第1頁(yè)/共1頁(yè)黑龍江省新時(shí)代高中教育聯(lián)合體2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期末聯(lián)合考試高二數(shù)學(xué)試卷B（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14的第70百分位數(shù)是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14的第70百分位數(shù)是，故選：D2.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則（）A.1 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解.【詳解】由雙曲線可知，漸近線方程為，又直線是其中一條漸近線，所以，即，故選：B3.先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，第一次和第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則下列結(jié)論正確的是（）A.“第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)”與“第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2點(diǎn)”為互斥事件B.“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和小于6”為對(duì)立事件C.的概率為D.的概率為【答案】C【解析】【分析】由互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷AB，根據(jù)古典概型，判斷CD選項(xiàng)即可得答案.【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，共有種不同的情形．對(duì)于A選項(xiàng)，“第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)”與“第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2點(diǎn)”可以同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和小于6”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，但是其中一個(gè)事件不發(fā)生時(shí)，另一個(gè)事件不一定發(fā)生（例如可發(fā)生“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6”），所以不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，包含的樣本點(diǎn)有，，共2個(gè)，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，包含的樣本點(diǎn)有，，，，，共5個(gè)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C．4.已知的展開式的第2項(xiàng)系數(shù)為，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.展開式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)C.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256 D.展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用的展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合題意求出，再利用通項(xiàng)公式研究常數(shù)項(xiàng)；由可求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和；由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可求展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，（），所以，即，解得，故A正確；所以（），當(dāng)，即時(shí)為常數(shù)項(xiàng),故B正確；所以展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故C正確；所以展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，故D錯(cuò)誤.故選：D.5.某類汽車在今年1至5月銷量y（單位：萬(wàn)輛），如下表所示：月份x12345銷量y54.543.52.5若x與y線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.樣本的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) B.C.當(dāng)時(shí)，殘差的絕對(duì)值為0.1 D.可預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)銷量約為1.5萬(wàn)輛【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，利用表中的數(shù)據(jù)就化情況分析判斷；對(duì)于B，利用樣本中心點(diǎn)滿足回歸方程，求出；對(duì)于C，利用回歸方程可求出預(yù)測(cè)值，進(jìn)而可求出殘差絕對(duì)值；對(duì)于D，利用回歸方程可求出預(yù)測(cè)值.【詳解】對(duì)于A，從表中的數(shù)據(jù)看，隨的增大而減小，所以變量負(fù)相關(guān)，則樣本的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以，得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，殘差的絕對(duì)值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)銷量約為1.5萬(wàn)瓶，故D正確，故選：C.6.今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看.若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）A.24 B.28 C.36 D.12【答案】A【解析】【分析】分兩種情況，兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分別計(jì)算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.【詳解】若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給乙從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：A.7.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，其中B，C兩點(diǎn)在x軸上方.若，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線CD的方程為，將該直線CD的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出答案.【詳解】設(shè)直線CD的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，所以，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為，故選：D.8.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知A，B，C三個(gè)地區(qū)分別有，，的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是5:8:9，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自B地區(qū)的概率是（）A.0.25 B.0.27 C.0.48 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，求得選取的人為A，B，C三個(gè)地區(qū)的概率，由題意，明確A，B，C三個(gè)地區(qū)患流感的條件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根據(jù)條件概率的定義，可得答案.【詳解】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來(lái)自地區(qū)”，由題意可知，，，，，，則故.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了提高身體素質(zhì)，小偉今年12月份一直堅(jiān)持運(yùn)動(dòng)，他將1~10日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)繪制成了折線圖，如圖所示，則（）A.小偉1~10日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差為39分鐘B.小偉1~10日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為34.5分鐘C.小偉1~10日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)為55分鐘D.小偉1~3日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差大于5~7日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件，計(jì)算極差、中位數(shù)，結(jié)合眾數(shù)的定義，方差的意義，即可求解．【詳解】將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序：，故極差為，A正確，中位數(shù)為，故B正確；眾數(shù)為31，C錯(cuò)誤，由折線圖可知1~3日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的波動(dòng)小，5~7日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的波動(dòng)大，故1~3日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差小于5~7日每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10.已知點(diǎn)為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.面積的最大值為3 B.直線，與圓C相交或相切C. D.最大時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】到的最大距離為，即可求出最大面積可判斷A，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)在圓上可判斷B，根據(jù)已知距離之比建立關(guān)系利用圓的方程化簡(jiǎn)可判斷C，當(dāng)最大時(shí)，直線與圓相切，利用勾股定理可判斷可判斷D.【詳解】如圖，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈诪槎ㄖ?，所以?dāng)?shù)剑磝軸）距離最大時(shí)三角形面積最大，為點(diǎn)Mx,y為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，所以到的最大距離為半徑，所以面積的最大值是，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€y=kx?1，恒過(guò)定點(diǎn)1,0，而點(diǎn)1,0在圓C：上，又直線不垂直軸，所以直線與圓相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)最大時(shí)，此時(shí)，直線與圓相切，點(diǎn)，則，且，由勾股定理可得，故D正確.故選：ACD.11.已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，M是橢圓C上異于，的一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)I為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.橢圓的離心率為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)與焦距的概念，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)以及垂直向量的數(shù)量積，可得答案；對(duì)于B，利用勾股定理以及橢圓的定義，求得參數(shù)的值，根據(jù)焦距的概念，可得參數(shù)的值，結(jié)合離心率的計(jì)算，可得答案；對(duì)于C，利用等邊三角形的性質(zhì)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)B以及橢圓頂點(diǎn)的概念，可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的概念，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：對(duì)于A，由，則在中，，即，故A正確；對(duì)于B，由，則，在中，，由，則，所以離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取線段的中點(diǎn)為，連接，如下圖：在中，，易知，，則，由，，則，，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機(jī)變量，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算方式以及方差的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意可得，.故答案為：.13.2025年“第九屆亞冬會(huì)”即將在哈爾濱舉辦.現(xiàn)需要分配4名志愿者對(duì)2種不同的體育運(yùn)動(dòng)進(jìn)行宣講，每個(gè)宣講至少分配1人，則不同的分配方案種數(shù)為______.【答案】14【解析】【分析】先將4名學(xué)生分為2組，然后再分配到2種不同體育運(yùn)動(dòng)進(jìn)行宣講，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求結(jié)果.【詳解】第步：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求名學(xué)生志愿者分組的種數(shù)，4名學(xué)生志愿者分為2組，共有兩種情況：①一組3人，另一組1人，共有種；②一組2人，另一組2人，共有種，所以共有種分法，第2步：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算所求，由上可知，不同的分配方案種數(shù)為種．故答案為：.14.已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中，分別為左、右焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，為_____.【答案】【解析】【分析】由題意，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，最后用均值不等式即可求解．【詳解】設(shè)半焦距為，，，為中點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，由，，則，，，所以，從而有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于離心率問題，可以根據(jù)條件得到關(guān)于a，c的齊次式，設(shè)，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，，結(jié)合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，直線：與圓C：交于A，B兩點(diǎn).（1）證明恒過(guò)定點(diǎn)，并求出原點(diǎn)到直線的最大距離；（2）已知點(diǎn)在圓C上，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，最大距離（2）【解析】【分析】（1）將化為，令即可求出定點(diǎn)，當(dāng)直線與定點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成直線垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，得到答案；（2）根據(jù)的幾何意義為點(diǎn)到2,0的距離，結(jié)合2,0與圓的位置關(guān)系，結(jié)合半徑和圓心到2,0得到答案.【小問1詳解】由直線：，得，聯(lián)立，解得，所以恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，最大距離為.【小問2詳解】點(diǎn)在圓C上，的幾何意義為點(diǎn)到2,0的距離，因?yàn)閳AC：，即，圓心，又因?yàn)?，所?,0在圓內(nèi)，所以到2,0的距離的最大值為，到2,0的距離的最大值為所以，所以的取值范圍為.16.教育局組織學(xué)生參加“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問答，該地區(qū)有小學(xué)生4500人，初中生4300人，高中生2200人，按學(xué)段比例分層抽樣，從中抽取220名學(xué)生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)頻率分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該地區(qū)成績(jī)的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位），并估計(jì)該地區(qū)學(xué)生成績(jī)大于等于90分的人數(shù)；（3）教育局的工作人員在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名同學(xué)的分?jǐn)?shù)：，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）（2），550人（3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1列方程求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算中位數(shù)，利用頻率計(jì)算成績(jī)不小于90的人數(shù)即可；（3）根據(jù)平均數(shù)及方差的計(jì)算公式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】由，解得.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以中位?shù)滿足，由，解得，即估計(jì)該地區(qū)成績(jī)的中位數(shù)為分；估計(jì)該地區(qū)學(xué)生成績(jī)大于等于90分的人數(shù)為（人）.【小問3詳解】由題意，剩余8個(gè)成績(jī)的平均值為，因?yàn)?0個(gè)分?jǐn)?shù)的方差，所以，所以剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的方差，即剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差分別為.17.目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種，某公司為了了解該市電動(dòng)車消費(fèi)者對(duì)這兩種電池電動(dòng)車的偏好，隨機(jī)調(diào)查了500名電動(dòng)車用戶，其中男性用戶300名，在被調(diào)查的女性用戶中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2×2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性用戶200300女性用戶合計(jì)500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市電動(dòng)車用戶對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；（2）從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的用戶中按性別比例用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取7人進(jìn)行問卷調(diào)查，再?gòu)倪@7名用戶中抽取2人進(jìn)行座談，在有女性用戶參加座談的條件下，求恰有兩名女性用戶參加座談的概率；（3）用樣本的頻率估計(jì)概率，在該市所有女性電動(dòng)車用戶中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行新車試駕，記3名參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動(dòng)車的人數(shù)為X，求X的分布列.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，能（2）（3）分布列見解析【解析】【分析】（1）由題意直接確定列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)比數(shù)據(jù)即可判斷；（2）由條件概率計(jì)算公式即可求解；（3）女性用戶中偏好石墨烯電池電動(dòng)車的概率為，偏好鉛酸電池電動(dòng)車的概率為，可能取值為0，1，2，3，根據(jù)二項(xiàng)分布對(duì)應(yīng)的概率，即可求分布列.【小問1詳解】被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動(dòng)車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：

偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100300女性市民80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別有關(guān).【小問2詳解】因?yàn)槠檬╇姵仉妱?dòng)車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有兩名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.【小問3詳解】根據(jù)頻率估計(jì)概率知，女性用戶中偏好石墨烯電池電動(dòng)車的概率為，偏好鉛酸電池電動(dòng)車概率為，參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動(dòng)車的人數(shù)為X，可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列如下：X0123P18.某大公司招聘分為筆試和面試，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試環(huán)節(jié)各部門從筆試通過(guò)的人員中抽取部分人員進(jìn)行該部門的面試.2024年應(yīng)聘該公司的學(xué)生的筆試成績(jī)Y近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體.（1）假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該公司預(yù)期的平均成績(jī)，求該公司預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少?（2）現(xiàn)有甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)入了面試，該公司某部門有意在這3人中隨機(jī)選取2人參加面試.面試分為初試和復(fù)試并且采用積分制，滿分為10分，其中通過(guò)初試考核記6分，通過(guò)復(fù)試考核記4分，初試通過(guò)才能參加復(fù)試，應(yīng)聘者能否正確回答初試與復(fù)試的問題相互獨(dú)立.已知甲和乙通過(guò)初試的概率均為，丙通過(guò)初試的概率為，甲和乙通過(guò)復(fù)試的概率均為，丙通過(guò)復(fù)試的概率為.①若從這3人中隨機(jī)選取2人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于16分的概率；②若甲和乙兩人一起參加本次該部門的面試，記他們本次面試的得分之和為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.【答案】（1）71分（2）①②分布列見解析，13【解析】【分析】（1