江蘇省淮安市淮安區(qū)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．計(jì)算1+3i1?iA．1+2i B．?1+2i C．1?2i D．?1?2i2．已知點(diǎn)A(1，2)，B(?1，0)，則AB=A．(2，0) B．(2，2) C．(?2，?2) D．(0，2)3．sin74°A．32 B．12 C．?34．在△ABC中，BC=15，AC=10，A．?63 B．63 C．?5．已知向量a=(1，1)，b=(?1，3)，A．6 B．16 C．7 D．6．已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=z+a?i(i為虛數(shù)單位)，且|z|=2，則正數(shù)aA．2 B．1 C．2 D．17．《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔.”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑d是一寸，筒長(zhǎng)l是八尺時(shí)（注：一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽(yáng)的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽(yáng)，而太陽(yáng)的外緣恰好填滿竹管的內(nèi)孔.”如圖所示，O為竹空底面圓心，則太陽(yáng)角∠AOB的正切值為（）A．3201602?1 B．1160 8．已知sin(π6?θ)=A．79 B．?79 C．7?4二、多選題9．對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式，其中結(jié)論正確的為（）A．AB=BC C．|AB?CD10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=21?i（A．|z|=2 B．C．z的共軛復(fù)數(shù)為?1+i D．z的虛部為111．八卦是中國(guó)文化中的基本哲學(xué)概念，如圖①是八卦模型圖，其平面圖形記為圖②中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=2，則下列結(jié)論中正確的是（）A．OD//ACC．BG⊥BC 12．已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在BC上，ADA．BE=B．△ABC的面積為3C．AD=D．P在△ABE的外接圓上，則PB+2PE的最大值為2三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2?i（i為虛數(shù)單位），則|z|=．14．已知sinα=?35，則15．已知△ABC的面積為53，A=π6，AB=5，則16．如圖，平面向量AB，AC的夾角是60°，|AB|＝4，|AC|＝2，平面內(nèi)任意一點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，則EG?AB＝．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z1=m+i，z2（1）若z1?2z（2）若z1z218．已知向量a=(2，（1）若向量a與c共線，求m的值；（2）若(a19．已知π2（1）2si（2）tan(α?20．從下列二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答：①bsinA=3a在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足條件____．（1）求角B的大??；（2）若a=4，21．如圖，校園內(nèi)一塊閑置空地，形狀為平面四邊形ABCD，學(xué)校為了美化校園環(huán)境，打算在三角形ABD區(qū)域內(nèi)種植花卉，在三角形BCD區(qū)域內(nèi)種植綠草.為方便學(xué)生觀賞通行，學(xué)校規(guī)劃處計(jì)劃在空地中間修一條觀賞長(zhǎng)廊BD（不考慮長(zhǎng)廊的寬度），現(xiàn)測(cè)量數(shù)據(jù)為：∠ABC=2π3（1）求種植花卉和綠草地的總面積.（2）求觀賞長(zhǎng)廊BD的長(zhǎng)度.22．已知函數(shù)f(x)=2cos（1）求f(x)的最小正周期及f(x)在區(qū)間[?π（2）在銳角△ABC中，f（A2）=32，且a=3，求b+

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】1+3i故答案為：B

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】點(diǎn)A(1，2)，B(?1，0)，則AB=(?1?1，0?2)=(?2，?2)故答案為：C.

【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果即可。3．【答案】A【解析】【解答】sin74°故答案為：A

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值，可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，BC=15，由正弦定理asinA=又因?yàn)锽C>AC，所以B為銳角，所以cosB=故答案為：B.

【分析】利用正弦定理直接求解正弦函數(shù)值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解，即可得答案.5．【答案】D【解析】【解答】由已知a?λb=(1+λ，1?3λ)，因?yàn)?故答案為：D.

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可求出答案.6．【答案】A【解析】【解答】由i?z=z+a?i(a>0)，得z=a?i又|z|=2所以(a2)故答案為：A

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算出正數(shù)a的值.7．【答案】A【解析】【解答】由題意可知：dt=1所以tan∠AOB=故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正確的二倍角公式進(jìn)行求解，即可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】cos(故答案為：B

【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)求值，可得答案.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】菱形中向量AB與BC的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結(jié)論正確，A結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)閨AB?CD|=|AB所以|AB因?yàn)閨AD|CD故答案為：BCD

【分析】菱形中向量AB與BC的方向是不同的，但它們的模是相等的，可判斷A、B；|AD+BC|=2|BC10．【答案】A,D【解析】【解答】解：由已知z=2∴|z|=2，z?z2=1+i?(1+i)其中真命題為AD．BC為假命題．故答案為：AD．

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及相關(guān)知識(shí)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.11．【答案】A,C【解析】【解答】360°8=45°正八面體的邊長(zhǎng)為4+4?2×2×2×cos三角形AOC是等腰直角三角形，所以∠DOC=∠ACO=45°，所以O(shè)D//由于OA=OE=OD，所以三角形ADE是直角三角形，所以∠EAD=90°?67.|AD由于OB=OC=OG，所以三角形BCG是直角三角形，且BG⊥故答案為：AC

【分析】結(jié)合正八邊形的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=∴∠BAC=60°，故S△ABC在△ABE中，由余弦定理得：BE∴BE=3，故A由余弦定理可知：cosC=13+16?12×4×∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴sin在三角形ACD中，由正弦定理可得：ADsin故AD=ACsinC∵AB=1，AE=2，∠BAE=60°，∴BE=1+4?2×1×2×∴AB⊥BE，∴AE為△ABE的外接圓的直徑，故△ABE的外接圓的半徑為1，顯然當(dāng)PB+2PE取得最大值時(shí)，P在優(yōu)弧BAE上．故∠BPE=∠BAE=60°，設(shè)∠PBE=α，則∠PEB=120∴PB∴PB=2sin(120∴PB+2PE=3cosα+5sinα=2∴當(dāng)α+θ=π2時(shí)，PB+2PE取得最大值27故答案為：ABD．

【分析】由余弦定理求得cos∠BAC=12，結(jié)合面積公式S△ABC=3，可判定B正確；在△ABE中，由余弦定理求得BE=3，可判定A正確；由余弦定理求得cosC=7213，得到sinC=3213，結(jié)合sin∠ADC=sin(13．【答案】10【解析】【解答】由題意，復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2?i，可得z=2?i所以z=(故答案為：102

【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案.14．【答案】7【解析】【解答】因?yàn)閟inθ=?35故答案為：725

【分析】利用余弦的二倍角公式可求出答案.15．【答案】13【解析】【解答】由題意，△ABC的面積為53，A=π6可得S△ABC=1由余弦定理可得BC所以BC=13故答案為：13

【分析】由已知利用三角形面積公式可求AC，進(jìn)而利用余弦定理即可求得BC的值.16．【答案】-24【解析】【解答】EG=所以EG?=2×4×2×cos故答案為：-24.

【分析】利用平面向量減法的三角形法則，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算，即可求出答案.17．【答案】（1）解：由復(fù)數(shù)z1?2z2=（2）解：由z1可得z1z2因?yàn)辄c(diǎn)Z位于第二象限點(diǎn)，可得m?12<0m+12>0，解得?1<m<1【解析】【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義令z1?2z2的實(shí)部為0，求解可得m的值；

(2)求出18．【答案】（1）解：∵a=(2，1)，∴．2m=3∴m=3（2）解：∵a=(2∴a∵(a∴(∵c=∴(?4)×3+3m=0，解得m=4.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可求出m的值；

（2）先求出a→?2b19．【答案】（1）解：2si∵π2∴sinα=35（2）解：∵π2∴sinα=∴tan【解析】【分析】(1)直接利用三角函數(shù)的定義求出三角函數(shù)的值；

(2)利用差角的正切的關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)的值.20．【答案】（1）解：選①：因?yàn)閎sin由正弦定理得sinB因?yàn)锳∈(0，π)，可得sin又因?yàn)锽∈(0，選②：因?yàn)?a+c+b)(a+c?b由余弦定理得cosB=因?yàn)锽∈(0，（2）解：因?yàn)閍=4，S△ABC=63由余弦定理得b2=a【解析】【分析】(1)選擇①，先由正弦定理可得sinB=3cosB，進(jìn)而可知tanB=3，由此求得B；選21．【答案】（1）解：如圖所示，連接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC即AC2=400+1600?2×20×40×(?在△ACD中，由余弦定理可得AC則400+CD2?20CD=2800，解得CD=60所以△ABC的面積S1△ACD的面積S2故該草地的面積S=S（2）解：因?yàn)椤螦BC=2∠ADC=2π3，所以所以cos∠BAD=?由余弦定理可得BD即400+400?800cos解得cos∠BAD=?1114即長(zhǎng)廊BD的長(zhǎng)度為1007答：種植總面積5003，長(zhǎng)廊長(zhǎng)100【解析】【分析】(1)連接AC，在△ABC中，由余弦定理求得AC，在△ACD中，由余弦定理求得CD，分別求得△ABC和△ACD的面積，即可求得該