專題五綜合與實踐(2024年新增題型)

(2024·福建)在手工制作課上,老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD,要求大家利用它制

作一個底面為正方形的禮品盒.小明按照如圖2所示的方式裁剪(其中AE=FB),恰好得到紙盒的展

開圖,并利用該展開圖折成一個禮品盒,如圖3所示.

(1)直接寫出的值.

AD

AB

(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”,如圖4所示,那么應(yīng)選擇的

紙盒展開圖圖樣是()

(3)今有三種不同型號的矩形卡紙,其規(guī)格、單價如下表所示:

卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ

規(guī)格/cm30×4020×8080×80

單價/元3520

現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖(圖2)為基本樣式,適當(dāng)調(diào)整AE,EF的比例,制作棱長為10cm的正方體

禮品盒.如果要制作27個這樣的禮品盒,請你合理選擇上述卡紙(包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙

的張數(shù)),并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖(包括一張卡紙可制作幾個禮品盒,其展開圖在卡紙上的分布

情況),給出所用卡紙的總費用.

(要求:①同一型號的卡紙如果需要不止一張,只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案;②沒有用到的卡紙,

不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計;③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在自行設(shè)計的表格上;④

本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分,總費用最低的才能得滿分;⑤試

卷上的卡紙僅供作草稿用)

(2024·福州模擬)“天圓地方”觀起源于中國古人對宇宙天地的最初認(rèn)識,后來發(fā)展成為中國

傳統(tǒng)文化的重要思想,在我國古代應(yīng)用廣泛.例如,世界文化遺產(chǎn)“天壇”(如圖1),秦統(tǒng)一貨幣“秦半

兩”(如圖2).“天圓地方”的宇宙圖式具有一種極具意味的形式美和意境美,這種觀念成為現(xiàn)代各種

設(shè)計活動的靈感來源.為了讓同學(xué)們更深入地了解“天圓地方”的數(shù)學(xué)之美,老師設(shè)計了如下學(xué)習(xí)項

目活動單:

學(xué)習(xí)項目主題:景區(qū)圓形水池開發(fā)方案設(shè)計

初步感知:

(1)已知☉O的半徑為,求其內(nèi)接正方形的邊長.

設(shè)計活動一:2

(2)如圖3,某風(fēng)景區(qū)有一個直徑為10米的圓形水池(即☉O),某噴泉設(shè)計公司給出如下方案:在池內(nèi)

沿中軸線設(shè)計兩個正方形噴泉陣(即正方形ABCD和正方形CEFG),剩余區(qū)域進(jìn)行自然水景生態(tài)

美化.由于景區(qū)開發(fā)資金有限,噴泉陣又造價較高,為了節(jié)約成本,請求出兩個正方形噴泉陣面積之

和的最小值以及此時AC的長.

設(shè)計活動二:

(3)某演藝公司也對(2)中的圓形水池提出開發(fā)方案:為了增強景區(qū)的娛樂性和交互性,可以建造一

個水上演藝舞臺(如圖4),池內(nèi)沿中軸線PQ設(shè)計兩個無縫連接的前置矩形舞臺AA'D'D和后置矩

形舞臺EE'F'F,AA'⊥PQ于點B,FF'⊥PQ于點G,AA'=2AD,FF'=2EF,為了確保夜間演出的舞臺效果,

需要給舞臺AA'和FF'處全部安裝LED燈帶,為做出預(yù)算,請求出燈帶(AA'+FF')的最大值和最小值.

參考答案

例1解析:(1)2.

提示:如圖1,

上述圖形折疊后變成圖2,

由折疊和題意可知,GH=AE+FB,AH=DH,

∵四邊形EFNM是正方形,∴EM=EF,即AG=EF,

∴GH+AG=AE+FB+EF,即AH=AB.

∵AH=DH,

∴==2,

ADAH+DH

ABAB

∴的值為2.

AD

AB

(2)C.

提示:根據(jù)幾何體的展開圖可知,“吉”和“如”在相對的面上,“祥”和“意”在相對的面上,而相對

的面上的字中間相隔一個幾何圖形,且字體相反,

∴C選項符合題意.

(3)需要卡紙型號的數(shù)量及總費用如下表所示.理由如下:

卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ

需要卡紙的數(shù)量/張132

需要卡紙的總費用/元58

根據(jù)(1)和題意可得卡紙每格的邊長為5cm,如圖3,則要制作一個邊長為10cm的正方體的展

開圖如下:

∴每張型號Ⅲ卡紙可制作10個正方體,如圖4:

每張型號Ⅱ卡紙可制作2個正方體,如圖5:

每張型號Ⅰ卡紙可制作1個正方體,如圖6:

∴可選擇型號Ⅲ卡紙2張,型號Ⅱ卡紙3張,型號Ⅰ卡紙1張,則10×2+2×3+1×1=27(個),

∴所用卡紙總費用為20×2+5×3+3×1=58(元).

說明:本參考答案僅給出一種解法供參考.

例2解析:(1)如圖1,連接AC.

∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接正方形,

∴AC是直徑.

∵☉O的半徑為,即AC=2,

∴AB=CB=2.22

(2)設(shè)AC=x米,則CF=(10-x)米,

設(shè)兩個正方形噴泉陣的面積和為y平方米,

則y=x2+(10-x)2=x2-10x+50=(x-5)2+25.

11

22

∵1>0,∴當(dāng)x=5時,y有最小值,最小值為25,

∴兩個正方形的面積和的最小值為25平方米,此時AC的長為5米.

(3)如圖2,設(shè)PQ交EE'于點C,連接AC,CF'.設(shè)AD=a米.EF=b米.

∵PQ是直徑,PQ⊥AA',PQ⊥FF',∴AB=A'B,FG=F'G.

∵AA'=2AD,FF'=2EF,

∴AB=A'B=AD=a米,FG=F'G=FE=b米.

又∵∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°,

∴四邊形ABCD是正方形.

同理可證四邊形A'BCD',四邊形CGF'E',四邊形CEFG都是正方形,

∴∠ACB=∠GCF'=45°,

∴A,C,F'共線,

∴AC=a米,CF'=b米,

∴AF'=2(a+b)米.2

∵AA'+F2F'=2(a+b)米,

∴當(dāng)AF'的值最大時,AA'+FF'的值最大,當(dāng)AF'的值最小時,AA'+FF'的值最小.

∵當(dāng)AF'是直徑時,AF'的值最大,此時(a+b)=10,

∴a+b=5,2

∴AA'+FF2'的最大值為10米.

如圖3,當(dāng)點E落在☉O上時2,AF'的值最小,連接AO,OF,AF',此時OC=OG.

在Rt△OFG中,O