(名師選題)2023年人教版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用專項(xiàng)訓(xùn)練

單選題1、“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為36°的等腰三角形，暫且稱為“黃金三角形A”．如圖所示，已知五角星是由5個(gè)“黃金三角形A”與1個(gè)正五邊形組成，其中，則陰影部分面積與五角形面積的比值為（

）．A．B．C．D．答案：B分析：在三角形中，由值，可得，即，設(shè)的面積為x，由此可知和的面積均為，的面積為x，由此即可求出結(jié)果.如圖所示，依題意，在三角形中，，故；所以，設(shè)的面積為x，則面積為，同理的面積為，的面積為x，則陰影部分面積與五角形面積的比值為.故選：B．2、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3B．-2C．2D．3答案：C分析：根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.由，，得，則，．故選C．小提示：本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難度不大．3、在中，角的對(duì)邊分別為，且，，，則（

）．A．B．C．D．答案：B分析：利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故選：B.4、的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，.如果有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．答案：D分析：作出圖形，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的取值范圍.如下圖所示：因?yàn)橛袃山猓?，解?故選：D.5、過的中線的中點(diǎn)作直線分別交?于?兩點(diǎn)，若，則（

）A．4B．C．3D．1答案：A分析：由為的中點(diǎn)得到

，設(shè)，結(jié)合，得到，再由，得到，然后利用與不共線求得m，n即可.解：由為的中點(diǎn)可知，，，設(shè)，則，，

，

，

，

與不共線，

，解得，

故選：.6、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，a，則等于（

）A．B．C．D．2答案：D解析：由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解．A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，則2．故選：D．小提示：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7、已知向量，，那么（

）A．5B．C．8D．答案：B分析：根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求出結(jié)果.因?yàn)橄蛄?，，所?故選：B.8、定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A．B．C．D．若，，則答案：D分析：A．按的正負(fù)分類討論可得，B．由新定義的意義判斷，C．可舉反例說明進(jìn)行判斷，D．與平面向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，用數(shù)量積求出兩向量夾角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦值，代入計(jì)算可判斷．A．，時(shí)，，，時(shí)，，成立，時(shí)，，

，綜上，A不恒成立；B．是一個(gè)實(shí)數(shù)，無意義，B不成立；C．若，，則，，，，，，C錯(cuò)誤；D．若，，則，，，，所以，成立．故選：D．小提示：本題考查向量的新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是理解新定義，并能運(yùn)用新定義求解．解題方法一種方法是直接利用新定義的意義判斷求解，另一種方法是把新定義與向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，把新定義中的用，而余弦可由數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．9、在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為（

）A．B．C．D．答案：D分析：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，當(dāng)直線與直線相交時(shí)最大，問題得以解決以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)點(diǎn)為，，，

，，，，，，

，，①直線的方程為，②，聯(lián)立①②，解得，此時(shí)最大，，故選：．小提示：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系將幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題10、內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（

）A．B．C．D．答案：C分析：利用余弦定理求出，再求出即可.,，，.故選：C11、已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A．B．C．D．答案：D分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)可求其最大值.以為原點(diǎn)建系，，，即，故圓的半徑為，∴圓，設(shè)中點(diǎn)為，，，∴，故選：D.12、如圖，在梯形中，且，點(diǎn)為線段的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，則的值為（

）A．1B．C．D．答案：C分析：由向量的線性運(yùn)算法則化簡得到和，結(jié)合三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線，得出和，聯(lián)立方程組，即可求解.根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得

，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即；又由，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：C.雙空題13、已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則

________；________.答案：

0

3分析：根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，.所以答案是：0；3.14、在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M在線段EF上，且滿足，則x=___________；若點(diǎn)N為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為___________.答案：

；

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以為x軸，為y軸的直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示形式分別表示出，根據(jù)它們的關(guān)系求得x的值及M的坐標(biāo)；設(shè)，表示出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍.根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以為x軸，為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，由題知，，且，設(shè)，則，由，則，解得，，設(shè)，，，則，則所以答案是：；.15、在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一點(diǎn)且AD⊥AC，則sin∠BAC＝________，△ABD的面積為________．答案：

分析：在△ABC中根據(jù)正弦定理可求cos∠B＝，sin∠B＝，從而可求sin∠BAC的值；根據(jù)條件AD⊥AC和cos∠BAC＝可求出in∠BAD＝，cos∠BAD＝，從而求出sin∠ADB＝.在△ABC中，由余弦定理可求AC的值，從而求的面積.∵BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，∴在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得cos∠B＝，因?yàn)?，所以sin∠B＝，∴cos∠BAC＝cos2∠B＝2cos2∠B－1＝，又因?yàn)橐驗(yàn)?，所以sin∠BAC＝＝．∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin＝－cos∠BAC＝，可得cos∠BAD＝，∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)＝×＋×＝．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，即32＝AB2＋(2)2－2AB×2×，解得AB＝1或3．當(dāng)AB＝AC＝3時(shí)，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝∠BAC＝，∴BC＝＝3，與BC＝2矛盾，∴AB＝1．在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝，∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×1××＝．所以答案是：；.16、設(shè)向量，．若，，則______，向量在向量上的投影向量為______．答案：

13

分析：由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求的值，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求向量在向量上的投影向量.因?yàn)橄蛄浚?，所以，，所以，由，可得：，，所以，向量在向量上的投影向量為：，所以答案是：?17、在△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，且；則角B=___________；a的取值范圍為___________.答案：

分析：由題意可得，進(jìn)而可得，利用正弦定理化簡可得，即可求出角B；根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合角C的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.由，所以，由正弦定理，得，有，又，故；，因?yàn)?，所以，則，所以，即.所以答案是：；解答題18、已知.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與共線？（2）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？（3）當(dāng)為何值時(shí)，與的夾角為銳角？答案：（1）；（2）；（3）且.分析：（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示：即可求解.

（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示：即可求解.

（3）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，只需且不共線即可求解.解：（1）.

與平行，，解得.（2）

與垂直，，即，（3）由題意可得且不共線，解得且.19、在條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答．問題：在中，角的對(duì)邊分別為，，_____，求．答案：選擇見解析；．分析：若選擇條件①，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，化簡可求的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求的值，然后利用余弦定理求解．若選擇條件②，利用誘導(dǎo)公式化簡得到，解得，結(jié)合范圍，可得的值，下同選①．若選擇條件③，利用三角函數(shù)恒等變換化簡可得，進(jìn)而可求，可得的值，下同選①．若選擇條件①，因?yàn)?，由正弦定理，可得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又由余弦定理可得，所以．若選擇條件②，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以．下同選①．若選擇條件③，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以．下同選①．小提示：方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理