類型一直接(指令性)基本作圖如圖,線段AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB∥CD,AE⊥BD于點(diǎn)E.(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為F,連接AF,CE.(不寫作法,保留作圖痕跡,并標(biāo)明相應(yīng)的字母)(2)若AB=CD,請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)1.如圖,根據(jù)△ABC中尺規(guī)作圖的痕跡,下列說法不一定正確的是()A.AF=BF B.AE=12C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC2.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)F.(1)用尺規(guī)作圖法在直線BC上求作點(diǎn)E,使AE∥BF,不寫作法,保留作圖痕跡.(2)若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長(zhǎng).3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P,Q分別在邊BC及CB的延長(zhǎng)線上,且BQ=CP.(1)實(shí)踐與探索:利用尺規(guī)按下列要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).①作∠PQM=∠CBA,且點(diǎn)M在QC的上方;②在QM上截取QR=BA;③連接PR.猜想與驗(yàn)證:試猜想線段AC和RP的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.類型二選擇規(guī)則性(理解性、應(yīng)用性)尺規(guī)作圖如圖,在△ABC中,I是△ABC的內(nèi)心.(1)求作過點(diǎn)I且平行于BC的直線,與AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)若AB=6,AC=8,DE=1434.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),連接DE.求證:DE∥BC,且DE=12(要求:尺規(guī)作圖畫出點(diǎn)D和點(diǎn)E,只保留作圖痕跡,不寫作法)5.如圖,已知Rt△MON,∠MON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上一點(diǎn).(1)求作:以點(diǎn)O為中心,A為一個(gè)頂點(diǎn)的正方形ABCD(點(diǎn)A,B,C,D按順時(shí)針排列).(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,連接DN,求證:DN⊥MN.6.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AC上,且AD=AB.(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E,連接DE.求證:DE=BE類型三尺規(guī)作圖與證明(計(jì)算)如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),DC<12BC,連接AD.(1)在圖中求作四邊形BCEF,使得點(diǎn)F在邊AB上,且BF=2DC,點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,設(shè)EF與AD交于點(diǎn)G,求∠DGE的度數(shù).7.如圖,在△ABC中,∠C=90°.(1)求作☉O分別與AC,BC相切,使得圓心O落在AB上.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,已知OA=1,OB=2,求tanB的值.8.(原創(chuàng))如圖,在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.(1)求作△EDC≌△ABC,使得點(diǎn)D在線段AB上,點(diǎn)E在直線AC右側(cè).(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點(diǎn)共線.9.如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C.(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法)(3)在(1)(2)的條件下,若sinA=3510.如圖,在△ABC中,AB=AC.(1)在線段AC上求作點(diǎn)D,使點(diǎn)D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖形中,連接BD,若AD=BD,求∠A的度數(shù).11.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.(1)尺規(guī)作圖:求作☉O,使得圓心O在AB上,且☉O經(jīng)過A,D兩點(diǎn).(2)求證:直線BC是☉O的切線.參考答案例1解析:(1)下圖即所求.(2)四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO(ASA),∴OA=OC.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF,∴四邊形AECF是平行四邊形.針對(duì)訓(xùn)練1.B針對(duì)訓(xùn)練2.解析:(1)如圖,點(diǎn)E即所求.(2)∵BF∥AE,∴∠AEB=∠FBC,∠EAB=∠ABF.∵BF是∠ABC的平分線,∴∠FBC=∠ABF,∴∠AEB=∠EAB,∴BE=AB=4.根據(jù)平行線分線段成比例定理可知AFAC=BEEC=BEBE+BC∴AF=49AC=49×6=針對(duì)訓(xùn)練3.解析:(1)下圖即所求.(2)AC=RP.理由:∵BQ=CP,∴BQ+BP=CP+BP,∴QP=BC.由作圖過程可知∠PQM=∠CBA,QR=AB,∴△PQR≌△CBA(SAS),∴AC=RP.例2解析:(1)如圖,連接BI,作∠DIB=∠IBC,直線ID交AC于點(diǎn)E,則直線DE為所求.(2)如圖,連接CI.∵I是△ABC的內(nèi)心,∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI.∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠BCI,∴∠DIB=∠DBI,∠EIC=∠ECI,∴DB=DI,EI=EC.設(shè)BD=x,則DI=x,CE=EI=143∵DE∥BC,∴BD∶BA=CE∶CA,即x∶6=143-x∶8,解得x=2,∴AD=AB-BD=4.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE∶BC=AD∶AB,即143解得BC=7,即BC的長(zhǎng)為7.針對(duì)訓(xùn)練4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線,交點(diǎn)分別為D和E,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴AD=BD,AE=CE.在△ADE和△CFE中,AE=CE,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴∠ADE=∠F,AD=CF,∴CF∥AB,CF=BD,∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DF=BC,DF∥BC,∴DE=12DF=1針對(duì)訓(xùn)練5.解析:(1)如圖,四邊形ABCD即所作.(2)證明:∵∠MON=90°,OM=ON,∴∠OMN=∠ONM=45°.由作圖可得OA=OD,∠AOD=90°=∠MON,∴∠MOA=∠NOD,∴△OAM≌△ODN,∴∠OND=∠OMA=45°,∴∠AND=∠OND+∠ONM=45°+45°=90°,∴DN⊥MN.針對(duì)訓(xùn)練6.解析:(1)如圖,AE即所求.(2)證明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE.∵AB=AD,AE=AE,∴△BAE≌△DAE(SAS),∴DE=BE.例3解析:(1)如圖1,四邊形BCEF即所求.圖1(2)如圖2,取BF的中點(diǎn)T,連接CT,TE,設(shè)AD交CT于點(diǎn)J.圖2∵∠ACB=∠ACE=∠CAB=60°,CD=CE,∴AB∥CE.∵FT=CD,∴EC=FT,∴四邊形ECTF是平行四邊形,∴EF∥CT,∴∠DGE=∠CJD.∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠B=∠ACD=60°.∵BF=2CD,BT=TF,∴BT=CD.在△ACD和△CBT中,AC=CB,∴△ACD≌△CBT(SAS),∴∠CAD=∠BCT,∴∠CJD=∠CAD+∠ACJ=∠BCT+∠ACJ=60°,∴∠DGE=∠CJD=60°.針對(duì)訓(xùn)練7.解析:(1)如圖,作∠ACB的平分線CO,交AB于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作BC的垂線,垂足為N,以點(diǎn)O為圓心,ON的長(zhǎng)為半徑畫圓,作OM⊥AC于點(diǎn)M,由作圖可得BC是☉O的切線,由角平分線的性質(zhì)可得OM=ON,∴AC是☉O的切線,∴☉O即所求.(2)由(1)得OM⊥AC,ON⊥BC,OM=ON.∵∠ACB=90°,又∵OA=1,OB=2,∴S△AOCS△BOC=AOBO=∴tanB=ACBC=1針對(duì)訓(xùn)練8.解析:(1)如圖1,△EDC即所求.圖1(2)證明:如圖2,連接AE,PE,設(shè)PE與AB交于點(diǎn)D'.圖2∵△ABC≌△EDC,∴AC=EC,∠ACB=∠ECD,∴∠BCD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=EC,∴∠BAC=180°-2∠ABC.∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,∴∠BCD=180°-2∠CBD,∴∠BAC=∠BCD,∴∠BAC=∠ACE.又∵AC=CA,∴△BAC≌△ECA(SAS),∴∠ACB=∠CAE,BC=AE,∴AE∥BC,∴∠AED'=∠P,∠EAD'=∠PBD'.∵BP=BC,BC=AE,∴AE=BP,∴△AD'E≌△BD'P(ASA),∴AD'=BD',∴D'是線段AB的中點(diǎn).∵D是線段AB的中點(diǎn),∴D',D為同一個(gè)點(diǎn),∴P,D,E三點(diǎn)共線.針對(duì)訓(xùn)練9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,∴∠COQ=2∠CAQ;點(diǎn)O即所求(2)如圖2,連接BC,以點(diǎn)B為圓心,以BC的長(zhǎng)為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)B1,以點(diǎn)B1為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)C1,D1,分別以點(diǎn)C1,D1為圓心,以大于12C1D1的長(zhǎng)為半徑畫弧,交于點(diǎn)F1,連接B1F1∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,即BC⊥AP,根據(jù)作圖可得B1C1=B1D1,C1F1=D1F1,∴MB1⊥AQ,即∠MB1B=90°,MB1是點(diǎn)M到AQ的距離.∵BC=BB1,∴Rt△BCM≌Rt△BB1M(HL),∴CM=B1M,點(diǎn)M即所求.(3)如圖3,根據(jù)作圖可得∠COQ=2∠CAQ,MC=MW=12,MW⊥AQ,連接BC,∴在Rt△AMW中,sinA=WMAM=3∴AM=5WM3=5×12∴AC=AM-CM=20-12=8.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴sinA=BCAB=3設(shè)BC=3x,則AB=5x,∴在Rt△ABC中,(5x)2=(3x)2+82,解得x=2(負(fù)值舍去),∴BC=3x=6,在Rt△BCM中,BM=CM2+BC2針對(duì)訓(xùn)練10.解析:(1)如圖,作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)D即所求.(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵B