS），∴N2G2＝P'2M2，P'2N2＝B'2M2，∵N2G2xy，P'2M2＝2，P'2N2＝x﹣2，B'2M2，∴xy＝2，且x﹣2，∴x4，y，舍去；③如圖4，當(dāng)點B'3在y軸左側(cè)，∠G3P'3B'3＝90°時，B'3P'3＝P'3G3，過點P'3作P'3M3⊥y軸于點M3，過點B'3作B'3N3⊥M3P'3于點M3，則∠P'3M3G3＝∠B'3N2P'3＝90°，∠P'3B'3N3+∠N3P'3B'3＝90°，∴∠M3P'3G3+∠N3P'3B'3＝90°，∴∠P'3B'3N3＝∠M3P'3G3，∴△P'3B'3N3≌△G3P'3M3（AAS），∴M3G3＝P'3N3，P'3M3＝B'3N3，∵M(jìn)3G3＝y(tǒng)﹣（x），P'3N3＝2，P'3M3＝﹣（x﹣2），B'2M2，∴yx2，且2