第1節(jié)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

回歸教材·過基礎(chǔ)

【知識(shí)體系】

【考點(diǎn)清單】

知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1.點(diǎn)的坐標(biāo)特征

點(diǎn)在平行于坐標(biāo)軸的直

點(diǎn)在象限內(nèi)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上點(diǎn)在各象限角平分線上

線上

第一象限:x>0,y>0;

平行于x軸的直線上

第二象限:x①0,

當(dāng)點(diǎn)在x軸上時(shí),的點(diǎn),所有點(diǎn)第一、三象限角平分線

y②0;

該點(diǎn)的⑦等于0;的⑨都相等;上的點(diǎn):xA=yA;

第三象限:x③0,

當(dāng)點(diǎn)在y軸上時(shí),平行于y軸的直線上第二、四象限角平分線

y④0;

該點(diǎn)的⑧等于0的點(diǎn),所有點(diǎn)上的點(diǎn):

第四象限:x⑤0,

的⑩都相等

y⑥0

2.點(diǎn)的對稱與平移

關(guān)于軸對稱的點(diǎn)

對稱關(guān)于軸對稱的點(diǎn)

(1)P(x,y)x:P'(x,?y)

P(x,y)關(guān)于原y點(diǎn)對稱的點(diǎn):P'?

P(x,y):P'?

向左平移個(gè)單位長度

向右平移個(gè)單位長度

P(x,y)a:P'(x?a,y)

(2)平移

P(x,y)向上平移a個(gè)單位長度:P'?

P(x,y)向下平移b個(gè)單位長度:P'?

3.點(diǎn)到坐標(biāo)P(軸x,y及)原點(diǎn)的距離b:P'?

點(diǎn)到x軸的距離是|y|點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

4.平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離

若P,Q兩點(diǎn)的連線平行于x若P,Q兩點(diǎn)的連線平行于y

平面內(nèi)任意P,Q兩點(diǎn)之間的距離

軸,則這兩點(diǎn)之間的距離是軸,則這兩點(diǎn)之間的距離是

是|PQ|=

|PQ|=|x1-x2||PQ|=22

(x1-x2)+(y1-y2)

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)及自變量的取值范圍

1.概念:在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x,y,如果對于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一的值與之對應(yīng),

我們就說x是自變量,y是因變量,此時(shí)也稱y是x的函數(shù).

是全體實(shí)數(shù)

2.不同函數(shù)中自變量x的取值范圍y=ax+b(x)

y=x(x≠0)

且

y=x(x≥0)

x+a

3.函數(shù)的表示方法:解析式法、列表法y、=圖x象法(x≥.-ax≠0)

4.函數(shù)的圖象的畫法:列表、描點(diǎn)、連線.

真題精粹·重變式

考向1函數(shù)自變量的取值范圍

熱點(diǎn)訓(xùn)練

1.函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是()

A.x≤-2Bx.x?≥-2

C.x≤2D.x≥2

2.函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是()

x+1

A.x≠3x?3B.x≥3

C.x≥-1且x≠3D.x≥-1

考向2平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征6．年．1．考．

3.(2019·福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,?OABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,0),B(4,2),

則第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

熱點(diǎn)訓(xùn)練

4.如圖,已知A(2,0),AB=3,以點(diǎn)A為圓心,AB的長為半徑畫弧交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為22()

A.(3,0)B.(,0)

C.(-2,0)D.(-32,0)

5.已知2點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,a+23),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,4),AB∥x軸,則線段AB的長為()

A.5B.4C.3D.2

核心方法

平面直角坐標(biāo)系中特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

1.當(dāng)直線平行于x軸時(shí),直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同;當(dāng)直線平行于y軸時(shí),直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

相同.

2.兩點(diǎn)間的豎直距離等于其縱坐標(biāo)差的絕對值,水平距離等于其橫坐標(biāo)差的絕對值.

6.三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖所示.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-,3),則點(diǎn)A的坐標(biāo)

是.3

7.(改編)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,1),連接PQ后平移得到

P1Q1,若P1(m,-2),Q1(2,n),則m+n的值是.

核心方法

平面直角坐標(biāo)系中圖形與點(diǎn)的平移

平移圖形時(shí),圖形上的所有點(diǎn)都沿相同的方向平移相同的距離,即所有點(diǎn)的變化規(guī)律都一樣.

向左平移,橫坐標(biāo)都減相同的距離,向右平移,橫坐標(biāo)都加相同的距離;向上平移,縱坐標(biāo)都加相同的

距離,向下平移,縱坐標(biāo)都減相同的距離.

考向3函數(shù)圖象的分析與判斷

熱點(diǎn)訓(xùn)練

8.根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”,前30m稱為“加速期”,30m~80m為“中途期”,80m~100m

為“沖刺期”.市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度y(單位:m/s)與路程x(單位:m)之間的觀

測數(shù)據(jù)繪制成曲線,如圖所示.

(1)y是關(guān)于x的函數(shù)嗎?為什么?

(2)“加速期”結(jié)束時(shí),小斌的速度為多少?

(3)根據(jù)圖中提供的信息,給小斌提一條訓(xùn)練建議.

9.通過課本上對函數(shù)的學(xué)習(xí),我們積累了一定的經(jīng)驗(yàn).下表是一個(gè)函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的部

分對應(yīng)值,請你借鑒以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),探究下列問題:

x…012345…

y…6321.51.21…

(1)當(dāng)x=時(shí),y=1.5.

(2)根據(jù)表中數(shù)值描點(diǎn)(x,y),并在如圖的平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)圖象.

(3)觀察畫出的圖象,寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì):.

核心突破·拓思維

考點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征

(原創(chuàng))如圖1,正方形ABCD的邊長為3個(gè)單位長度,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),邊AB,CD都平行

于x軸,與y軸分別相交于點(diǎn)E,G,邊AD,BC都平行于y軸,與x軸分別相交于點(diǎn)H,F.

(1)點(diǎn)B,C,D,E,F的坐標(biāo)分別為.

(2)AE=,BE=,BF=,CF=.

(3)將正方形ABCD沿x軸向右平移0.5個(gè)單位長度,向下平移0.5個(gè)單位長度.

①請?jiān)趫D2的網(wǎng)格中畫出平移后的正方形A1B1C1D1,并寫出點(diǎn)A,B,C,D的對應(yīng)點(diǎn)A1,B1,C1,D1的坐

標(biāo).

②點(diǎn)A1與點(diǎn)C1的位置關(guān)系為,點(diǎn)A1與點(diǎn)B1的位置關(guān)系為,點(diǎn)A1與點(diǎn)D1的位置關(guān)

系為.

③點(diǎn)B1到x軸的距離為,到y(tǒng)軸的距離為.

核心方法

平移圖形時(shí),圖形上所有點(diǎn)的變化規(guī)律都一樣.

一般規(guī)律為向左(右)平移幾個(gè)單位長度,橫坐標(biāo)都減(加)相同的單位長度;向上(下)平移幾個(gè)單

位長度,縱坐標(biāo)都加(減)相同的單位長度.

如圖,這是一片楓葉標(biāo)本,其形狀呈“掌狀五裂形”,裂片具有少數(shù)突出的齒,將其放在平面

直角坐標(biāo)系中,表示葉片“頂部”的A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,2),(-3,0),則葉桿“底部”點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(m,m),(m,m-5),則點(diǎn)

C的坐標(biāo)為.(用含m的式子表示)

數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展,被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.據(jù)傳,他在計(jì)算

1+2+3+4+…+100時(shí),用到了一種方法,將首尾兩個(gè)數(shù)相加,進(jìn)而得到1+2+3+4+…+100=.

100×(1+100)

人們借助這樣的方法,得到1+2+3+4+…+n=(n是正整數(shù)).如圖,在平面直角坐標(biāo)系中的2一系列

n(1+n)

格點(diǎn)Ai(xi,yi),其中i=1,2,3,…,n,…,且xi,yi均為整2數(shù).記an=xn+yn,如A1(0,0),即a1=0,A2(1,0),即

a2=1,A3(1,-1),即a3=0,…,以此類推.

則下列結(jié)論正確的是()

A.a2023=40

B.a2024=43

C.=2n-6

2

D.a(2n-1)=2n-4

2

考a點(diǎn)(2n-21)函數(shù)圖象的分析與判斷

如圖,長方體水池內(nèi)有一無蓋圓柱形鐵桶,現(xiàn)用水管往鐵桶中持續(xù)勻速注水,直到長方體水

池有水溢出一會(huì)兒為止.設(shè)注水時(shí)間為t,y1(細(xì)實(shí)線)表示鐵桶中水面高度,y2(粗實(shí)線)表示水池中水

面高度(鐵桶高度低于水池高度,鐵桶底面積小于水池底面積的一半,注水前鐵桶和水池內(nèi)均無水),

則y1,y2隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖象大致為()

AB

CD

【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程

相等,②③兩路段路程相等.【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定,經(jīng)過每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘,小溫游

覽路線①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)3小時(shí)25分鐘;小州游覽路線①②⑧,他離入口的路程s與時(shí)間t的關(guān)系

(部分?jǐn)?shù)據(jù))如圖2所示,在2100米處,他到出口還要走10分鐘.

【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為()

A.4200米B.4800米

C.5200米D.5400米

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①<②>③<④<⑤>