題型184類(lèi)數(shù)列綜合

（數(shù)列中不等式的證明、不等式放縮、參數(shù)求解、三角函數(shù)綜合）

技法01數(shù)列中不等式的證明

技法02數(shù)列中的不等式放縮

技法03數(shù)列中的參數(shù)求解

技法04數(shù)列與三角函數(shù)綜合

技法01數(shù)列中不等式的證明

喟3?常見(jiàn)題型解讀

數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)

生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).

02

跟我學(xué)?解題思維司晰

s

例1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，且滿足

⑴證明：數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)歹!I;

]a9

（2）若?！傅?了，勿=^^，數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為北，證明：T<^<1.

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】（1）由=2"-1得'=（2"-1）凡,則當(dāng)〃22時(shí)，有=（2”T-1）%,

兩式相減得S“一Si=a"=（2"-1）%-Qi-1）?a,-,

整理得（2<2）%=Qi-1）%，即A=5。=2，

因此數(shù)列｛g｝是以3為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）及%-%=I可得％=2，

因此“rr咱”廠=/

2

111

7；=4+%+L+b=

所以n

由于典￡N*,所以。＜呼-

2

故y

哈魯?知識(shí)遷移強(qiáng)化

C

1.（2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，滿足々用一出="+l（〃eN*）,且%為

a2,見(jiàn)的等比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)T”為數(shù)列的前〃項(xiàng)和，證明：7；＞1.

[anan+lJX

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知凡是數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，4=；,且智,S用,3s向-1成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)包=S￡M,數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為T(mén)“，證明：3北＜%.

3.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考二模）已知S“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，q=2,Sn+l=Sn+4an-3,記

^,=log2(a?-l)+3.

]+Z?7

⑴求數(shù)歹￡〃｝的通項(xiàng)公式；(2)已知g=(-l嚴(yán)?/,記數(shù)列匕｝的前"項(xiàng)和為求證：T>^~.

n21

技法02數(shù)列中的不等式放縮

喟3?常見(jiàn)題型解讀

放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過(guò)多角度

觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).

(1)、(與<、，其中可稱乙為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式

n[Jn+1)nn\Jn-1)n

不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。

注：對(duì)于二，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例

n

如：——二———------—I,這種放縮的尺度要小于(1)中的式子。此外還可

“2"-1(n-l)(n+l)1n+lj

以構(gòu)造放縮程度更小的，如：

111411______

22

nn2_j_4H-l(2?-l)(2n+l)2(2"-12n+l)

H~4

1_2212

(2),從而有:2(J"+1-6)=<2(y/n—y/n—1)

GG+yfnyfn+y/n+1y/n+>Jn-1

1

注:對(duì)于還可放縮為:—j=<6-y/n-2,n>2,neN*

G

bA_i_7力/A_i_7力

(3)分子分母同加常數(shù)：一>-----(b>a>0,m>0Y->-------(a>b>0,m>0)

aa+maa+m

此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)

證不等關(guān)系。

2"2"2"2n-l

(4)----------二----------------------------------<-----------------------------------=-------------------------------------

(2"-1)2(2"-1)(2"-1)(2"—1)(2"—2)(2H

=—--------------(n>2,n&N*]

_12"-1V7

knknknk'1-1

可推廣為：------F

D

=——-------(n>2,k>2,k,nGN*)

——ir-r)

02

跟我學(xué)?解題思維司晰

例2.(2022?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?！埃凉M足q+2%+...+"%=g〃伽+1)(2〃+1).

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

c11131

(2)設(shè)S“=/+/+-+/，證明：Sn>-一一—.

4。22〃+1

［解題

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】(1)因?yàn)椋?2出+???+〃〃〃=,"(〃+1)(2〃+1),①

6

當(dāng)〃22時(shí)，4+2%H----F(〃一l)a〃T=—(n-l)(n-1+l)[2(n—1)+1]=—n(n-1)(2〃-1),②

66

①-②，得

na=—n(ji+1)(2〃+1)——n(ji—1)(2〃—1),所以Q〃=〃("22),

n66

又〃=1時(shí)，=—xlx2x3=l,

6

所以％=

(2)由(1)結(jié)合已知條件可得:5“=???+』.

12n

3131

當(dāng)”=1時(shí)，H=i,--^=1.即S,J-Q成立?

11

當(dāng)〃22時(shí),-2〉---------

nn(n+l)

111.1111111J___1_

所以邑二FH—不+…H—不>1H-------1--------F…H------------1H---------1---------F?+

I222n22x33x4n(n+l)2334nn+\

1+11

〃+l

3__1

2~~n+\

31

綜上'Sn~~~

〃+1

唁4人知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模）設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知S.，是首項(xiàng)為9、公差為:的等差

乙J

數(shù)列.

⑴求｛4“｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）令2=（2tlM,為數(shù)列出｝的前“項(xiàng)積，證明：6-l

3〃/=15

2.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛q,｝的前"項(xiàng)之積為（，滿足2%+7；=1

（幾￡N*）.

⑴設(shè)么=1+],求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式6,;

（2）設(shè)數(shù)列｛為｝的前w項(xiàng)之和為5“，證明:"邛『＜s=一

22(2)n222n+1-l4

3.（2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為=1,。“是%+i與-1的等差中項(xiàng).

⑴求證：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

11111c

（2）證明：—+—+—++—+—＜2.

a

%%。3n-\

4.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)對(duì)任意〃wN*,數(shù)歹￡見(jiàn)｝滿足。＜風(fēng)＜1,.＜也小，數(shù)列￡｝滿足％=也.

⑴證明：｛g｝單調(diào)遞增，且q,＜l;

（2）記么=笑這-1,證明：存在常數(shù)心使得

%+1?巴+2I

5.（2022?云南?云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為5“，且滿足q=:,

4+2邑九=。叱2）

⑴求怎和S“

(2)求證：+S；++…+4-----.

24〃

技法03數(shù)列中的參數(shù)求解

喘;考?常見(jiàn)題型解讀

對(duì)于此類(lèi)含參數(shù)不等式愿型，大部分可以通過(guò)分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，對(duì)于求最值，需要分析單調(diào)

性，函數(shù)類(lèi)型可通過(guò)運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷，數(shù)列可通過(guò)作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏

上、需強(qiáng)加練習(xí).

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛4｝中，％=-：,2a?=an_l-2n-2（n>2）.

（1）證明：數(shù)歹U｛q+27，｝是等比數(shù)歹!J；

⑵記數(shù)列｛"（4+2明的前“項(xiàng)和為［，若關(guān)于〃的不等式〃（2-7；）4也3恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

〃+1

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】（1）由題意可得：%+2=g,

當(dāng)〃22時(shí)，可得%=5o?_i—n—l,

1,,1.

則4+2〃=”「"1+2〃=+='，

%T+2（-1）??-,+2（?-1）a?-i+2（?-l）2

所以數(shù)歹支4+2”｝是以首項(xiàng)為公比為3的等比數(shù)列.

（2）由（1）可得：a“+2”=；x（J=J，則"（4+2〃）=/,

可得<毛+舁…+羨則以=!+舁…+號(hào)，

兩式相減得:1111n

=---1---7---r+…-I------------77

22223T2n+l

2

所以7；=2-耍

「、r/xn(n+2\A(n+2),n(n+l)

因?yàn)椤?2-4T則f《心

Zn+12

n（n+l）一一4、—口〃(〃+1)

原題意等價(jià)于關(guān)于”的不等式',矛恒成立,可得

Tmax

構(gòu)建￡=個(gè)

》("+1)(〃+2)

"濁+1則-2向

令'(11)解得〃=2或3,

1

b“2%>(?-)?

3

則4<勿=4>”>…，即當(dāng)〃=2或〃=3時(shí)，勿取到最大值5,

33

可得421,所以實(shí)數(shù)力的取值范圍不,+8

NL乙

吃餐?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?河南?信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知S“為數(shù)列?｝的前”項(xiàng)和，且色=嗎山,&=12,｛2｝為

正項(xiàng)等比數(shù)列，4=%-4,%=%.

⑴求證：數(shù)列忖,+1%+2一^｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

⑶設(shè)c“=」h，且數(shù)列C"的前”項(xiàng)和為r”，若北+二―23恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

肛n+1

2.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S“=2%-〃.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列也,｝滿足其前"項(xiàng)和為（，求使得空>器成立的〃的最小值.

anan+l2024

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)S“，(分別為數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和，且丹=2.

⑴若S〃="+2〃+3,4=|,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

132n-l一

(2)若?！?<，4=1,設(shè)機(jī)為整數(shù)，且對(duì)任意的MWN*,m>7-+7-+，,，+-V一恒成立，求機(jī)的最小值.

bXb2bn

4.(2023?浙江?統(tǒng)考一模)已知等差數(shù)列｛4｝滿足％=L

⑴若生+。4=抬，求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛d｝滿足b.=凡「2a「3,〃eN*,且也｝是等差數(shù)列，記T,是數(shù)列［的前〃項(xiàng)和.對(duì)任意

〃eN*,不等式41<2恒成立，求整數(shù)幾的最小值.

技法04數(shù)列與三角函數(shù)綜合

?常見(jiàn)題型解讀

數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可

和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維音L析

例4.(2023?山東濟(jì)南?一模)已知函數(shù)力(x)=sin2"x+cos2"x("eN*),記力(x)的最小值為與,數(shù)列｛%｝的

前“項(xiàng)和為S",下列說(shuō)法正確的是()

1。31

A.〃2=_B.$4=

22416

n

n\1

C.Zln(l+?,)<2D.若數(shù)列也｝滿足我1〃，則三姐+也+2<1

/=11一夠％/=14

技巧點(diǎn)撥o

22

【詳解】A選項(xiàng)，fx(x)=sinx+cosx=l,故q=l,

21

由基本不等式可得2kin4X+cos4%)Xsin2X+cos2%)=1,故力⑴之耳，當(dāng)且僅當(dāng)sir?無(wú)=cos?X時(shí)，等號(hào)成

立，

故%=；，A正確；

B選項(xiàng)，由柯西不等式得

66662233

f3(x)=sinx+cosx=(sin^+cosx)(sinx+cosx)>^sinx-sinx+cosx-cos之;,

當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=cos2%時(shí)，等號(hào)成立，

故〃3=一'

4

2(sin8x+cos8x)>(sin4x+cos4^)2，故力(1)=$甘%+以)58%21,當(dāng)且僅當(dāng)sir?%=cos?%時(shí)，等號(hào)成立，

/1

故。4=三，

O

依次類(lèi)推，可得力（x）=sin2"x+cos2"Mg「，當(dāng)且僅當(dāng)siYx=cos2x等號(hào)成立,

SLI+KTB錯(cuò)誤;

C選項(xiàng),設(shè)/z(x)=ln(l+x)—x,x>0,

貝||1（耳=占一1=三＜0在（0,+8）上恒成立,

故/z（x）=ln（l+x）—X在（0,+。）上單調(diào)遞減,

所以〃（力＜川0）=0,故ln（l+x）＜x在（0,+8）上恒成立,

Eln(l+aJ這InC正確;

Z=1Z=1

7111

b—_____=________=_

D選項(xiàng)，，，-l-loga?-門(mén)丫”一九，

9一1一抽3

Z(Z+1)(J+2)2/(z+1)(z+l)(z+2)

故￡物+也+2=7

2x32x33x4+(M+1)(〃+2)

2、lx2（w+l）（w+2）,42（w+l）（w+2）4,口」正確?

故選：ACD

【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和類(lèi)型：

刑11p__匚］1111______i_

刀式上,〃（“+女）n+k］'（2〃-1）（2〃+1）212〃一12n+l