類(lèi)型三與折疊有關(guān)的探究題（專(zhuān)題訓(xùn)練）

1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：如圖1,在二ABC中，AB=AC=11,5c=30,

AD是BC邊上的中線(xiàn).如圖2,將ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)2,C分別沿折疊后均與點(diǎn)。

重合，折痕分別交A民AC,8c于點(diǎn)E,G,F,H.

猜想證明：

（1）如圖2,試判斷四邊形AEDG的形狀，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決；

⑵如圖3,將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開(kāi)后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)8與點(diǎn)H重合,

折痕分別交A3,3C于點(diǎn)N,的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段交DG于點(diǎn)K,求四邊形MKG4的面積.

2.在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作

60。,30。,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步:對(duì)折矩形紙片ABCD，使與重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)（如圖13-1）.

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在所上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)6,得到折痕比0,同時(shí)

得到線(xiàn)段8N（如圖13-2）.

猜想論證:

（1）若延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,如圖13-3所示，試判定，5Alp的形狀，并證明你的結(jié)論.

拓展探究：

（2）在圖13-3中，若=a,BC=b，當(dāng)a,〃滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，才能在矩形紙片ABC。

中剪出符（1）中的等邊三角形BMP?

3.（2023?遼寧大連.統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).

已知AB=AC,NA>90。，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將一ABE以物為對(duì)稱(chēng)軸翻折.同學(xué)們經(jīng)過(guò)

思考后進(jìn)行如下探究:

獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)。落在上時(shí)，ZEDC=2ZACB.”

小紅：”若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與。C的長(zhǎng)，就可求出BE的長(zhǎng).

實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1,請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰ABC中，45=47,44>90。,43。6由.鉆石翻折得到.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在8C上時(shí)，求證：NEDC=2ZACB；

（2）如圖2,若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3,求BE的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成NA<90。的等腰三角形，可

以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展.

問(wèn)題2：如圖3,在等腰ASC中，ZA<90°,AB=AC=BD=4,2ZD=ZABD.若C￡>=1,

則求BC的長(zhǎng).

4.（2021?山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題:

如圖①，在，ABCD中，BE±AD,垂足為E,歹為CD的中點(diǎn)，連接所，BF,試

猜想所與3尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將，ABCD沿著B(niǎo)F（產(chǎn)為CD的中點(diǎn)）所在

直線(xiàn)折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接DC并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將「A6CD沿過(guò)點(diǎn)6的直線(xiàn)折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為4,使于點(diǎn)折痕交A。于點(diǎn)“，連接A'4,交CD于點(diǎn)、N.該

小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此ABCD的面積為20,邊長(zhǎng)AB=5,BC=2小,求圖中陰影部

分（四邊形8HNM）的面積.請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.

5.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】

折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘.

【動(dòng)手操作】如圖1,將矩形紙片A5co對(duì)折，使與8C重合，展平紙片，得到折痕所;

折疊紙片，使點(diǎn)8落在所上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,得到折痕40,點(diǎn)、B,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為B',E',展平紙片，連接ABLBB'，BE'.

（圖1）

請(qǐng)完成：

⑴觀察圖1中Nl,N2和/3,試猜想這三個(gè)角的木個(gè)去系；

⑵證明(1)中的猜想；

【類(lèi)比操作】如圖2,N為矩形紙片ABC。的邊AD上的一點(diǎn)，連接BN,在AB上取一點(diǎn)尸,

折疊紙片，使2,尸兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF;折疊紙片，使點(diǎn)8,P分別落在E尸,

BN上,得到折痕/，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為8',P',展平紙片，連接，PB'.

請(qǐng)完成：

(3)證明BB'是NNBC的一條三等分線(xiàn).

6.(2022?重慶市A卷)如圖，在銳角aABC中，NA=60。，點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC上一動(dòng)

點(diǎn)，連接BE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=ZCBE,求NCFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段

CM,連接MF,點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN,在點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線(xiàn)段BF,CF,CN之間

存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,將△ABC沿直線(xiàn)AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP,點(diǎn)H是

AP的中點(diǎn)，點(diǎn)K是線(xiàn)段PF上一點(diǎn)，將APHK沿直線(xiàn)HK翻折至APHK所在平面內(nèi)得到AQHK,

連接PQ.在點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線(xiàn)段PF取得最小值，且QK1PF時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出會(huì)的值.

圖2備用圖

7.(2022?廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB

沿BE翻折到ABEF處，延長(zhǎng)EF交CD邊于G點(diǎn).求證：△BFG之△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8,AB=6.將△AEB沿BE翻

折到ABEF處，延長(zhǎng)EF交BC邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H,且FH=CH,求AE的長(zhǎng).

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E為CD邊上的三等分點(diǎn)，ND=60。.將△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)P,求PC的長(zhǎng).

圖①圖②圖③

8.(2021?湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是對(duì)角線(xiàn)AC上不與點(diǎn)A,C重

合的一點(diǎn)，過(guò)F作FE1AD于E,將△AEF沿EF翻折得到AGEF,點(diǎn)G在射線(xiàn)AD上，連接CG.

(1)如圖1,若點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G落在AD上，NFGC=90。，延長(zhǎng)GF交AB于H,連接CH.

①求證：△CDG^AGAH；

②求tan/GHC.

(2)如圖2,若點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G落在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上，ZGCF=90°,判斷△GCF與△AEF是否全等,

并說(shuō)明理由.

EGDEDG

圖1

9.(2022?四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E,將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落

在AD邊上點(diǎn)F處.

(1)如圖1,若BC=2BA,求NCBE的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)AB=5,且AF-FD=10時(shí)，求BC的長(zhǎng);

(3)如圖3,延長(zhǎng)EF,與NABF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)N,當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求

黑的值?

DC

圖1

10.在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把AADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F.

(1)求證：△ABFSAFCE；

(2)若AB=2g，AD=4,求EC的長(zhǎng)；

(3)若AE-DE=2EC,記NBAF=ex,NFAE=0,求tana+tan0的值.

11.已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2^3,P是5C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形A6C￡)

折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，折痕為E尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，則線(xiàn)段石3=,EF=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)6,C均不重合時(shí)，取所的中點(diǎn)。，連接并延長(zhǎng)尸。與G尸的

延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)"，連接P尸，ME,MA.

①求證：四邊形ME/不是平行四邊形：

②當(dāng)tan/MAD=g時(shí)，求四邊形MEM的面積.

12.(2021?湖南中考真題)如圖，在RtZXABC中，點(diǎn)尸為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，WAABP

沿直線(xiàn)AP折疊，使得點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3',連接A8',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若PB'LAC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/5'AC的值.

PC

(3)如圖③，若NACB=30°,是否存在點(diǎn)P,使得A3=CB'.若存在，求此時(shí)——的

BC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.（2021?浙江中考真題）（推理）

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著B(niǎo)E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，

連結(jié)BE,CF,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：ABCE?CDG.

（運(yùn)用）

（2）如圖2,在（推理）條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H.若=CE=9,求線(xiàn)段DE

HF5

的長(zhǎng).

（拓展）

（3）將正方形改成矩形，同樣沿著B(niǎo)E折疊，連結(jié)CF,延長(zhǎng)CF,BF交直線(xiàn)AD于G,兩點(diǎn),

AD