2024-2025學(xué)年貴州省銅仁市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知數(shù)列｛廝｝是等差數(shù)列，若的=1,a9=17,則口5=()

A.5B.7C.9D.11

2.已知橢圓C：、+/=l(a〉0)的左頂點到上焦點的距離為2,貝UC的離心率為()

A.-B.—C.—D.V3

3.已知方程式2+y2—y/~3mx+V~5y+m2+1=0表示圓，則zn的取值范圍為()

A.(—oo,—1)u(L+8)B.(—1,1)

C.(-00,-3)U(3,+oo)D.(-3,3)

4.已知記=(2,—1,3),元=(一4,無〃)分別是平面a,0的法向量,且a〃S，則()

A.4=2〃B.2=〃C.3A+//=0D.2+3〃=8

5.圓M：(%-3)2+(y+2)2=1與圓N：%2+y2-14%-2y+14=0的公切線條數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

1

6.右數(shù)列｛廝｝滿足a1=2,0-n+l—d——,則&2025=()

A.2B.1C.-1D.i

7.平行六面體48CD中，底面A8CD是邊長為3的正方形，AAr=4,^BAAr=^DAAr=60°,

則4G的長為()

A.<58B.2719C.782D.10

8.過拋物線E：*=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45。的直線［與E交于4B兩點，且A,B兩點在y軸上的

正射影分別為點。，C.若梯形28C。的面積為48，！，則p=()

A.2B.4C.6D.8

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知數(shù)列｛即｝的前n項和匕=n2+2n+l,數(shù)列｛g｝滿足〃i+i=2b",則()

A.數(shù)列｛即｝的通項公式是％i=2n+1

B.若瓦>0,則數(shù)列｛%｝是遞增等比數(shù)列

C.若，n?bn=bp?bq,則m+n=p+q

16T7,—1

｛(2；-1).2n+2+8n>2

10.已知直線kx+lay-1=0；直線)：(3a—l)x—ay—1=0,貝U()

A.當(dāng)a=-l時，匕的一個方向向量為(1[)

B.若11〃2,則a=(

C.若"1l2,則a=1

D.點(一4,1)到G距離的最大值為5

11.直三棱柱ABC—A/iG中，側(cè)面A4/1B為正方形，AB=BC2,E、尸分別為力C、的中點，D為

棱A聲1上的動點,設(shè)瓦方=A07-%￡(0,1),且A/1BF,貝ij()

A.過點％,E,。的平面截該三棱柱所得的截面為梯形

B.無論點。如何運(yùn)動，都有BF1DE

C.當(dāng)2=3時，點B到平面DFE的距離為乎

D.己知H是平面DEF上的一動點，若乙4GC=N“GC，則點H的軌跡為拋物線

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知雙曲線C；捻—，=l(a>0,b>0)過點(4,0),且焦距為10,則C的漸近線方程為.

13.最新發(fā)布的Figare02實體機(jī)器人在平面內(nèi)的運(yùn)行軌跡方程為圓0：x2+y2=1,則它在行進(jìn)過程中與

經(jīng)過點力(3,0),B(0,4)的直線的最近距離是.

14.鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一塊完整的材料，將其雕成每層均同球心

的數(shù)層空心球.最內(nèi)層的空心球上有2個雕孔，向外每層雕孔依次增加固定的數(shù)量.制

作3個層數(shù)分別為3,6,機(jī)的鬼工球，其中6層的鬼工球比3層的鬼工球多出30個雕

孔，3個鬼工球之間的雕孔數(shù)相差最多為36,則機(jī)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列｛a*｝的前n項和為無,且多=2,S3=2a3.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)求數(shù)列《■｝的前幾項和七.

16.(本小題15分)

已知△ABC三個頂點分別是力(-1,5),B(5,5),C(6,-2).

(1)求448C外接圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M與直線Z：2x—y+2=0交于P,Q兩點，求|PQ|.

17.(本小題15分)

如圖，三棱錐P-4BC的邊BC上存在一點D,使得平面P4D底面力BC,且PD_L平面R4B,過點P作PE1

AD,垂足為E.

(1)證明：AB_L平面PAD；

(2)若力B=2。=2,AP=PD,BD=2CD,求PD與平面PAC所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

平面直角坐標(biāo)系比。y中，已知點&(—2,0),尸2(2,0)，動點P滿足IP&I-=±2，百，記點P的軌跡為曲

線C.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：丫=/^+，1與(7交于4B兩點，且瓦？?布＞9,求k的取值范圍.

19.(本小題17分)

平面直角坐標(biāo)系久。y中，已知橢圓C：捻+3=l(a〉6〉0)的左、右焦點分別為F2,離心率為：，經(jīng)

過尻且傾斜角為8(0＜6＜今的直線/與C交于4,B兩點(其中點力在x軸上方)，且△ABF?的周長為8.現(xiàn)將平

面xOy沿x軸向上折疊，折疊后4,B兩點在新圖像中對應(yīng)的點分別記為公,B],且二面角&-0尸2-4為

直二面角，如圖所示.

折疊前折疊后

(1)求折疊前C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)。=軻，折疊后，求平面名尸出與平面人/聲夾角的余弦值；

(3)探究是否存在。使得折疊后△&/F2的周長為苧？若存在，求tcm。的值；若不存在，說明理由.

參考答案

l.c

2.C

3.B

4.C

5.4

6.D

1.A

8.B

9.BD

10.AD

11.ABD

12.y=±|x

13-

14.2

15.解：(1)等差數(shù)列｛即｝的前幾項和為％,設(shè)公差為d,

1

由的=2,S3=2a3，可得3x2+-x3x2d=2(2+2d),

解得d=2,

則a九=2+2(n-1)=2n,九eN*；

(2)9=T-=工一士

Sn|n(2+2n)九九+1

wr汨T_11,11,,11_1_n

可得〃=1-尹］/…+丁市=11一市=市.

16.1?：(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a/+(y-6)2=產(chǎn),

△4BC三個頂點分別是4(一1,5),B(5,5),C(6,—2),

f(-l-a)2+(-5-b)2=r2徑=2

則((5—a)2+(5-6)2=產(chǎn)，解得卜=1,

((6—a)2+(—2—b)2-r2(r=5

故圓M標(biāo)準(zhǔn)方程為。-2尸+(y-I)2=25；

(2)設(shè)PQl,yl),QQ2,y2),

聯(lián)立圖UK2/)25,解得/=2或久2=-2,

2

故|PQ|=V1+k\x2—久il=x4=

17.(1)證明：因為平面PAD1■底面4BC,平面PADC底面ABC=4D,

PE1AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABC,

又ABu平面力BC,所以PEIAB,

因為PDl平面PAB,ABu平面ABC,所以PD1AB,

又PECPD=P,PE、PDu平面PAD,

所以4B1平面PAD.

(2)解：以4為原點，AB,4D所在直線分別為x,y軸，作力z〃PE,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由(1)知48_L平面PAD,

因為力Du平面PAD,所以力

又AB=AD-2,所以BD=2A/-2,CD=|BD=V~2,

因為PD1平面PAB,PAu平面PAB,所以PCIPA,

而2P=PD,AD=2,所以△PAD是等腰直角三角形,

所以4(0,0,0),P(0,l,l),D(0,2,0),C(-1,3,0),

所以麗=(0,1,-1),AP=(0,1,1)，AC=(-1,3,0)，

設(shè)平面P4C的法向量為記=(x,y,z),貝儼?竺=y+z=。,

(m-AC=—x+3y=0

取y=l,則汽=3,z=-l,所以記=(3,1,—1),

設(shè)PO與平面R4C所成角為仇則sin。=|cos<麗，m>\==噂^，

1\黑PD\-\*m\=V2XV1111

故PD與平面24c所成角的正弦值為名.

11

18.1?：(1)根據(jù)題意可得曲線C是以&(-2,0),F2(2,0)為焦點，實軸長為的雙曲線,

c=2,a=V-3,???b2—c2—a2=1,

雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷-必=1；

(2)設(shè)力(久1，%)3(久2，丫2)，

聯(lián)立e2=,得(3/—I)x2+6/2fcx+9=0,

1%—3y—3

則Ll=72k2—36(31一1)>0，解得左e(T，D且4*±-'

P,6AA2/C9

+%2=7f%7=7，

l-3kz3k-1

2

???yry2=(fc%i+7-2)(t%2+V_2)=kx1x2+7-2^(%1+%2)+2

9k2/2/c-672/c,3k2-2

=目-^T+2=E

:.OA?OB>9可化為：x1x2+y02>9,

9.3k2-2小

?*---Q---1---5-->9,

3k'—l3〃—1

*>9,

3k-1

《<k2<|,，ke(點,一苧口小，白

綜合可得々的取值范圍為(-苧,-?)u(?，苧).

rc_1

19.解：(1)由題意得：］,

<a2=Z)2+c2

a=2

解得b=V-3，

c=1

故折疊前橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程q+<=1.

43

(2)當(dāng)。=鄂寸，直線/的方程為：y=V~3(x+1)，

聯(lián)立4十3一工,

y=AA3(X+1)

解得2(0,O，B(—I，—手,0)，

以原來的久軸為%軸，y軸正半軸所在直線為z軸，y軸負(fù)半軸所在的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

則4(0,0,6),/(-|,-爭,0)，6(品1,0,0)，F(xiàn)2(1,0,0),

故硫=(一葺，等,0)，研=(—1,0,0)，

設(shè)平面4/1七的法向量為沅=(x,y,z),

(―>口D>n(133A/-3

則1nl.2=°,即一手“一丁y=N°,

⑺-F2Ar=0(_*+=0

取z=3,則％=3V3,y——13,

故記=(3V-3,—13,3),\m\=V27+169+9=V205.

平面B16F2的一個法向量為五=兩=(0A/3)，

iZ..—>m-n3V-337205

故COS〈m，m=砌=y27+169+9XV3=下廠'

設(shè)平面當(dāng)&尸2與平面所成的角為a，

cosa=|cos{m,n)|=唱段，

即平面/&尸2與平面a/iB所成角的余弦值為嚼

(3)以原來的x軸為x軸，y軸正半軸為y軸，y軸負(fù)半軸為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)折疊前B(x2,y2)>則折疊后力式打,打,0)，B1(x2,0,-y2')>

設(shè)直線2的方程為刀=my-1,其中瓶另=Jn，

，ktan。

常,y2_1

聯(lián)立了+至-1,消去X,

x=my—1

得（3m2+4）y2—6my—9=0

顯然△＞（）,且為+%=品2為力=一舄牙

由M1F2I+IB1F21+I&B1I=