第二章第6節(jié)：函數(shù)的微分教學(xué)目的：掌握微分的定義，了解微分的運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分，會(huì)利用微分作近似計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：微分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：微分的定義，利用微分作近似計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：微分的定義圖2-1計(jì)算函數(shù)增量是我們非常關(guān)心的。一般說(shuō)來(lái)函數(shù)的增量的計(jì)算是比較復(fù)雜的，我們希望尋求計(jì)算函數(shù)增量的近似計(jì)算方法。圖2-1先分析一個(gè)具體問(wèn)題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到（圖2-1），問(wèn)此薄片的面積改變了多少？設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為，面積為，則是的函數(shù)：。薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量自取得增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量，即。從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無(wú)窮小，即。由此可見(jiàn)，如果邊長(zhǎng)改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量可近似地用第一部分來(lái)代替。一般地，如果函數(shù)滿(mǎn)足一定條件，則函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴(lài)于的常數(shù)，因此是的線性函數(shù)，且它與之差，是比高階的無(wú)窮小。所以，當(dāng)，且很小時(shí)，我們就可近似地用來(lái)代替。定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為，①其中是不依賴(lài)于的常數(shù)，而是比高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即。定理1函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則按定義有①式成立。①式兩邊除以，得。于是，當(dāng)時(shí)，由上式就得到。因此，如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)也一定可導(dǎo)（即存在），且。反之，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，上式可寫(xiě)成，其中（當(dāng)）。由此又有。點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。當(dāng)很小時(shí)，比小得多。因此在點(diǎn)的鄰近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。微分運(yùn)算法則及微分公式表由，很容易得到微分的運(yùn)算法則及微分公式表（當(dāng)都可導(dǎo)）：，，，。微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，。注：上述公式必須記牢，對(duì)以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處，而且上述公式要從右向左背。例如：，，，。復(fù)合函數(shù)微分法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下：設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為。由于，所以，復(fù)合函數(shù)的微分公式也可以寫(xiě)成或。由此可見(jiàn)，無(wú)論是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù)，微分形式保持不變。這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當(dāng)變換自變量時(shí)（即設(shè)為另一變量的任一可微函數(shù)時(shí)），微分形式并不改變。例4求的微分解自我訓(xùn)練：（1），求。（2），求。（3）有一半徑為的鐵球，鍍上0.01cm厚的銀，問(wèn)大約用多