專題03不等式-2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)

二模分類匯編-山東專用（解析版）

一、單選題

1.（2024.山東棗莊.模擬預(yù)測）已知集合A={x|x+2>0},B={^|x2-x-2<0）,則AB=

（）

A.{.rI-2<x<1}B.{x\-2<x<2}C.{x\-l<x<1}D.{x\-l<x<2}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合B,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由爐一工一2<0,即（x+l）（x—2）<。，解得-l<x<2,

所以8={x|尤2-x-2<0}={x|-1<x<2},

又4={彳|3+2>0}={X|》>-2},所以A3={x|-l<x<2}.

故選：D

2.（2024.山東淄博.二模）記max{x,y,z}表示無,y,z中最大的數(shù).已知均為正實數(shù)，則

max],；,*+4y,的最小值為（）

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】設(shè)〃=11^12-,尤2+4）72],可得3M22+L+/+分2,利用基本不等式運(yùn)算求

[xyj尤y

解，注意等號成立的條件.

【詳解】由題意可知：羽丁均為正實數(shù)，

設(shè)M=max，2,Ji,X2+分2”,則”之2〉0,加2工〉0,M>x2+4y2>0,

[％yJxy

21721r~^~~■~r21

貝（J3MN—+—+x+4y9>—+—+2Jx-4y=-+—+4xy,

xyxyxy

當(dāng)且僅當(dāng)Y=4y2,即％=2y時，等號成立,

2121

又因為一+一+4孫23M------4xy=6,

xyyxy

21

當(dāng)且僅當(dāng)—=一=4盯，即x=2y=l時，等號成立，

%y

可得3MN6,即M22,所以M=max,j；x2+4y2,的最小值為2.

故選：C.

21

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出M2—〉0,"之一>0,M2x2+4y2>。,

%y

再結(jié)合基本不等式求得M>2.

3.（2024?山東濰坊?二模）已知集合4=卜廠二詈<0、8=k|&>4）,則AB=（）

A.（0,+e）B.（2,100）C.（16,100）D.（2,+oo）

【答案】C

【分析】先解分式與根式不等式，再求交集即可.

*<0

【詳解】A=x={x|x（x-1。。）<。}=卜|。<x<100^,

x

8=卜|?>4）={x|x>16},故AB=（16,100）.

故選：C

4.（2024.山東臨沂.二模）若4=卜一二40j,B={x|log5x<l},則Ac3的元素個數(shù)

為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分別確定集合AB,再求交集.

【詳解】根據(jù)題意，可得集合4={彳62|》42或x>8},

5={x[0<x<5},

則Ac3={l,2},所以Ac3的元素個數(shù)為2個.

故選：C

試卷第2頁，共11頁

5.(2024?山東濱州?二模)已知集合&=卜€(wěn)2卜2-2彳40},則A的子集個數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求集合4結(jié)合集合的元素個數(shù)與子集個數(shù)之間的關(guān)系分析求解.

2

【詳解】由題意可得:A={xeZ|x-2x<0}={xeZ|0<x<2}={0,l,2),

可知A有3個元素，所以A的子集個數(shù)為23=8.

故選：C.

6.(2024.山東濱州.二模)下列命題中，真命題的是()

A.若貝！](7c>>cB.若,貝！J/>〃

C.若收2?比2,則。>6D.若。+26=2,則2"+4〃24

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B,C,利用基本不等式a+b22，石，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等

號成立，即可判斷D.

【詳解】對于A,由a>b,c=0可得ac=6c,故A錯誤；

對于B,由a>0,b<0,|?|<H,可得/〈從，故B錯誤；

對于C,若冷耐,且當(dāng)c=0時，可得a,b為任意值，故C錯誤；

對于D,因為2"+4"=2"+2?匕22亞于'=2收題=4，當(dāng)且僅當(dāng)。=%=1時，等號成立，

即2"+4r4，故D正確.

故選：D.

7.(2024.山東青島模擬預(yù)測)已知集合A="|x>1},B={x|(x+l)(x-3)<。},貝|(怎A)IB=

()

A.(3,+s)B.(-1,+<?)C.(-1,3)D.(-1,1]

【答案】D

【分析】根據(jù)條件，求出3={x|-l<x<3}和<4={尤|尤<1},再根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求

出結(jié)果.

【詳解】由(x+l)(x-3)<0,得到所以3={x[T<x<3},

又4={X]》>1},所以"A={x|x<l},故@A)I3={x[-l<xVl},

故選：D.

二、多選題

8.（2024?山東?二模）如圖，在直三棱柱ABC-4與￡中，AB=2,ABLBC,P,Q分別為棱

2C，AG上的動點，且8尸“BC，GQ=XGA，&（°，1），則（）

A.存在4使得產(chǎn)

B.存在4使得尸?！ㄆ矫?/p>

C.若B片,BG長度為定值，則彳=g時三棱錐2-4尸。體積最大

D.當(dāng)a=:時，直線PQ與4B所成角的余弦值的最小值為空1

23

【答案】BCD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系用一孫z,用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上

的應(yīng)用方法一一去計算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.

【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系與-孫z,設(shè)BC=a,BB]=b,

則由題：4（°，0,0），A（°，2,0）,G（。，0,0），A（°，2力）,8（0,0力），

所以43=（0,-2/），C1A=（-a,2,0）,BC==（a,0,0）,B,B=（0,0,b）,

又BP=8BC，CIQ=AQAI,2G（0,1）,

所以4P=4B+3P=4B+XBC=（Xa,0,Z2）,即尸（4a,0,Z?）,

OQ=OC]+GQ=OC、+2cjA=（a—Aa,2A,0）,即Q（a—2a,2X,0）,

所以PQ=（a-2%a,2X,-A）,

試卷第4頁，共11頁

對A,由上P0A5=("2^,24,―8雙-b)=-A-b2,故A錯誤；

對B,由題意BG=(〃,0,0)是平面ABBJAJ的一個法向量，

PQBG=(a-2/kz,2A,-b^a,ij)^Vz2-X展,

故當(dāng)2時PQ.BC=a2-2筋2=o,此時P?！ㄆ矫?陰4,故B正確;

對C,由上42=(；1。,一2,6),PQ=(a-2Aa,2A,-b),43=(°，-2,6)

m_LA^B

設(shè)平面A3P的一個法向量為沅=(%y,z),則<

m_LAjP

m-AiB=-2y+bz=0

所以《取z=2,則"7=(0,6,2),

m-A^P=Aax-2y+bz=0

一,、POm2b\A-]\2&(l-2)

設(shè)點。到平面\BP的距離為d,則由2e0,1得d==J)

\>n\"2+4J/+4

又由題意可知%3初即助=腦后7

痂V1?,1九雙及+4

故VB-A,PQ=~SABpd=-X---------------X

因為B綜耳G長度為定值，所以必為定值,

故當(dāng)％=g時，三棱錐2-4尸。體積最大，故C正確;

PQ\B

對D,設(shè)直線PQ與4B所成角為。，由上當(dāng)幾=1■時cos6>=

閡|”

b2+2產(chǎn)+41+4〃+/+4I1

e+i"2+4=M+5/+4=W+*+5={%+\+5[2^+5

4—

當(dāng)且僅當(dāng)"=3■即6=0時等號成立，故D對.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：遇立體幾何復(fù)雜問題，如求最值，有垂直條件一般考慮建立空間直角坐

標(biāo)系用向量法解決.

9.（2024?山東青島二中?模擬預(yù)測）已知拋物線丁=?的焦點為E過歹的直線A8交拋物

線于A&，M）,兩點，“（3,1）,則下列說法正確的是（）

A.5+馬的最小值為2B.以AF為直徑的圓與y軸相切

C.|M4|+|A刊的最小值為4D.|A肝+|M「的最小值為2

【答案】ABC

【分析】對A：聯(lián)立直線AB的解析式與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與基本不等式計算即可

得；對B：借助相切的性質(zhì)計算半徑與圓心到y(tǒng)軸的距離即可得；對C：借助拋物線定義計

算即可得；對D：借助韋達(dá)定理與基本不等式計算即可得.

【詳解】對A：拋物線丁=4尤的焦點為尸（1,0）,設(shè)直線48的解析式為》=沖+1,

[x=my+1c

聯(lián)立:y2=j，消去尤整理得y-4〃zy-4=0,

A>0,

貝卜%+%=,/.X]X,=且&=1,

~16

〔“為=-4A

x,+x2>2y[x^=2,當(dāng)且僅當(dāng)玉=W=1時取等號，故A選項正確；

對B：以AF為直徑的圓的直徑體耳=司+1,而AF的中點。（甘，段）

點。到y(tǒng)軸的距離為第，等于半徑，故B選項正確；

對C：過點A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,則M4|+|AF|=|%+|AN閆MN怛4,

試卷第6頁，共11頁

故C選項正確;

對D：由石工2二絲2=1，/+々22ax2=2，

16一一

+1)(%2+1)=%%22+1=

可知［Ar］忸可=(玉+玉+%2+%+x2>4,

/.|AF|2+\BFf>2\AF\\BF\>8,

當(dāng)且僅當(dāng)|”|=忸/|=2時，等號成立，故D選項錯誤.

故選：ABC.

10.（2024?濟(jì)南實驗中學(xué)?二模）已知正實數(shù)。也。，且a>b>c,%,y,z為自然數(shù)，則滿足

-----~+~~—1-------->0恒成立的x'y,z可以是()

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.%=Ly=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

【答案】BC

【分析】將/7+4+二>。恒成立，轉(zhuǎn)化為(a-)［3+/-］>z恒成立，再

a-bb-cc-aya-bb-cJ

利用基本不等式得到(a-6+b-c)(￡+六］>(石+萬『，轉(zhuǎn)化為+>z恒成立,

逐項判斷.

【詳解】解：因為正實數(shù)且0>6>c,尤,y,z為自然數(shù)，

所以a-b>0,Z?-c>0,a-c>0,

則告+產(chǎn)+工>0恒成立，即一\+4>=恒成立，

a-bb-cc-aa-bb-ca—c

兩邊同乘Q_c=Q_/?+Z?_c,貝U(〃_0+Z?_c)+>2,

\a-bb-c)

當(dāng)且僅當(dāng)M"c）=y（“一匕）,即土=（巴士］時，等號成立,

a-bb-cy\b-c）

若上7+4+上>0恒成立，貝4石+瓜丫>z恒成立，

A.當(dāng)％=l,y=l,z=4時，（4+6『=4=Z,不成立；

B.當(dāng)x=l,y=2,z=5時，（五+6『=5>Z,成立；

C.當(dāng)x=2,y=2,z=7時，（&+6『=7>z,成立；

D.當(dāng)x=l,y-3,z=9時，（五+=4+26<2=9,不成立,

故選：BC

三、填空題

11.（2024-山東?二模）在VABC中，內(nèi)角A,氏C的對邊分別為a,b,c,也收+廿—c2）=absinC,

且c=l,則VABC面積的最大值為.

【答案】縣

4

【分析】先由已知條件結(jié)合余弦定理和sii?C+cos2c=l,Ce（O㈤求出sinC,cosC,再由余

弦定理結(jié)合基本不等式求出必最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.

【詳解】因為應(yīng)（〃+62—c2）=a6sinC,

所以由余弦定理2aZ?cosC=a2+b2-c2，^2y/2abcosC=absinC>

所以sinC=2>/2cosC,又sin?C+COS2c=1,Ce（0,兀）,

則sinC=￡Z,cosC=L

33

所以由余弦定理以及基本不等式得:

1272c7廠2122ab、c72ab4ab

1=Q+b—2abcosC=a+b-------N2ab--------=------

333

即。bwg,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時等號成立,

42

試卷第8頁，共11頁

所以5ABe=」"sinC=Y^a6V也，即VABC面積的最大值為正，

^2344

故答案為：叵.

4

12.（2024?山東泰安二模）設(shè)集合A={X|X2-X-620},集合3={x[0<x<4},則

AB=.

【答案】（―。，―2]u（O,+e）

【分析】求解一元二次不等式得集合A,再進(jìn)行并集運(yùn)算.

【詳解】根據(jù)題意，A=（X\X2-X-6>0}={X\X<-2,或XN3},

則Au3={x|xW-2,或x>0}.

故答案為：（F,-2]（0,內(nèi)）

四、解答題

13.（2024?山東淄博.二模）已知橢圓W+《=1Q>b>0）的離心率為且，且四個頂點所

a2b22

圍成的菱形的面積為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵四邊形ABC。的頂點在橢圓上，且對角線AC,8。過原點。，設(shè)4（天,必）,2（和%）,滿足

XyX2—4yly2?

①求證：直線A8和直線8C的斜率之和為定值；

②求四邊形ABC。面積的最大值.

【答案】⑴]+丁=1

⑵①證明見解析；②4

【分析】（1）根據(jù)題意，找出瓦c之間的關(guān)系式，列方程求解即可；

（2）①設(shè)出方程，直線與曲線聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及斜率公式求證即可；②結(jié)合①的

信息、，令g=-；，則占+々=2祇=2（m2-l）,根據(jù)點到直線距離公式和三角形面積公

式,結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】⑴由題意"一￥'

2ab=