第1頁/共1頁仲元中學-龍城高級中學2024-2025學年度第一學期高二年級期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量的定義即可求解.【詳解】由條件可得，解得.故選：D.2.橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由，因為橢圓的焦點在軸上，所以，，因為長軸長是短軸長的兩倍，所以，所以，得.故選：D.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】推導出，結合等比中項的性質可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，因為，，由等比中項的性質可得，故.故選：C.4.圓關于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設對稱圓的圓心，解方程組即得圓心，然后代入圓的標準方程得解.【詳解】圓的圓心為，設對稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對稱圓的半徑相等都為2，所以對稱圓的方程為.故選：B.5.“”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由直線與雙曲線只有一個公共點代入計算，即可得到的取值，再由充分條件，必要條件的定義，即可得到結果.【詳解】聯(lián)立方程，整理可得，當時，即，方程有一解，即只有一個公共點；當時，，解得；所以直線與雙曲線只有一個公共點時，或，所以“”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的充分不必要條件，故選：A6.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，點是邊上一點,且，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量基本定理將用，和表示出來，對照各項系數(shù)計算即得.【詳解】∵，∴，∴，則，，，故．故選:A.7.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.當時，最大 B.當時，最小C.數(shù)列中存在最大項，且最大項為 D.數(shù)列中存在最小項【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，.對A：根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質結合二次函數(shù)分析判斷；對B：分類討論判斷與的大小關系；對C、D：根據(jù)等差數(shù)列的單調性以及的正負性分析判斷.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，∵，則，即，又∵，解得，對A：∵為等差數(shù)列，則可設，由二次函數(shù)可知不存在最大值，故A錯誤；對B：因為，則有：當時，，故；當時，，故；當時，，；故B錯誤；對C、D：∵，則數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以對，均有；對，均有0，所以中，最大，無最小項，故C正確，D錯誤.故選：C.8.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線兩條漸近線于兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設為中點，由可得，從而確定點坐標，再用點差法探索雙曲線中，的關系，從而確定離心率.【詳解】如圖：取為中點，則由題意：，，則，.作軸于點，則，，.所以點坐標為.再設，.由，且，，得：.故選：A【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)是等腰三角形，從而得到垂直關系是問題的突破口.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項的和為，前項的積為，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用遞推公式逐項計算可判斷A選項；根據(jù)數(shù)列的前項的值可判斷數(shù)列的周期性，可判斷B選項；利用數(shù)列的周期性計算可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，因為數(shù)列滿足，，則，，，，A對；對于B選項，由A選項可知，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即對任意，，B對；對于C選項，因為，且，則，C對；對于D選項，因為，則，D錯.故選：ABC.10.如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點（不包括端點），則（）A.當點為的中點時，與平面所成角為B.存在點，使得C.對于任意點，均不成立D.三棱錐的體積是定值【答案】AC【解析】【分析】在正方體中建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷A選項；利用空間位置關系的向量證明判斷BC；利用點到平面距離的向量求法計算判斷D.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則、、、、、，所以，，對于A選項，當為的中點時，，，易知平面的一個法向量為，則，故點為的中點時，與平面所成角為，A對；對于B選項，令，則點，，，若，則，必有，即與矛盾，B錯；對于C選項，，，其中，若，則，解得，不合乎題意，所以，對于任意點，均不成立，C對；對于D選項，，設平面的法向量，則，令，得，于是點到平面的距離，，則不是常數(shù)，又點、、是三個定點，面積是定值，因此三棱錐的體積不是定值，D錯.故選：AC.11.已知為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，，為的中點，過作軸的垂線，垂足為.設拋物線的準線與軸交于點，且四邊形為菱形，則（）A.準線的方程為 B.C.為鈍角 D.為鈍角三角形【答案】BD【解析】【分析】A選項，由四邊形為菱形且，求出的值，得拋物線方程和準線方程；由已知可得直線的傾斜角為，方程為，與拋物線方程聯(lián)立求出兩點坐標，求出判斷B選項，利用向量數(shù)量積判斷角的范圍驗證CD選項.【詳解】不妨設點在第一象限，如圖，對于A，由拋物線方程中的幾何意義可知，，四邊形為菱形，，為的中點，，解得，拋物線的標準方程為，準線的方程為，A錯誤，對于B，方法一：在中，，，直線的傾斜角為，，直線的方程為，設，，聯(lián)立得方程組消去并整理，得，解得或則，，，，則，B正確，方法二：若直線過焦點，則有結論：，，，，，而，，B正確，對于C，方法一：易知，，，，，為銳角，C錯誤，方法二：由拋物線的性質可知，以為直徑的圓與準線相切，又直線的傾斜角為，切點不是點，則點在圓外，由圓的性質可知，為銳角，C錯誤，對于D，在中，，，，，，為鈍角，則為鈍角三角形，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與間的距離是__________.【答案】##【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式計算可得答案.【詳解】由得，所以直線與間的距離是.故答案為：.13.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則__________．【答案】##【解析】【分析】先說明數(shù)列的公比不為，由條件結合等比數(shù)列求和公式證明，再結合求和公式求結論.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，矛盾，故．由題意，得，即，，所以．故答案為：14.橢圓的光學性質：從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓，、為其左、右焦點.是上的動點，點，且的最大值為，則____________.動直線為橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點為，則點到直線的距離的取值范圍為____________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義可得出，可得出，當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立，可求出的值，進而可得出，根據(jù)橢圓的光學性質可得出點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，結合圓的幾何性質可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)橢圓定義得，所以，，當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立，因為的最大值為，且，則，解得，則.設切橢圓于點，由橢圓的光學性質可得、、三點共線，，則點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，到直線的距離為，由圓的幾何性質可知，點到直線的距離最小值，最大值，即.故答案為：；.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求角的大??；（2）設為邊的中點，若，，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）2【解析】【分析】（1）用正弦定理將邊化角，再用兩角和的正弦公式化簡即可求出，進而可得角的大??；（2）用余弦定理結合題目所給條件可求出及，再用向量即可求解.【小問1詳解】,,,,，.【小問2詳解】在中,由余弦定理得,,又因為，所以，聯(lián)立解得，因為為邊的中點，所以,所以，即，所以.16.已知關于x，y的方程.（1）若該方程表示圓C，求m的取值范圍；（2）若圓C與圓外切，求m的值；（3）若（2）中的圓C與經(jīng)過點的直線l相交于M，N兩點，且，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）4；（3）或.【解析】【分析】（1）化給定方程為，利用方程表示圓，即可求出范圍.（2）根據(jù)給定條件，利用兩圓相外切，列出方程，求出的值.（3）由（2）求出圓的方程，由圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離，再按斜率存在與否分類求出方程.【小問1詳解】方程，變形得，由方程表示圓，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由圓，得，此圓圓心，半徑為，又圓的圓心，半徑，由圓與圓相外切，得，即，所以.【小問3詳解】由（2）知，圓的圓心，半徑，由圓的弦長，得圓心到直線的距離，圓心到直線的距離為，且直線過點，因此直線方程可以是；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由，解得，直線的方程為，所以直線l的方程為或.17.已知等差數(shù)列的前項和為，并滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，可得出的表達式，利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，并滿足，當時，，當時，，滿足，故對任意的，.【小問2詳解】因為，則，所以，，所以，，，上式下式可得，因此，.18.如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面，為垂足，直線與平面的交點為，當三棱錐體積最大時，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（3）設，設，根據(jù)空間向量的坐標運算求出點的坐標，將三棱錐的體積表示為關于的函數(shù)關系式，利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值，利用等號成立的條件求出的值，可得出點、的坐標，求出平面的一個法向量，設，求出的坐標，根據(jù)求出的值，即可得解.【小問1詳解】取中點，連接、，因為，，則，所以，所以，所以，又因為，所以，則，又因為，所以，又因為，，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，當點為的中點時，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，所以，，故當為的中點時，直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設，因為，其中，所以，，可得，即點，因為平面，則點，，，當且僅當時，即當時，等號成立，故當點為線段的中點時，三棱錐的體積取最大值，此時，點，由（2）可知，此時，平面的一個法向量為，設，其中，則，因平面，則，所以，，解得，所以，，所以，即長為.19.17世紀荷蘭數(shù)學家舒騰設計了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示.四根等長的桿用鉸鏈首尾鏈接，構成菱形.帶槽桿長為4，點間的距離2，轉動桿一周的過程中始終有.點在線段的延長線上，且.（1）以線段中點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，求出點的軌跡的方程；（2）過點的直線與交于兩點.記直線的斜率分別為，（i）證明：為定值；（ii）若直線的斜率為，點是軌跡上異于的點，且平分，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義知點的軌跡是以為焦點的橢圓，確定a，b即可求解；（2）（i）設，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示，結合兩點表示斜率公式即可證明；（ii）根據(jù)三角形面積公式化簡可得，設，由（i）和平面向量的坐標表示建立的方程，解之即可求解.【小問1詳解】，點的軌跡是以為焦點的橢圓，設橢圓的方程為，，，點的軌跡的方程為；【小問2詳解】（i）證明：設直線與橢圓的交