第1頁(yè)/共1頁(yè)鎮(zhèn)雄縣第四中學(xué)2024年秋期中考試試卷（高二數(shù)學(xué)）考試范圍：必修1，必修2，選擇性必修一第一章考試時(shí)間：120分鐘命題人：審題人：第I卷（選擇題）一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B，再利用并集運(yùn)算求解.【詳解】故選：C2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，則其共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.3.高一年級(jí)某班30名同學(xué)參加體能測(cè)試，給出下列三個(gè)判斷：①有人通過(guò)了體能測(cè)試：②同學(xué)甲沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試；③有人沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試.若這三個(gè)判斷中只有一個(gè)是真，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.只有1名同學(xué)通過(guò)了體能測(cè)試 B.只有1名同學(xué)沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試C30名同學(xué)都通過(guò)了體能測(cè)試 D.30名同學(xué)都沒(méi)通過(guò)體能測(cè)試【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分析確定正確的一個(gè)判斷，即可求得正確答案.【詳解】“有人通過(guò)了體能測(cè)試”與“有人沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試”不可能都為真，若“同學(xué)甲沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試”為真，則“有人沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試”必真，不符合題意，因此“同學(xué)甲沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試”是假的，即同學(xué)甲通過(guò)了體能測(cè)試，②假，①真，③假，由“有人沒(méi)有通過(guò)體能測(cè)試”是假的判斷，得30名同學(xué)都通過(guò)了體能測(cè)試，C正確.故選：C4.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)及百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式建立不等關(guān)系求解即可.【詳解】∵函數(shù)∴∴∴函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，不等式的解法，屬于容易題.6.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，而且是減函數(shù)，如果，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，把題設(shè)中的不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，即，且，又由，即，可得，又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，解得．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的奇偶性合理轉(zhuǎn)化，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.7.設(shè)，函數(shù)，則的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的值，根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：C.8.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與，T近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（）A.3.6天 B.3.0天 C.2.4天 D.1.8天【答案】A【解析】【分析】由已知先確定系數(shù),即可確定函數(shù)解析式，再利用解析式及提供數(shù)據(jù)即可求解累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間【詳解】因?yàn)椋?，且，則，于是得設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間為，則有即，所以，而，解得所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為3.6天故選：A．二、多選題（共3題，每題6分，共18分.每題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全對(duì)得6分，選對(duì)但不全對(duì)得2分，有選錯(cuò)或不答得0分）9.已知向量，，下列命題中正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷A；由向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B；由向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷D.【詳解】因?yàn)椋圆黄叫校珺錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以，C正確；因?yàn)椋?，又，所以，A正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)對(duì)合選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】解：A項(xiàng)，若，取，可得，故A不正確；B項(xiàng),若,可得：，故，故B正確；C項(xiàng)，若可得，由可得：，故C正確；C項(xiàng)，舉反例，雖然，但是，故D不正確；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用不等式的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題型.11.如圖，線段AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.OF//平面BCE B.BF⊥平面ADFC.三棱錐C-BEF外接球的體積為 D.三棱錐C-BEF外接球的表面積為5π【答案】ABD【解析】【分析】利用線面平行判定定理判斷選項(xiàng)A；利用線面垂直判定定理判斷選項(xiàng)B；求得三棱錐C-BEF外接球的體積判斷選項(xiàng)C；求得三棱錐C-BEF外接球的表面積判斷選項(xiàng)D.詳解】選項(xiàng)A：由，AB=2，EF=1，可得則四邊形為平行四邊形，則又平面BCE，平面BCE，則OF//平面BCE.判斷正確；選項(xiàng)B：連接BF，線段AB為圓O的直徑，則由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF平面ABCD，，則平面ABEF則，又，平面ADF，平面ADF則BF⊥平面ADF.判斷正確；選項(xiàng)C：取CD中點(diǎn)H，連接OH由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF,平面ABEF，可得平面ABEF又點(diǎn)E，F(xiàn)，B在圓O上，則三棱錐C-BEF外接球球心在直線上，由，平面BCE，平面BCE可得平面BCE，則三棱錐C-BEF外接球球心到平面BCE的距離為點(diǎn)O到平面BCE的距離由平面ABEF，平面，可得平面平面ABEF，則點(diǎn)O到平面BCE的距離即點(diǎn)O到直線的距離，又點(diǎn)O到直線的距離為，則三棱錐C-BEF外接球球心到平面BCE的距離為在△BCE中，，，則，則△BCE外接圓半徑為則三棱錐C-BEF外接球的半徑則三棱錐C-BEF外接球的體積為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由三棱錐C-BEF外接球的半徑則三棱錐C-BEF外接球的表面積為.判斷正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12.某學(xué)校高三有1800名學(xué)生，高二有1500名學(xué)生，高一有1200名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則應(yīng)在高一抽取_____人．【答案】40【解析】【分析】運(yùn)用分層抽樣原理可求得答案.【詳解】解：由題意得：高一抽取人數(shù)為，故答案為：40.13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用弦化切的基本思想求出的值.【詳解】，即，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及弦化切思想求值，解題時(shí)要熟悉弦化切思想所適用的基本類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為_(kāi)_____________；此時(shí)函數(shù)的所有“囧圓”中，面積的最小值為_(kāi)____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接求出與y軸的交點(diǎn)即可求解；第二空：畫出函數(shù)圖象，考慮軸及軸右側(cè)的圖象，軸下方的函數(shù)圖象顯然過(guò)點(diǎn)時(shí)面積最小，軸上方的圖象，設(shè)出公共點(diǎn)，表示出半徑的平方，借助二次函數(shù)求出最小值，再比較得出半徑最小值即可求解.【詳解】第一空：由題意知：，，，故與y軸的交點(diǎn)為，則“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為；第二空：畫出函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)，，圓心為，要使“囧圓”面積最小，只需要考慮軸及軸右側(cè)的圖象，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)時(shí)，其半徑為2，是和軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“囧圓”中半徑的最小值；當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)到圓心的距離的平方為，令，則，當(dāng)即時(shí)，最小為3，，顯然在所有“囧圓”中，該圓半徑最小，故面積的最小值為.故答案為：；.四、解答題（共5題，總77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面．（2）求三棱柱的表面積；【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）分別求三棱柱每個(gè)面的面積相加即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】因?yàn)閭?cè)棱底面，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面，，均為矩形．因?yàn)椋缘酌?，均為直角三角形．因?yàn)椋?，所以．所以三棱柱的表面積為．16.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”．（I）寫出該試驗(yàn)的基本事件，并求事件A發(fā)生的概率；（II）求事件B發(fā)生的概率；（III）事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列舉法列舉出所有的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得事件發(fā)生的概率.（II）根據(jù)（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得事件發(fā)生的概率.（III）根據(jù)（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率.【詳解】（I）所有可能的基本事件為：共種.其中“兩數(shù)之和為”的有共種，故.（II）由（I）得“兩數(shù)之和是的倍數(shù)”的有共種，故概率為.（III）由（I）“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”的有種，“兩數(shù)之和為”的有共種，重復(fù)的有三種，故事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生的有種，概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算公式，考查列舉法求解古典概型問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.17.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學(xué)校800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．18.在中，角的對(duì)邊分別為，在條件①，②，③中任選一個(gè)解答．（1）求角A（2）若，，求的面積．【答案】（1）若選①，；若選②或③，；（2）若選①，；若選②或③，【解析】【分析】（1）選①，由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式變形可求得；選②，由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得角；選③，由正弦定理化邊為角，由誘導(dǎo)公式、二倍角公式變形可求得；（2）選①②③方法均相同：結(jié)合余弦定理求出，再由面積公式求得面積．【小問(wèn)1詳解】選擇條件①，由及正弦定理，得．又，所以有．因?yàn)椋裕畯亩校?，所以；若選②：由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以．若選③：由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，，所以．【小?wèn)2詳解】選擇①，又，，，所以，所以選擇②或③，，，所以，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，N為