階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)2構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)

際問題的四種數(shù)學(xué)模型習(xí)題課

解直角三角形及其應(yīng)用是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計(jì)算距離、高度、角度的應(yīng)用題，還有要求同學(xué)們根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學(xué)模型，將某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題來求解．運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決與實(shí)際生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近年來中考的熱點(diǎn)題型．1模型構(gòu)造一個(gè)直角三角形解實(shí)際問題1．【2017·臺(tái)州】如圖是一輛小汽車與墻平行停放

的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行

且距離為0.8米，已知小汽車車門寬AO為1.2米，

當(dāng)車門打開角度∠AOB為40°時(shí)，車門是否會(huì)

碰到墻？請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)如圖，過點(diǎn)A作AC⊥OB，垂足為點(diǎn)C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2

＝0.768(米)．∵汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8米，∴車門不會(huì)碰到墻．解：2．【2016·黔東南州】黔東南州某校吳老師組織九(1)班同

學(xué)開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿

的高．如圖，已知電線桿直立于地面上，某天在太陽

光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平

地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，

在C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)．(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)

據(jù)：

≈1.4，≈1.7)2構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題模型延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示．在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4m，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2(m)，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2

(m)，∵DH⊥BG，又易知∠G＝30°，∴HG＝

＝6(m)，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m).解：設(shè)AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝xm，BG＝m，∵BG－BC＝CG，∴x－x＝8，解得：x≈11.答：電線桿的高約為11m.3．【2017·紹興】如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，

小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為18°，

教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間

的距離AB＝30m.(1)求∠BCD的度數(shù)．(2)求教學(xué)樓的高BD.(結(jié)果

精確到0.1m，參考數(shù)

據(jù)：tan20°≈0.36，

tan18°≈0.32)3構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題模型(1)如答圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，

則有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由題意得，CE＝AB＝30m，

在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°，

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°，∴教學(xué)樓的高BD＝BE＋DE

＝CE·tan20°＋CE·tan18°≈20.4(m)．

答：教學(xué)樓的高約為20.4m.解：4構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問題模型4．【2017·濰坊】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一棟五層

居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5m；上面五

層居住，每層高度相等．測(cè)角儀支架離地1.5m，在A

處測(cè)得五樓頂部點(diǎn)D的仰角為60°，在B處測(cè)得四樓頂

部點(diǎn)E的仰角為30°，AB＝14m．求居民樓的高度．(精確到0.1m，參考數(shù)

據(jù)：≈1.73)設(shè)每層樓高為xm，由題意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，則DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝(4x＋1)m.∵A′B′＝C′B′－C