保密★啟用前【考試時(shí)間：2025年1月14日9：45—11：45】高中2024級(jí)第一學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“準(zhǔn)考證號(hào)”欄目?jī)?nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.第I卷（選擇題，共58分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】通過舉反例可判斷A、B、D是假命題；利用作差法比較大小可判斷C正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不成立，故A是假命題；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不成立，故B是假命題；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，所以，故C是真命題；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不成立，故D是假命題；故選：D3.設(shè)有意義，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由有意義，可得，此時(shí)顯然成立，若，顯然成立，但是沒有意義，故選：A4.下列函數(shù)，滿足“對(duì)任意，且，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由對(duì)任意的，且，都有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.對(duì)于A，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在R上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，排除BD，再判斷奇偶性，排除C，最后得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域，排除B,D,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，排除C，所以函數(shù)的圖象大致為A.故選：A6.設(shè)函數(shù)則（）A. B.1 C. D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特殊角的余弦值和誘導(dǎo)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D7.將甲桶中的溶液緩慢注入空桶乙中，經(jīng)過后甲桶中剩余的溶液量符合指數(shù)衰減曲線.假設(shè)經(jīng)過甲桶和乙桶中的溶液量一樣，則乙桶中的溶液達(dá)到共需要注入的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用代入法求出的值，再根據(jù)所求問題列出方程，通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過甲桶和乙桶中的溶液量一樣，所以，即設(shè)乙桶中的溶液達(dá)到共需要注入的時(shí)間為，則有，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式.8.已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，則轉(zhuǎn)化為，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，一個(gè)根在另一根在，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】令，則，由函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)或另一個(gè)零點(diǎn)，則，則一元二次方程兩根為，即的一個(gè)根在另一根在，令，則有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，函數(shù)的值域是，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域性質(zhì)，結(jié)合基本不等式逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)的值域不是，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域是，且，所以有，因此選項(xiàng)AB正確，若且，所以由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，因此選項(xiàng)C不正確；由，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD10.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到且，即可判斷A，由可得的對(duì)稱軸，即可判斷B，再推導(dǎo)出，即可判斷C，最后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在時(shí)的解析式，即可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以且，又，所以，故A正確；因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；由，，所以，即，所以，則，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.函數(shù)是增函數(shù)C.函數(shù)是奇函數(shù) D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，結(jié)合奇函數(shù)的定義、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由，因此選項(xiàng)A正確；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，單調(diào)遞增，所以也單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋院瘮?shù)是不是奇函數(shù)，選項(xiàng)C不正確；由上可得，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以有且，因此選項(xiàng)D不正確，故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填寫在答題卡的橫線上.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)定義域的概念列出不等式求解即可；【詳解】由題意可得：，解得：且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3.某扇形的圓心角為2弧度，半徑為，則該扇形的面積為___________【答案】16【解析】【分析】利用扇形的面積S，即可求得結(jié)論．【詳解】∵扇形的半徑為4cm，圓心角為2弧度，∴扇形的面積S16cm2，故答案為：16.14.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上的最大值與最小值之差為2，則的值為__________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，，因此有，由，于是當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，由函?shù)圖象可知，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值與最小值之差為2，所以，因此，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)定義分別法求解即可；（2）先應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代入三角函數(shù)值計(jì)算求解.【15題詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，..【16題詳解】16.已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值（用表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式的解集為，得是方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得解；（2）函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，根據(jù)對(duì)稱軸分布的情況分類討論，即可求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】關(guān)于的不等式的解集為，是方程的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得，.【小問2詳解】由（1）知，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，.綜上，.17.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為.已知投入3萬元生產(chǎn)產(chǎn)品可獲利潤(rùn)為7萬元，投入32萬元生產(chǎn)產(chǎn)品可獲利潤(rùn)為65萬元.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）該企業(yè)現(xiàn)有47萬元資金全部投入兩種產(chǎn)品中，探究：怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1），（2）A生產(chǎn)線投資15萬元，B生產(chǎn)線投資32萬元時(shí)，企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為97萬元.【解析】【分析】（1）運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式進(jìn)行求解即可.小問1詳解】，，解得.，，解得.【小問2詳解】設(shè)A生產(chǎn)線投入萬元，則B生產(chǎn)線投入萬元，企業(yè)獲得利潤(rùn)為.由（1），得，，，整理，得，變形得，，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立..，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)A生產(chǎn)線投資15萬元，B生產(chǎn)線投資32萬元時(shí)，企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為97萬元.18.函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)在有三個(gè)不同的零點(diǎn)從小到大依次為，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）由題意函數(shù)的最小正周期為即可求出，由即可求出；（2）由求出，令由函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解；（3）函數(shù)的零點(diǎn)得，得或，分類討論即可得解.【小問1詳解】函數(shù)的最小正周期為，.，，.又，..【小問2詳解】令，則.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，解得.函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問3詳解】，或或，，由，有兩個(gè)不同的解，，，此時(shí)，，.19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茲等得出了“懸鏈線”的一般方程，最特別的懸鏈線是雙曲余弦函數(shù).類似的有雙曲正弦函數(shù)，我們也可以定義雙曲正切函數(shù).已知函數(shù)和具有如下性質(zhì)：①定義域都為，且是增函數(shù)；②是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；③.（常數(shù)e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）（1）求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；（2）求證：；（3）函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)，函數(shù)為上的奇函數(shù)，為上的偶函數(shù)得聯(lián)立方程組即可求解；（2）由（1）得函數(shù)和的解析式代入即可得證；（3）由（1）知，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的值域是，得關(guān)于的方程有兩個(gè)互異實(shí)根，令，方程有兩個(gè)互異正根，根據(jù)一元