第六章平面向量及其應(yīng)用全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）給出下列四個命題，其中正確的命題是（

）A．若a∥b，則a與B．若A，B，C，D是不共線的四點，則“AB=DC”是“四邊形C．若a∥bD．“a=b”的充要條件是“|a【解題思路】利用向量的概念和共線向量的概念逐項判斷即可.【解答過程】零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當(dāng)a=0時，b≠但不滿足兩向量方向相同或相反，選項A錯誤；因為A，B，C，D是不共線的四點，AB=DC，所以AB∥若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=DC，所以“AB=當(dāng)b=0時，a∥當(dāng)a=b時，有|a|=|b|且a∥所以“a=b”是“|a故選：B．2．（5分）（24-25高一下·天津·階段練習(xí)）若向量a，b滿足|a|=|b|=2，A．a(chǎn)?b=?2 B．a(chǎn)與C．a(chǎn)?b<a+b 【解題思路】由模與數(shù)量積的關(guān)系求得a?b=2，再根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)確定a【解答過程】對于A，|a+b對于B，cos?a,b?=對于C，|a?b對于D，又a?b在b上的投影向量為故選：C.3．（5分）（24-25高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量a，b不共線，AB=4a+6b，A．A,B,D三點共線 B．A,B,C三點共線C．B,C,D三點共線 D．A,C,D三點共線【解題思路】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.【解答過程】對于A，BD=BC+對于B，AB=4a+6b，BC=?對于C，BC=?a+3b，CD=對于D，AC=即AC/CD，又線段AC與CD有公共點C，所以A,C,D故選：D．4．（5分）（23-24高一下·四川樂山·期中）如圖，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)AM=xAB，AN=yAC，則A．52 B．4 C．163【解題思路】利用三角形重心性質(zhì)，得AG=13AB+13AC，再由平面向量基本定理設(shè)【解答過程】如圖，延長AG交BC于點D，因點G是△ABC的重心，則AG=因M,G,N三點共線，則?t>0，使AG=t因AM=xAB，AN=y由①，②聯(lián)立，可得，tx=13(1?t)y=13則x+9y=(x+9y)?1當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時等號成立，即x=43,y=49故選：C.5．（5分）（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知AB=2，點P在弧AC上，且∠PBC=30°，則PA?

A．6?43 B．23?4 C．2【解題思路】以B為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求向量數(shù)量積.【解答過程】以B為原點，BC為x軸，點A在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則有B0,0，C2,0，A1,3,P為弧AC上的點且PA=PA?故選：A.6．（5分）（24-25高一下·廣東清遠·階段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東23km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距2503m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少.（A．21km/h B．221C．22km/h D．222【解題思路】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】如圖所示：

AB=250m=0.25kmtan∠CAB=設(shè)合速度為v，小貨船航行速度為v1，水流的速度為v則有v1v1故選：B.7．（5分）（24-25高一下·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,AB=2,AD=3,E為線段CD的中點，F(xiàn)為線段ABA．BC=B．若F為線段AB的中點，則λ+μ=1C．FC?FDD．μ的最大值比最小值大8【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，作出輔助線，利用相似求出邊長，求出點的坐標(biāo)，進而利用向量解決四個選項.【解答過程】以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過點C作CG⊥x軸于點G，作CH⊥y軸于點H，過點B作BM⊥CH交HC的延長線于點M，則△CDH～△BCM，因為AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60所以∠CDH=60°，設(shè)HD=x，則CH=3x，則BM=AH=3則DHCM=CHBM，即x2?則A0,0,B2,0BC=B若F為線段AB的中點，則F1,0所以EF=則58=54μ設(shè)Fm,0則FC?故當(dāng)m=38時，F(xiàn)C?EF=m?3因為0≤m≤2，則m?38∈解得：μ∈?310所以μ的最大值比最小值大85故選：C.8．（5分）（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且4S=3a2?b?cA．32，52 B．32,2【解題思路】由余弦定理結(jié)合面積公式，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，由正弦定理邊角互化，再應(yīng)用兩角和差公式化簡，最后應(yīng)用基本不等式及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即得.【解答過程】在銳角△ABC，由余弦定理可知2bccos由面積公式可得S△ABC4×1因為bc≠0，化簡可得sinA=?根據(jù)恒等變換可得sinA+π3所以0<A<π2,所以sinA=則bc因為銳角△ABC，所以0<C<π則π6<C<π2，則1tanC∈0,3所以b2+c2bc=b當(dāng)t=1時，是極小值y=2，當(dāng)t=12或t=2時，最大值則b2故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（23-24高一下·寧夏固原·期末）設(shè)a，b是非零向量，且a≠c，下列結(jié)論正確的是（A．若a?bB．若a?bC．若a?bD．若a?b【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的運算即可判斷A，B；根據(jù)向量的運算性質(zhì)和向量垂直的條件即可判斷C，D.【解答過程】對于A，若a?b=0，則a對于B，設(shè)a，b的夾角為θ，所以a?若a?b=a?b，則cosθ=1所以a//b，故對于C，若a?b=所以b?因為b≠0，a≠c，所以對于D，設(shè)a，b的夾角為θ，若a?b=所以a2所以a?b=0，所以a故選：BCD.10．（6分）（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（

A．BGB．AD在AB向量上的投影向量為2C．若OA?FC=(1+2)D．若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH【解題思路】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示計算可得BG=(2+1)AH、投影向量(22+1)AB、滿足【解答過程】如圖，以AE所在直線為y軸，GC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，則2=a2+A(0,?a),B(2設(shè)P(xA：BG=(?a?22B：AD=(得AD?ABABC：OA?PA?由OA?FC=(1+即y0=(1+2)xD：AP=(由AP=xAB+y整理，得x+y=y所以x+y∈[1,2+2故選：ABD.11．（6分）（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且ccosB+bcosA．若A=π3，則△ABCB．若A=π4，且△ABC只有一解，則bC．若A=π3，且△ABC為銳角三角形，則△ABCD．若△ABC為銳角三角形，AC=2，則AC邊上的高的取值范圍為3【解題思路】根據(jù)正弦定理邊角互化可得a=1，即可根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式求解A；根據(jù)正弦定理即可求解B，根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求C，根據(jù)余弦定理得3<c【解答過程】由正弦定理可得sinCcos因為0<A<π，所以sinA≠0，所以對于A，若A=π由余弦定理得cosA=由b>0，c>0，可得b2即bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，則△ABC面積12bcsinA≤1對于B，若A=π4，且a=1，由正弦定理得所以sinB=b當(dāng)sinB=1時，即22b=1對于C，若A=π3，由正弦定理得a=1+2由于△ABC為銳角三角形，故0<B<π2且0<2π因此B+π6∈對于D，由于△ABC為銳角三角形，AC=b=2，a=1，所a2故AC邊上的高為asin故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（23-24高一下·黑龍江大慶·期末）已知向量a,b滿足a=2,b=3,0，則向量a在向量b方向上的投影向量的坐標(biāo)為1【解題思路】由已知分別求出cos<a,【解答過程】由b=3,0得，因為向量a在向量b方向上的投影向量的坐標(biāo)為12所以a?cos<所以a?所以a?故答案為：10．13．（5分）（24-25高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則此時燈塔C位于游輪的南偏西60°【解題思路】由正弦定理得到AD=24，由余弦定理得CD=12，從而由正弦定理得到sin∠CDA=32，結(jié)合AD>AC【解答過程】如圖，在△ABD中，B=180

由正弦定理得ADsin45°在△ACD中，由余弦定理得CD因為AC=123,AD=24，所以解得由正弦定理得CDsin30°故∠CDA=60°或因為AD>AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA=60此時燈塔C位于游輪的南偏西60°故答案為：南偏西60°14．（5分）（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則PC?PD的取值范圍為0,4【解題思路】先求得PE的取值范圍，再利用向量數(shù)量積的運算法則將所求轉(zhuǎn)化為PE2【解答過程】因為正方形ABCD的邊長為2，取CD的中點E，連接PE，當(dāng)P在A點或B點時，PEmax當(dāng)P在弧AB中點時，PEmin所以PE的取值范圍為1,5因為EC=?ED=所以PC=PE因為PE∈1,5，所以PE所以PC?PD∈0,4，即故答案為：0,4.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（2025高一·全國·專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD、BC的中點，如圖．(1)寫出與向量FC共線的向量；(2)求證：BE=【解題思路】（1）由題意直接寫出與向量FC共線的向量即可；（2）證明四邊形BFDE是平行四邊形即可證明BE=【解答過程】（1）據(jù)題意，與向量FC共線的向量為：CF,FB,（2）證明：∵ABCD是平行四邊形，且E，F(xiàn)分別為邊AD，BC的中點，∴BF=ED，且BF//ED，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE=FD，且BE//FD，∴BE16．（15分）（23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）已知向量a=(2,0)，b(1)求|a(2)(a+b(3)若向量ka+b與a【解題思路】（1）求出a+（2）求出a+b和ma?b（3）由向量ka+b與a+2b的夾角為銳角，得到(ka+【解答過程】（1）由a=(2,0)，b=(1,4)知a+（2）由a=(2,0)，b=(1,4)知a+因為(a所以(a+（3）由題可得ka+b=(2k+1,4)，a+2故即是要(ka+b)?(a從而命題等價于4(2k+1)+4×8>02k+1≠2，即k>?92k≠117．（15分）（23-24高一下·山東威海·期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=23，CD=2，AB=4，F(xiàn)為BC的中點，點E滿足DE(1)用AB與AD表示AF；(2)求AE?(3)若點G為△AEF的重心，是否存在λ，使得A，C，G三點共線？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）利用向量的線性運算可得答案；（2）利用向量的線性運算、數(shù)量積的運算可得答案；（3）AG=12AD+2λ+312AB，AC=AD+【解答過程】（1）AF=（2）AE=AD+DE=所以AE?又因為λ∈[0,1]，所以AE?（3）若點G為△AEF的重心，則AG=又因為AC=若A，C，G三點共線，則?k∈R使得AG可得12=k2λ+3所以存在λ=0，使得A，C，G三點共線.18．（17分）（23-24高一下·浙江臺州·期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點M，且BE=λBC，DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時，求(3)求AF+【解題思路】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)幾何關(guān)系求出∠ABC和BC長度，當(dāng)AE⊥BC時，求出BE長度，從而可得λ=BE(2)設(shè)AM=xAE，DM=yDB，以AB,AD為基底用兩種形式表示出AM，從而可得關(guān)于(3)以AB,AD為基底表示出AE、AF，從而表示出AF+1