第1章引言和基本概念本課題主要研究二階常微分方程的解法及其應(yīng)用，在本章簡單介紹了常微分方程的發(fā)展?fàn)顩r和相關(guān)基本概念。1.1引言17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分，常微分方程也順勢(shì)誕生。常微分方程在與天體力學(xué)相關(guān)的問題中發(fā)揮著重要作用，如行星的運(yùn)動(dòng)軌跡和海王星的存在都是通過微分方程證實(shí)的，這使數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到了常微分方程的巨大作用。在微分方程歷史進(jìn)程中，歐拉首次將二階常微分方程通過變量替換化成一階常微分方程組，這推動(dòng)了對(duì)二階常微分方程的進(jìn)一步研究，歐拉給出的恰當(dāng)方程解法和特征根法均有著廣泛應(yīng)用。對(duì)于變系數(shù)齊次線性微分方程求解問題的研究，文獻(xiàn)[1]中介紹到拉格朗日給出了常數(shù)變易法，該方法在二階線性微分方程的求解問題中占有重大地位。文獻(xiàn)[2]中詳細(xì)介紹了拉普拉斯變換法，其廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)和科學(xué)研究方面。常微分方程在許多科學(xué)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用，許多現(xiàn)實(shí)問題都可以化成對(duì)常微分方程的求解問題。如文獻(xiàn)[3,4]中提到的數(shù)學(xué)擺的運(yùn)動(dòng)軌跡和電磁振蕩等實(shí)際問題均利用了二階常微分方程進(jìn)行求解，文獻(xiàn)[5]總結(jié)了常微分方程在軍事、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了常微分方程的求解問題。對(duì)于二階常微分方程在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，但是能夠求解的類型很少，所以探討二階常微分方程的解法是一項(xiàng)很有意義的工作。本文對(duì)這類方程的解法進(jìn)行了探討，給出了若干特殊二階常微分方程的求解方法，并進(jìn)行了舉例應(yīng)用。1.2基本概念有關(guān)常微分方程的基本概念可參見文獻(xiàn)[3]，作為下文內(nèi)容的預(yù)備知識(shí)。常微分方程自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程REF_Ref1564\r\h[3]。階數(shù)把微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階數(shù)REF_Ref1564\w\h[3]。二階常微分方程的一般形式為（1-1）其中是關(guān)于，，，的已知函數(shù)，并且一定有REF_Ref1564\w\h[3]。二階線性微分方程（1-2）方程（1-2）為二階線性微分方程的一般形式，其中，，都是的已知函數(shù)[3]。解將函數(shù)代入方程（1-1）后，若能使其變成恒等式，則把稱作方程（1-1）的解REF_Ref1564\w\h[3]。通解和特解把含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，的解稱為方程（1-1）的通解。滿足初值條件解的稱作方程（1-1）的特解REF_Ref1564\w\h[3]。第2章一階微分方程的初等解法二階常微分方程一般沒有普遍適用的解法，通常需要對(duì)原方程通過變量變換進(jìn)行降階，在求解過程中經(jīng)常運(yùn)用到一階微分方程的解法，在介紹二階常微分方程的解法與應(yīng)用之前，先介紹幾類典型的一階微分方程的解法，可參見文獻(xiàn)[3]。2.1變量分離方程（1）定義形如（2-1）的方程，稱為變量分離方程，其中，分別是，的連續(xù)函數(shù)。（2）解法如果，可將式（2-1）改寫成，變量得以分離,兩邊積分，可得（2-1）的通解為（2-2）若存在使，則也是方程（2-1）的解。2.2線性微分方程（1）定義形如（2-3）的方程，稱為一階線性微分方程，其中，是在區(qū)間上關(guān)于的連續(xù)函數(shù)。若，則（2-4）方程（2-4）為一階齊次線性微分方程。若，則方程（2-3）稱為一階非齊次線性微分方程。（2）解法利用2.1節(jié)的方法，可以求得方程（2-4）的通解為（2-5）其中為任意常數(shù)。考慮方程（2-3），其為方程（2-4）的特殊情形，令（2-6）微分得到（2-7）將方程（2-6）（2-7）代入到方程（2-5）中，得到積分得代入（2-6），可得方程（2-5）的通解.（2-8）這種方法稱為常數(shù)變易法，通過以上變換可將方程（2-3）化成變量分離方程，解決求解問題。2.3隱方程形如的方程，稱為一階隱式微分方程。如果很難從該方程中求解，或所求出的的表達(dá)式十分復(fù)雜，則可以采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使其變化為導(dǎo)數(shù)已經(jīng)解出的方程類型。2.2.1可以解出的方程考慮可以解出的方程，其形如（2-9）令，則有（2-10）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得（2-11）若方程（2-11）的通解為則方程（2-9）的通解為.若方程（2-11）的通解為，則方程（2-9）的參數(shù)形式通解為，其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。若方程（2-11）的通解為則方程（2-9）的參數(shù)形式通解為其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。2.2.2可以解出的方程考慮可以解出的方程，其形如（2-12）令，則有（2-13）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得（2-14）若方程（2-14）的通解為則方程（2-11）的通解為.若方程（2-14）的通解為，則方程（2-11）的參數(shù)形式通解為，其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。若方程（2-14）的通解為則方程（2-11）的參數(shù)形式通解為，其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。2.2.3不顯含的方程不顯含的方程形如（2-15）令，則有（2-16）方程（2-16）的參數(shù)形式為方程（2-15）滿足，由方程（2-17）知積分得故方程（2-15）的通解為其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。2.2.4不顯含的方程不顯含的方程形如（2-17）令，則有（2-18）方程（2-18）的參數(shù)形式為其中是參數(shù)，有關(guān)系式，所以積分得故方程（2-17）的通解為其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。第3章二階線性微分方程的解法本章先介紹二階線性微分方程的一般理論，再探討其求解方法。3.1二階線性微分方程的一般理論REF_Ref1564\w\h[3]二階線性微分方程形如（3-1）其中，及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)時(shí)，即方程（3-2）稱為二階齊次線性微分方程。當(dāng)時(shí)，稱為二階非齊次線性微分方程。3.1.1二階齊次線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理1（疊加原理）若方程（3-2）有兩個(gè)解和，則也是該方程的解，其中，為任意常數(shù)REF_Ref1564\w\h[3]。定義1（線性相關(guān)）設(shè)，為定義在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)，，使得對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的一切，有恒等式成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在內(nèi)線性相關(guān)，否則線性無關(guān)REF_Ref1564\w\h[3]。定理2如果在區(qū)間上，有或，則和在區(qū)間上線性無關(guān)[3]。（其中和和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)）證明假設(shè)和在區(qū)間上線性相關(guān)即存在不全為零的常數(shù)，，使得不妨設(shè)，則有，此時(shí)為常數(shù)故與定理矛盾，假設(shè)不成立即和在區(qū)間上線性無關(guān)。定義2（朗斯基行列式）有兩個(gè)可微函數(shù)，，在區(qū)間上有定義，則由，作成的行列式稱為朗斯基行列式REF_Ref1564\w\h[3]。定理3若函數(shù)，在區(qū)間上線性相關(guān)，則在區(qū)間上，反之不成立REF_Ref1564\w\h[3]。定理4（通解結(jié)構(gòu)定理）若方程（3-2）有兩個(gè)線性無關(guān)的解，，則方程（3-3）可表示為方程（3-2）的通解，其中，為任意常數(shù)，并且它包含了方程（3-2）的所有解REF_Ref1564\w\h[3]。3.1.2二階非齊次線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)性質(zhì)1若是方程（3-1）的解，是方程（3-2）的解，則也是方程（3-1）的解REF_Ref1564\w\h[3]。性質(zhì)2方程（3-1）的任意兩個(gè)解之差一定是方程（3-2）的解REF_Ref1564\w\h[3]。定理5設(shè)，是方程（3-2）的基本解組，方程（3-1）有一解，則方程（3-1）的通解表示為（3-4）其中，為任意常數(shù)，并且它包含了方程（3-1）的所有解REF_Ref1564\w\h[3]。定理6如果方程（3-2）的系數(shù)和均為實(shí)值函數(shù)，而是方程（3-1）的復(fù)值解，則其實(shí)部，虛部，共軛復(fù)值函數(shù)都是方程（3-2）的解REF_Ref1564\w\h[3]。3.2二階常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式（3-5）其中，是常數(shù)。若，即方程（3-6）稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。若，則稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。由定理4和定理5可知，求方程（3-5）的通解只需要求它的一個(gè)特解和方程（3-6）的基本解組。3.2.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法這部分給出了求解基本解組的特征根法（又稱歐拉待定指數(shù)函數(shù)法）。考慮方程（3-6）試求形如的解，其中是待定常數(shù)，將代入方程（3-6），得到，其中，于是有（3-7）因此是方程（3-6）的解的充分必要條件是是方程（3-7）的根，方程（3-7）稱為方程（3-6）的特征方程，它的根稱為特征根。對(duì)于方程（3-7），記。情形1：特征根是單根（1）若，則方程（3-7）有兩個(gè)相異實(shí)根，有，方程（3-6）的兩個(gè)解為，，并且，由定理2可知，和線性無關(guān)，則方程（3-6）的通解為.若，則方程（3-7）有一對(duì)共軛復(fù)根，有，與這對(duì)共軛復(fù)根相對(duì)應(yīng)的，方程（3-6）有兩個(gè)復(fù)值解由定理6可知，方程（3-6）的兩個(gè)實(shí)值解為，則方程（3-6）的通解為.情形2：特征根有重根若，則方程（3-7）有兩個(gè)相等的實(shí)根，得到方程（3-6）的一個(gè)特解，現(xiàn)在求另一個(gè)與線性無關(guān)的特解，由定理2可知，應(yīng)滿足,設(shè)，即，帶入到方程（3-6），整理得到，因?yàn)槭欠匠蹋?-7）的二重根，所以有，，得，取特解，即得，故方程（3-6）的通解為.例1求方程的通解解特征方程為特征根為，特征根為兩個(gè)實(shí)根，故方程通解為例2求方程滿足初始條件，的特解解特征方程為特征根為其通解為因?yàn)?，，有，即故特解?.2.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的幾個(gè)解法在3.2.1節(jié)介紹了求解基本解組的特征根法，所以這部分主要給出方程（3-5）的特解的解法。3.2.2.1常數(shù)變易法考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（3-5）其對(duì)應(yīng)齊次方程為（3-6）由上文可知，方程（3-4）對(duì)應(yīng)的特征方程為（3-7）徐新榮REF_Ref3291\w\h[6]總結(jié)了一種常數(shù)變易法，該方法得出了方程（3-5）的一個(gè)特解公式?；舅悸肥窍壤锰卣鞲ㄇ蠼夥匠蹋?-6）的基本解組，再利用方程（3-6）的一個(gè)特解，根據(jù)常數(shù)變易法求解方程（3-5）的特解，從而得到原方程通解。（1）REF_Ref3291\w\h[6]若是方程（3-7）的實(shí)根，則是方程（3-6）的解，根據(jù)常數(shù)變易法設(shè)方程（3-5）的一個(gè)解為（3-8）求導(dǎo)可得，（3-9）將方程（3-8）與方程（3-9）代入到方程（3-5）中，可得到其為關(guān)于的一階線性微分方程，解得積分得令，有特解從而得到方程（3-5）的一個(gè)特解為.（3-10）若是方程（3-7）的復(fù)根，則設(shè)，，由定理6可知，方程（3-6）有實(shí)值解，根據(jù)常數(shù)變易法設(shè)方程（3-5）的一個(gè)解為，依據(jù)（1）的方法，可得方程（3-5）的一個(gè)特解為.在教材[3]中，是利用方程（3-6）的基本解組通過常數(shù)變易法直接求得方程（3-5）的通解的，方法如下。（2）REF_Ref1564\w\h[3]設(shè)，是方程（3-8）的基本解組，即其通解為將常數(shù)變易為的待定函數(shù)，設(shè)方程（3-5）的通解形式為（3-11）將上式代入方程（3-5），則可得到關(guān)于，的方程組可解得，積分得，，其中為任意常數(shù)，將代入方程（3-11）中，得到方程（3-5）的通解.例3求方程的通解解法1所對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為特征根為，特征根為兩個(gè)實(shí)根，故齊次方程通解為設(shè)特解為求導(dǎo)得將，，代入到原方程，得到解得積分得可得一個(gè)特解可得原方程的一個(gè)特解故原方程的通解為.解法2由解法1可得齊次方程的基本解組為，，令將其代入原方程，可得解得，積分得，代入，得方程通解為3.2.2.2比較系數(shù)法比較系數(shù)法是利用代數(shù)方法求解方程（3-5）特解的，是一種較為簡便的求解方法。類型1REF_Ref3494\w\h[7]（其中為實(shí)常數(shù)，為次多項(xiàng)式）設(shè)特解為，其中是多項(xiàng)式，可得，，將以上兩個(gè)式子代入方程（3-4），得到.（3-12）要使方程（3-12）兩端恒等，在不同情形下，應(yīng)有以下形式的特解：情形（1）若不是的特征根，則特解形式為.情形（2）若是的單根，則特解形式為.情形（3）若是的重根，則特解形式為.例4求方程的通解解原方程所對(duì)應(yīng)的的齊次方程為特征方程為特征根，齊次方程的通解為因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃栽O(shè)特解形式為代入原方程，得到解得,則特解為那么原方程通解為類型2REF_Ref1564\w\h[3]（其中，為帶實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，一個(gè)次數(shù)為，另一個(gè)次數(shù)不超過，而，為常數(shù)）此時(shí)方程（3-5）有形如下面形式的特解其中，,是待定的帶實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，它們的次數(shù)都不高于的多項(xiàng)式。例5求微分方程的通解解特征方程為特征根為所對(duì)應(yīng)的的齊次方程的通解為因?yàn)槭翘卣鞲O(shè)特解為代入原方程，得到解得，通解為.3.2.2.3拉普拉斯變換法REF_Ref1564\w\h[3]（1）定義由積分所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為，稱為原函數(shù)，為像函數(shù)[3]。（2）性質(zhì)在文獻(xiàn)[8]中給出了拉普拉斯變換的一般概念和基本性質(zhì)以及拉普拉斯變換簡表。性質(zhì)3REF_Ref3683\w\h[8]（線性性質(zhì)）如果，是原函數(shù)，，是兩個(gè)任意常數(shù)，則有.性質(zhì)4REF_Ref3683\w\h[8]（原函數(shù)的微分性質(zhì)）若，，都是原函數(shù)，則有.給定方程（3-5）及初值條件，（3-13）記（3）利用拉普拉斯變換求解二階非齊次線性微分方程步驟為令對(duì)方程兩端各項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到即或根據(jù)拉普拉斯逆變換或查表求出原函數(shù)：例6求微分方程，解令，則有，令兩邊做拉普拉斯變換得到，整理得查拉普拉斯變換表得所以所求解為.3.3二階變系數(shù)線性微分方程的解法考慮二階變系數(shù)線性微分方程（3-1）當(dāng)時(shí)，稱方程（3-1）為二階非齊次線性微分方程。當(dāng)時(shí)，有（3-2）稱方程（3-2）為二階齊次線性微分方程。在本科常微分方程教材中，一般只介紹方程（3-2）的解法,而方程（3-1）沒有通用的解法。求解這類方程解法的一般思路是：1.通過變換將方程化為常系數(shù)線性微分方程來求解；2.通過變換將方程降階化為一階微分方程再求解。這一章將介紹幾個(gè)特殊的解法。3.3.1降階法REF_Ref1564\w\h[3]對(duì)于方程（3-2），如果知道它的一個(gè)非零解，就可以利用降階法化為一階齊次線性微分方程，從而可以求得原方程的解。具體解法如下：設(shè)方程（3-2）有一個(gè)已知的非零解，作變換，原方程化為解得所以（3-14）其中，是任意常數(shù)。方程（3-1）的通解可表示為式（3-14），它包括了原方程的所有通解。例7已知是的一個(gè)解，求方程的通解解令，由方程（3-14）可知原方程的通解為3.3.2行列式解法REF_Ref3843\w\h[9]文獻(xiàn)[8]介紹了行列式解法，該方法可以求得原方程的一個(gè)特解，再利用3.3.1節(jié)的降階法，就可以得到原方程的通解?？紤]二階齊次線性微分方程（3-15）根據(jù)行列式的性質(zhì)，方程（3-15）用行列式表示的形式為（3-16）（3-16）為對(duì)應(yīng)于方程（3-15）的行列式微分方程。性質(zhì)5將行列式（3-16）的某一行各元素同乘以一個(gè)不恒為零的函數(shù)，其解不變。性質(zhì)6將行列式（3-16）的某一行各元素同乘以一個(gè)不恒為零的函數(shù)，然后加到另一行對(duì)應(yīng)元素上，其解不變。定理7若可以利用行列式的性質(zhì)，將（3-16）轉(zhuǎn)換為方程那么，是方程（3-16）的解。定理8若可以利用行列式的性質(zhì)，將（3-16）轉(zhuǎn)換為方程那么，和都是方程（3-16）的解。下面通過舉例應(yīng)用來說明行列式解法。例8求解微分方程解原方程的行列式方程為第二行各元素乘以后加上第三行各元素，最后同乘以（），得到（3-17）若是方程（3-17）的解，則應(yīng)滿足整理得，即利用變量分離法，解得取，原方程的一個(gè)特解為利用3.3.1介紹的降階法，可得原方程的通解為.3.3.3代數(shù)方法REF_Ref3902\w\h[10]這一節(jié)研究了一類具有某形式非平凡解的二階微分方程，這類方程可以通過變換降為一階方程，進(jìn)而求解。考慮二階齊次線性微分方程（3-2）其中，在某區(qū)間上連續(xù)，若存在某常數(shù)，使得對(duì)一切，有（3-18）則方程（3-2）具有非平凡解，再利用3.3.1節(jié)的降階法便可求得通解。例9求微分方程解由于代數(shù)方程對(duì)于一切實(shí)數(shù)，有常數(shù)，故原方程有非平凡解根據(jù)3.3.1節(jié)的降階法，由方程（3-14），可得原方程的通解為3.3.4冪級(jí)數(shù)解法REF_Ref1564\w\h[3]并非所有微分方程的解都可以用冪級(jí)數(shù)來表示，當(dāng)方程滿足一定條件時(shí)它的解才可以用冪級(jí)數(shù)來表示。定理9若方程（3-2）中系數(shù)和都能展成的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為，則方程（3-2）的特解形如它以為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間REF_Ref1564\w\h[3]。定理10若方程（3-2）中系數(shù)和具有這樣的性質(zhì)，即和均能展成的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為，若，則方程（3-2）有形如的特解，為一個(gè)待定的常數(shù)REF_Ref1564\w\h[3]。在文獻(xiàn)[3]中提到的這兩個(gè)定理，可以求解相應(yīng)條件的微分方程。例10求微分方程的通解解系數(shù),，都能展開成的冪級(jí)數(shù)，并且收斂區(qū)間為所以可設(shè)方程的解為則有，將，，代入原方程，整理得到即，有，，故原方程的通解為.3.3.5歐拉方程的解法REF_Ref4117\w\h[11]二階歐拉方程形如（3-19）其中，為常數(shù)，方程（3-19）可以通過變量變換化為常系數(shù)齊次線性微分方程。作變量變換，求導(dǎo)，得到，代入原方程，得到（3-20）這樣就把方程（3-19）化為一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，根據(jù)方程解的形式，可以假設(shè)原方程有形如的解。一般步驟：1.將代入方程（3-19），得到即（3-21）2.若方程（3-21）有兩個(gè)相異實(shí)根，，則方程（3-19）的通解為3.若方程（3-21）有一對(duì)共軛復(fù)根，則方程（3-19）的通解為4.若方程（3-21）有二重實(shí)根，則方程（3-19）的通解為5.若方程（3-21）有二重復(fù)根，則方程（3-19）的通解為.例10求解方程解令，代入原方程得解得，原方程通解為，其中，是任意常數(shù)。第4章二階非線性微分方程的解法對(duì)于二階非線性微分方程，一般沒有固定的解法，求解的基本思路就是通過變量變換進(jìn)行降階。我們?cè)谶@部分介紹幾類可降階的二階非線性微分方程的解法，如果方程能降低一階變成一階微分方程，求解的可能性就增大了。4.1不顯含未知函數(shù)方程REF_Ref1564\w\h[3]此類方程不顯含未知函數(shù)，求解步驟一般為令，則，原方程化為關(guān)于的一階方程，即設(shè)其通解為則有積分，可得原方程的通解（4-1）其中，為任意常數(shù)。例11求解微分方程解令，則原方程為整理得解得即積分得故原方程的通解為.4.2不顯含自變量的方程REF_Ref1564\w\h[3]此類方程不顯含自變量，求解步驟一般為令，則，原方程化為一階方程設(shè)其通解為則有分離變量后積分，可得原方程的通解（4-2）其中，為任意常數(shù)。例12求解解設(shè)，則原方程為，即解得即求得通解為.4.3形如的方程REF_Ref4323\w\h[12]討論方程（4-3）令，則，方程（4-3）化為（4-4）兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得（4-5）則方程（4-5）是以為自變量，為未知函數(shù)的一階微分方程。若方程（4-5）的通解為，則有對(duì)上式積分，得（4-6）方程（4-6）是原方程的通解。若方程（4-5）通解為，方程（4-4）的通解形式為（為參數(shù)）由有積分，可得，則方程（4-3）的通解形式為若方程（4-5）通解為，則方程（4-4）的通解為若，可由，解得，則方程（4-4）的通解形式化為此時(shí)可按照方法（2）求解方程（4-3）的通解。例13求解微分方程解令原方程化為兩邊關(guān)于求導(dǎo)得整理得令，則有解得即，則方程有參數(shù)形式的通解所以原方程的通解形式為其中為參數(shù)。4.4形如的方程[12]討論方程（4-7）令，則,方程（4-6）化為（4-8）兩邊關(guān)于求導(dǎo)得（