第五章認(rèn)識(shí)方程知識(shí)歸納與題型突破01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、字母表示數(shù)1.用字母或含有字母的式子都可以表示數(shù)量。含有字母的式子既可以表示數(shù)量關(guān)系，也可以表示結(jié)果，表示數(shù)量關(guān)系時(shí)它的值是待定的。2.通常用固定的字母表示運(yùn)算律，用字母表示運(yùn)算律更簡(jiǎn)便易記。二、等量關(guān)系的意義等量關(guān)系是指數(shù)量之間具有的相等的關(guān)系。尋找等量關(guān)系的方法有很多，畫圖是最有效、最直觀的方法。同一個(gè)等量關(guān)系，可以用不同的形式表示。三、方程的意義1.含有未知數(shù)的等式叫方程。方程都是等式，但等式不一定都是方程。2.用方程可以表示等量關(guān)系。四、運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程1.等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立。這就是等式的性質(zhì)(一)。2.利用等式的性質(zhì)(一)可以解形如x+a=b和xa=b的方程，求出方程的解；求方程的解的過程叫解方程。3.等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立。這就是等式的性質(zhì)（二）。4.利用等式的性質(zhì)（二）可以解形如ax=b和x÷a=b的方程。書寫時(shí)不能用混合運(yùn)算的脫式寫法進(jìn)行計(jì)算。五、利用等式的性質(zhì)解形如“ax±b＝c(a≠0)”的方程0303題型歸納題型一用字母表示數(shù)和含字母式子的求值例1．（2024春?橋西區(qū)期末）李亮和張紅兩人同時(shí)從家出發(fā)相向而行，5分鐘后相遇。（1）用含有字母的式子表示李亮和張紅家之間的距離。（2）當(dāng)a＝75，b＝60時(shí)，他們兩家的距離是多少米？【分析】（1）路程＝速度×?xí)r間，據(jù)此求出李亮和張紅5分鐘各自行駛的路程，再將兩人行駛的路程相加即可求出李亮和張紅家之間的距離；（2）將a、b的取值代入（1）題的數(shù)量關(guān)系式即可求出他們兩家距離的具體數(shù)值。【解答】解：（1）5×a+5×b＝5a+5b＝5（a+b）（米）答：用含有字母的式子表示李亮和張紅家之間的距離是5（a+b）米。（2）當(dāng)a＝75，b＝60時(shí)，5×（75+60）＝5×135＝675（米）答：他們兩家的距離是675米?！军c(diǎn)評(píng)】用字母表示表示數(shù)時(shí)，數(shù)字與字母，字母與字母之間的乘號(hào)可以省略，也可以用小圓點(diǎn)“?”表示；字母與數(shù)字相乘時(shí)，省略乘號(hào)，并且把數(shù)字放在字母的前面。當(dāng)數(shù)字是“1”時(shí)，“1”常常省略不寫；多個(gè)字母相乘時(shí)，一般按字母順序書寫。鞏固訓(xùn)練1．（2024秋?萊蕪區(qū)期中）和諧號(hào)列車的平均速度為220千米/時(shí)，復(fù)興號(hào)列車的平均速度為350千米時(shí)。（1）行駛x小時(shí)，復(fù)興號(hào)比和諧號(hào)多行駛多少千米？（2）當(dāng)x＝9時(shí)，復(fù)興號(hào)比和諧號(hào)多行駛多少千米？【分析】（1）根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”分別求出復(fù)興號(hào)和和諧號(hào)行駛的路程，再比較；（1）把x＝9代入（1）的結(jié)果即可解答?！窘獯稹拷猓海?）350x﹣220x＝130x答：復(fù)興號(hào)比和諧號(hào)多行駛130x千米。（2）當(dāng)x＝9時(shí)，130x＝130×9＝1170（千米）答：復(fù)興號(hào)比和諧號(hào)多行駛1170千米?！军c(diǎn)評(píng)】掌握用字母表示數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。2．（2024秋?泗水縣期中）根據(jù)題意只列式不計(jì)算。（1）小明體重m千克，媽媽體重56.6千克，比小明重23.4千克。（2）2千克蘋果a元，買b千克蘋果要多少元？【分析】（1）小明的體重＝媽媽的體重﹣23.4；（2）根據(jù)“單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量”求出單價(jià)，再根據(jù)“總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量”即可求解?！窘獯稹拷猓海?）m＝56.6﹣23.4＝33.2（千克）答：小明體重33.2千克。（2）a÷2×b＝0.5ab（元）答：買b千克蘋果要0.5ab元。【點(diǎn)評(píng)】做這類用字母表示數(shù)的題目時(shí)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，把未知的數(shù)用字母正確地表示出來(lái)，然后根據(jù)題意列式計(jì)算即可得解。3．（2024春?濰坊期末）運(yùn)輸車從果園到市場(chǎng)用了7小時(shí)，平均每小時(shí)行a千米。返回時(shí)只用了5小時(shí)。（1）用含有字母的式子表示返回時(shí)的平均速度。（2）當(dāng)a＝60時(shí)，返回時(shí)的平均速度是多少千米/時(shí)？【分析】（1）首先根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，用運(yùn)輸車去時(shí)的速度乘用的時(shí)間，求出從果園到市場(chǎng)的距離是多少；然后根據(jù)路程÷時(shí)間＝速度，用果園到市場(chǎng)的距離除以返回用的時(shí)間，表示出返回時(shí)平均每小時(shí)行多少千米即可。（2）把a(bǔ)＝60代入（1）中求出的返回時(shí)的速度的表達(dá)式，求出返回時(shí)的速度是多少即可?！窘獯稹拷猓海?）7a÷5＝1.4a答：返回時(shí)平均速度是1.4a千米/時(shí)。（2）當(dāng)a＝60時(shí)1.4a＝1.4×60＝84答：當(dāng)a＝60時(shí)，返回時(shí)的平均速度是84千米/時(shí)?！军c(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了行程問題中速度、時(shí)間和路程的關(guān)系：速度×?xí)r間＝路程，路程÷時(shí)間＝速度，路程÷速度＝時(shí)間，要熟練掌握。（2）此題還考查了用字母表示數(shù)的方法，以及含字母式子的求值方法，要熟練掌握。題型二方程、等式的意義和解方程例2．（2024春?惠來(lái)縣期末）列方程，并解方程。（1）（2）我想一個(gè)數(shù)x，這個(gè)數(shù)乘6再減去3是117?！痉治觥浚?）由題圖可知：x的4倍加上45支的和等于129支，據(jù)此列方程求出x的值即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系：這個(gè)數(shù)×6﹣3＝117列方程解答即可?！窘獯稹拷猓海?）4x+45＝1294x+45﹣45＝129﹣454x＝844x÷4＝84÷4x＝21（2）6x﹣3＝1176x﹣3+3＝117+36x＝1206x÷6＝120÷6x＝20【點(diǎn)評(píng)】找出題中的等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，掌握等式的基本性質(zhì)是解方程的關(guān)鍵。鞏固訓(xùn)練1．（2023秋?豐潤(rùn)區(qū)期末）解方程，帶☆的要檢驗(yàn)。8x﹣4×14＝0☆（100﹣3x）÷2＝8【分析】先化簡(jiǎn)，根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)加上56，再同除以8求解。首先根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘2，然后兩邊再同時(shí)加上3x，兩邊再同時(shí)減去16，最后兩邊同時(shí)除以3即可。把求出的x的值代入原方程，看能否使方程左邊等于右邊進(jìn)行檢驗(yàn)即可?！窘獯稹拷猓?x﹣4×14＝08x﹣56＝08x﹣56+56＝0+568x÷8＝56÷8x＝7（100﹣3x）÷2＝8（100﹣3x）÷2×2＝8×2100﹣3x＝16100﹣3x+3x＝16+3x16+3x＝10016+3x﹣16＝100﹣163x＝843x÷3＝84÷3x＝28檢驗(yàn)：把x＝28代入方程（100﹣3x）÷2＝8，得：（100﹣3×28）÷2＝（100﹣84）÷2＝16÷2＝8＝方程右邊所以x＝28是方程（100﹣3x）÷2＝8的解?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程的方法，計(jì)算時(shí)要細(xì)心，注意把等號(hào)對(duì)齊。2．（2022春?埇橋區(qū)期末）請(qǐng)你畫圖或舉例說說下面這句話的意思：等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），等式仍成立．【分析】等式的性質(zhì)是指在等式的兩邊同時(shí)加、減同一個(gè)數(shù)，或同時(shí)乘、除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式，然后舉例說明即可．【解答】解：5+10＝15，（5+10）×2＝30，15×2＝30，（5+10）÷5＝3，15÷5＝3，所以等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），等式仍成立．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)等式的基本性質(zhì)的理解，要注意：同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須是0除外．3．（2023春?天門期中）3個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是2007，這三個(gè)數(shù)分別是多少？（列方程解）【分析】設(shè)中間的奇數(shù)是x，則這3個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為x﹣2，x，x+2，然后根據(jù)題意列出方程解答即可?！窘獯稹拷猓涸O(shè)中間的奇數(shù)是x，則這3個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為x﹣2，x，x+2。x﹣2+x+x+2＝20073x＝2007x＝669669﹣2＝667669+2＝671答：這三個(gè)數(shù)分別是669、669、671?！军c(diǎn)評(píng)】了解自然數(shù)中，奇數(shù)的排列規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵。題型三列方程解應(yīng)用題例3．（2024秋?順義區(qū)期末）某小區(qū)改造電路，裝完4個(gè)住戶后還剩120米。①每個(gè)住戶需要使用多少米電線？（列方程解答）②一個(gè)單元有12個(gè)住戶，共使用多少千米電線？【分析】①設(shè)每個(gè)住戶需要使用x米電線，根據(jù)等量關(guān)系：每個(gè)住戶需要使用電線的米數(shù)×4+剩下的米數(shù)＝總米數(shù)，列方程解答即可。②用每個(gè)住戶需要使用電線的米數(shù)乘12，即可得共使用電線的米數(shù)，再換算單位即可?！窘獯稹拷猓孩僭O(shè)每個(gè)住戶需要使用x米電線。1千米＝1000米4x+120＝10004x＝880x＝220答：每個(gè)住戶需要使用220米電線。②220×12＝2640（米）2640米＝2.64千米答：共使用2.64千米電線?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查列方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出基本數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)為x，由此列方程解決問題。鞏固訓(xùn)練1．（2023秋?岱岳區(qū)期末）某學(xué)校組織高年級(jí)學(xué)生到博物館研學(xué)，五年級(jí)學(xué)生有196人，比六年級(jí)的2倍少26人，六年級(jí)有學(xué)生多少人？（先畫線段圖，再列方程解答）【分析】根據(jù)比比六年級(jí)的2倍少26人，可知本題的等量關(guān)系：五年級(jí)學(xué)生人數(shù)×2﹣26＝六年級(jí)學(xué)生人數(shù)，據(jù)此等量關(guān)系式可列方程解答?！窘獯稹拷猓涸O(shè)六年級(jí)有學(xué)生x人。如圖：2x﹣26＝1962x﹣26+26＝196+262x÷2＝222÷2x＝111答：六年級(jí)有學(xué)生111人?！军c(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，然后根據(jù)等量關(guān)系式列方程解答。2．（2023秋?宣恩縣月考）父親的年齡是兒子的2倍，父子兩人的年齡和是87歲．父親、兒子各多少歲？【分析】設(shè)兒子x歲，則父親就是2x歲，依據(jù)父子兩人的年齡和是87歲可列方程：x+2x＝87，依據(jù)等式的性質(zhì)即可求解．【解答】解：設(shè)兒子x歲x+2x＝873x＝873x÷3＝87÷3x＝292×29＝58（歲）答：父親58歲，兒子29歲．【點(diǎn)評(píng)】本題還可以運(yùn)用和倍關(guān)系解答：以兒子年齡為標(biāo)準(zhǔn)量，則兩人年齡和就是兒子年齡的2+1＝3倍，運(yùn)用除法性質(zhì)即可解答．3．（2023秋?德江縣期末）“古有嫦娥奔月，今有神舟飛天。”2023年6月4日，神舟十五號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸成功著陸。本次航天員乘組在空間站組合體共工作生活186天。（用方程解答）【分析】