9.4空間幾何體的表面積和體積一、選擇題1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．多面體【答案】C【解析】對于A：圓柱的軸截面是矩形，與上下底面不平行的平面截得的截面是橢圓，故A不符合題意；對于B：由于圓錐的軸截面是等腰三角形，故B不符合題意；對于C：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓面，可得C符合題意；對于D：多面體無論如何截得的平面都不是圓，D不符合題意，故選：C.2．已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓柱體積為，故選：C．3．正方體的棱長擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積擴(kuò)大到原來的（

）A．2倍 B．12倍 C．18倍 D．36倍【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長為a，則其表面積為，故正方體的棱長擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積為，擴(kuò)大到原來的36倍，故選：D．4．一個棱長為的正方體的個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積和體積之比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知正方體外接球的直徑為，所以，故選：D.5．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的表面積是（

）A．3π B． C．6π D．9π【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長為，，所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，所以圓錐的表面積為，故選：A.6．如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，球的半徑，圓柱的底面半徑，高，則該幾何體的表面積為，故選：D.7．若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列結(jié)論錯誤的為（

）A．圓錐的底面半徑為1 B．圓錐的母線長為2C．圓錐的體積為 D．圓錐的高為【答案】C【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長為l，則有，解得，圓錐的高，圓錐的體積，即選項(xiàng)A，B，D都正確，C不正確，故選：C.8．某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓柱得底面半徑為，則高為，球的半徑為，所以圓柱體表面積，球得表面積，所以圓柱體表面積與球體表面積的比值為，故選：C.9．圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，所以，解得：，則球的體積為，故選：A.10．已知為棱長4的正四面體，則該正四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將正四面體補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正四面體的棱長為，所以正方體的邊長為，所以正方體的對角線長為，所以正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：C.二、填空題11．若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為.【答案】【解析】由題知，長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以，所以所以外接球的表面積，故答案為：．12．已知一個圓錐的底面半徑為，其側(cè)面積，則該圓錐的體積為．【答案】【解析】由圓錐側(cè)面積，解得母線，所以圓錐的高，圓錐體積，故答案為：．13．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，則這個圓柱的表面積和體積分別為.【答案】，【解析】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，所以該圓柱的底面周長和高均為，該圓柱的底面半徑，表面積，體積，故答案為：，．14．已知球內(nèi)接正方體的表面積為6，那么球體積等于. 【答案】【解析】設(shè)正方體的邊長為a，則正方體的表面積，解得：a=1，設(shè)正方體的外接球的半徑為r，則，所以，所以球體積，故答案為：．15．已知一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為的正方形和正三角形，則圓柱和圓錐的體積之比為．【答案】【解析】由題意得：圓柱的軸截面是邊長為的正方形，圓柱的底面半徑為，母線長，故圓柱的體積為，又圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，圓錐的底面半徑為，母線長，高線為，故圓錐的體積為，故圓柱和圓錐的體積比為，故答案為：．16．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的倍.【答案】2【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴(kuò)大為原來的4倍，則擴(kuò)大后的體積為，因?yàn)楦卟蛔?，故體積，即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，原來側(cè)面積為，擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為，故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍，故答案為：2．17．已知點(diǎn)，，，在同一個球的球表面上，平面，，，，則該球的表面積為.【答案】【解析】由于平面，所以，而，所以是長方體一個頂點(diǎn)引出的三條棱，設(shè)球的半徑為，則，所以，所以球的表面積為，故答案為：．18．已知一個健身球放在房屋的墻角處，緊靠墻面和地面，即健身球與圍成墻角的三個兩兩互相垂直的面都相切，若墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離，則球的體積是.【答案】【解析】由已知可得，球心與墻角頂點(diǎn)可構(gòu)成邊長為R的正方體，則球心到墻角頂點(diǎn)的距離為正方體的對角線，即，又墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離，則，解得，所以球的體積是，故答案為：．三、解答題19．（1）已知球的表面積為64π，求它的體積；（2）已知球的體積為π，求它的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）設(shè)球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4，所以球的體積：V＝×π×r3＝π；（2）設(shè)球的半徑為R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面積為：S＝4πR2＝4π×52＝100π．20．已知一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是、、，（1）求這個長方體的對角線長．

（2）求這個長方體的的體積【答案】(1)；

(2)【解析】解：（1）設(shè)此長方體的棱長分別為a，b，c，則，可得，解得，a=，b=1，這個長方體的對角線長l==．（2）由（1）可知：V=abc=．21.如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P－ABC的體積V.【答案】4【解析】解：因?yàn)?，，且，所以平面，所以，即三棱錐P－ABC的體積為4．22．已知一圓錐的母線長為10，底面圓半徑為6.（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的表面積.【答案】（1）8（2）【解析】解：（1）據(jù)題意知，圓錐的高.（2）據(jù)（1）求解知，圓錐的高為，設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為，三角形在，由勾股定理可得，所以，所以所求球的表面積．23．已知棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形的四棱錐．（1）求它的表面積；（2）求它的體積.【答案】(1)；(2)﹒【解析】（1）∵四棱錐的各棱長均為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，∴它的表面積為；（2）連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，則，故棱錐的體積．21．蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖1，一個普通的蒙古包可視為一個圓錐與一個圓柱的組合.如圖2，已知該圓錐的高為