廣西柳州市2025年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1.已知都是正數(shù)，若，則的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用將化為積為定值的形式后，由基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.2.已知向量，，若與反向，則（）A.-30 B.30 C.-100 D.100【答案】D【解析】【分析】由向量共線求出x的值，進(jìn)而由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】解：由已知得與共線，則，解得，所以，所以，因此．故選：D.3.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，即可求出結(jié)果.【詳解】，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.三個(gè)數(shù)，，的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，，，，又函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.5.已知函數(shù)（且）過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在一次函數(shù)，的圖象上，則的最小值為（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)可得，代入可得，后由基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)榍?，令可得，，所以該函?shù)過(guò)定點(diǎn)；又點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B6.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)做出直觀圖形的面積，由直觀圖的面積和原圖的面積關(guān)系，得到結(jié)果．【詳解】根據(jù)矩形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，可得直觀圖的面積是由直觀圖的面積是原圖的面積的倍，原圖形的面積是．故選：A7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：C8.已知，，一條對(duì)稱軸為，若關(guān)于x的方程在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的對(duì)稱性求得的解析式，利用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱軸為，所以，，解得，，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，即，，令，則，則在上有兩個(gè)實(shí)根，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，又，則的大致圖象如圖，結(jié)合圖象可知，即.故選：A二、多選題9.函數(shù)，則關(guān)于說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是 B.函數(shù)的最大值是C.函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是 D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】本題首先可通過(guò)三角恒等變換得出，根據(jù)得出A錯(cuò)誤，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得出B正確，再然后根據(jù)對(duì)稱軸方程為即可判斷出C正確，最后通過(guò)不滿足得出D錯(cuò)誤.詳解】，最小正周期，A錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)性質(zhì)易知函數(shù)的最大值是，B正確；對(duì)稱軸方程為，即，當(dāng)時(shí)，，C正確；，不滿足，D錯(cuò)誤，故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，考查二倍角公式以及兩角差的正弦公式，考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性以及奇偶性，考查推理能力，是中檔題.10.下列各式中不成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A：根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算檢驗(yàn)等號(hào)是否成立；B：利用切化弦結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式判斷等式是否成立；C：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷結(jié)果是否正確；D：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷結(jié)果是否正確.【詳解】對(duì)于A：，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確；故選：AC.11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則不等式成立的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)函數(shù)圖象的解析式與性質(zhì)畫出的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)得出的圖象，再根據(jù)函數(shù)的周期，數(shù)形結(jié)合分析即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故，又為奇函數(shù)，所以有，所以，故，所以，故的周期為8.因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，故，解得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)與直線對(duì)稱以及函數(shù)的周期性作圖，且是的圖象往左平移2個(gè)單位所得，作圖如下.又不等式成立，即在的函數(shù)圖象下方，由對(duì)稱性得，當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合圖象可得與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，所以在這個(gè)周期內(nèi)，滿足題意的解為，則所有符合題意的解為.當(dāng)時(shí)，解為；當(dāng)時(shí)，解為；當(dāng)時(shí)，解為；當(dāng)時(shí)解為，故選：CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性，結(jié)合函數(shù)圖象平移的方法數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)不等式的問(wèn)題，難度較大.三、填空題12.已知logx27＝3，則x＝________.【答案】3【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)互化即可求出x.【詳解】因x3=27，而33=27，所以x=3.故答案為：313.函數(shù)的最大值是___.【答案】4【解析】【分析】利用配方法求得函數(shù)的最大值.【詳解】依題意，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次函數(shù)最大值的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.圓柱的底面積為，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么圓柱的側(cè)面積為__________．【答案】【解析】【分析】先解出底面半徑，求出底面圓周長(zhǎng)即為側(cè)面展開正方形的邊長(zhǎng)，然后求出側(cè)面積.【詳解】由得圓柱的底面半徑，故側(cè)面展開圖的邊長(zhǎng)為，所以圓柱的側(cè)面積是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積計(jì)算，較簡(jiǎn)單.四、解答題15.已知.（1）化簡(jiǎn)，并求出其定義域；（2）若，求的值.【答案】（1），的定義域?yàn)椋?）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式與同角的商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn).（2）由（1）的結(jié)論可求得，利用齊次式法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】，要使有意義，則，即，所以的定義域?yàn)?；【小?wèn)2詳解】由，可得，.16.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，其中．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量，的夾角為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）首先求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）依題意存在實(shí)數(shù)，使，根據(jù)平面向量基本定理計(jì)算可得；（3）首先求出，，再根據(jù)數(shù)量積的定義得到方程，解得即可.【小問(wèn)1詳解】，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，；【小問(wèn)2詳解】，且，存在實(shí)數(shù)，使，即，又，是夾角為的兩個(gè)單位向量，根據(jù)平面向量基本定理得，解得；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋?，且向量，的夾角為，，解得或．17.已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】向量，，由，得，所以.【小問(wèn)2詳解】向量，，由，得，所以.18.已知函數(shù)，，其中，，若的圖像相鄰兩最高點(diǎn)的距離為，且有一個(gè)對(duì)稱中心為.（1）求和的值；（2）若方程有解，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合條件先判定最小正周期得，再結(jié)合對(duì)稱中心求即可；（2）利用換元法求得在的值域，將方程有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有交點(diǎn)的問(wèn)題即可.【小問(wèn)1詳解】若的圖像相鄰兩最高點(diǎn)的距離為則的最小正周期，∴，又函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，∴，，又，∴.【小問(wèn)2詳解】由上得：，當(dāng)?shù)脮r(shí)，，時(shí)，，要在時(shí)有解等價(jià)于函數(shù)與在時(shí)有交點(diǎn)，則．19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊BC上，，，，且.（1）證明：；（2）求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)易得，根據(jù)已知條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、二