§10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第十章計數(shù)原理基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.知識梳理m＋n2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.m×n3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.(

)基礎(chǔ)自測123456×√√(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法.(

)(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)123456√√題組二教材改編2.[P12A組T5]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是A.12B.8C.6D.4答案解析123456解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6，故選C.√3.[P10A組T4]已知某公園有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為A.16 B.13C.12 D.10解析答案123456解析將4個門編號為1,2,3,4，從1號門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進(jìn)入，同樣各有3種走法，共有不同走法3×4＝12(種).√題組三易錯自糾4.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A.24B.18C.12D.6答案123456解析√解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).1234565.現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A.24種

B.30種C.36種

D.48種解析答案123456√解析需要先給C塊著色，有4種方法；再給A塊著色，有3種方法；再給B塊著色，有2種方法；最后給D塊著色，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×3×2×2＝48(種)著色方法.1234566.如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個.解析答案123456解析由題意知本題是一個分類計數(shù)問題.當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況.當(dāng)有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當(dāng)有三個2,3,4時：2221,3331,4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.12題型分類深度剖析1.(2017·鄭州質(zhì)檢)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為A.14B.13C.12D.10解析答案題型一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用自主演練√解析當(dāng)a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0).綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個，故選B.2.(2017·濟南模擬)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為A.240 B.204C.729 D.920解析答案√解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個).所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).3.(2016·全國Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A.18個 B.16個C.14個 D.12個解析答案√分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.思維升華典例

(1)(2016·全國Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為題型二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用師生共研答案解析A.24B.18C.12D.9√解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.(2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法.答案解析120解析每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).1.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？引申探究解

每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種).解答2.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解

每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).解答(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.思維升華跟蹤訓(xùn)練

一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進(jìn)，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有______種.(用數(shù)字作答)答案解析48解析根據(jù)題意，從點P處進(jìn)入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×4×2＝48(種)不同游覽線路.命題點1與數(shù)字有關(guān)的問題典例

(2017·天津)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個.(用數(shù)字作答)題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用多維探究1080答案解析故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個).命題點2涂色、種植問題典例

(2017·濟南質(zhì)檢)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________.96答案解析解析按區(qū)域1與3是否同色分類：故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.命題點3與幾何有關(guān)的問題典例

(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是A.48 B.18C.24 D.36答案解析√解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個).(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是A.60 B.48C.36 D.24答案解析√解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)(2017·黃山模擬)建造一個花壇，花壇分為4個部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花(不一定4種顏色都栽種)，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有________種.(用數(shù)字作答)1234108答案解析解析先栽第一塊地，有4種情況，然后栽第二塊地，有3種情況，第三塊地有3種情況，第四塊地有3種情況，則共有4×3×3×3＝108(種)不同的栽種方法.(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A.144個

B.120個C.96個

D.72個答案√解析典例

(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有A.24種

B.4種

C.43種

D.34種利用兩個基本原理解決計數(shù)問題現(xiàn)場糾錯糾錯心得現(xiàn)場糾錯錯解展示(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4次，輪船有3次，問此人的走法可有________種.錯解展示：解析(1)因為每個信箱有三種投信方法，共4個信箱，所以共有3×3×3×3＝34(種)投法.(2)乘火車有4種方法，坐輪船有3種方法，共有3×4＝12(種)方法.錯誤答案(1)D

(2)12現(xiàn)場糾錯解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法.只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法.(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(種).答案

(1)C

(2)7糾錯心得

(1)應(yīng)用計數(shù)原理解題首先要搞清是分類還是分步.(2)把握完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)，如典例(1)沒有考慮每封信只能投在一個信箱中，導(dǎo)致錯誤.課時作業(yè)1.(2017·濟南質(zhì)檢)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式的種數(shù)為A.24 B.14C.10 D.9基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516答案√解析解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12(種)方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法.所以由分類加法計數(shù)原理可知，共有12＋2＝14(種)選擇方式.123456789101112131415162.(2018·河北保定質(zhì)檢)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有A.4種

B.6種C.10種

D.16種解析答案12345678910111213141516√解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，12345678910111213141516同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方法.3.從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有A.32個

B.34個

C.36個

D.38個解析答案√1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案4.(2018·惠州調(diào)研)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有A.18個

B.15個C.12個

D.9個12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)，十位數(shù)，個位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數(shù)，分別為211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(個).5.將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，則不同的安排方案共有A.12種

B.10種C.9種

D.8種解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選派方案共有2×6＝12(種).解析答案123456789101112131415166.(2018·駐馬店質(zhì)檢)將一個四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有A.1種

B.3種C.6種

D.9種√12345678910111213141516解析因為只有三種顏色，又要涂六條棱，所以應(yīng)該將四面體的對棱涂成相同的顏色，故有3×2×1＝6(種)涂色方案.7.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標(biāo)，則這樣的點的個數(shù)是A.9 B.14C.15 D.21解析答案12345678910111213141516解析當(dāng)x＝2時，x≠y，點的個數(shù)為1×7＝7.當(dāng)x≠2時，∵P?Q，∴x＝y(tǒng).∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.因此滿足條件的點共有7＋7＝14(個).√8.(2018·湖南郴州模擬)用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有解析答案12345678910111213141516A.4320種

B.2880種C.1440種

D.720種√12345678910111213141516解析分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320(種)不同的涂色方法，故選A.9.設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)為________.(用數(shù)字作答)解析答案12345678910111213141516解析易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴x有2種取法，y有5種取法.由分步乘法計數(shù)原理，知A*B中的元素有2×5＝10(個).1010.(2017·日照調(diào)研)從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為________.解析答案123456789101112131415161711.在某運動會的百米決賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種.123456789101112131415162880解析答案12345678910111213141516解析分兩步安排這8名運動員.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，∴安排方式有4×3×2＝24(種).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，∴安排方式有5×4×3×2×1＝120(種).∴安排這8人的方式有24×120＝2880(種).12.(2017·昆明質(zhì)檢)某小區(qū)一號樓共有7層，每層只有1家住戶，已知任意相鄰兩層數(shù)的住戶在同一天至多一家有快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少一家有快遞，則在同一天這7家住戶有無快遞的可能情況共有________種.12345678910111213141516解析答案1212345678910111213141516解析分三類：(1)同一天兩家有快遞：可能是2層和5層，3層和5層，3層和6層，共3種情況；(2)同一天三家有快遞：考慮將有快遞的三家插入沒有快遞的四家形成的空位中，有

種插入法，但需減去1層，3層與7層有快遞，1層，5層與7層有快遞2種情況，所以有

－2＝8(種)情況；(3)同一天四家有快遞：只有1層，3層，5層，7層有快遞1種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，同一天7家住戶有無快遞的可能情況共有3＋8＋1＝12(種).13.(2017·鄭州質(zhì)量預(yù)測)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為A.72 B.120C.192 D.240技能提升練12345678910111213141516解析答案√12345678910111213141516解析將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，①若末位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以有

＝60(種)情況；②若末位數(shù)字為6，同理有

＝60(種)情況；③若末位數(shù)字為4，因為有2個相同數(shù)字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(種)情況.綜上，共有60＋60＋120＝240(種)情況.答案解析123456789101112131415161212345678910111213141516當(dāng)f(1)＝f(3)＝1時，f(2)＝2,3,4，有三種情況；f(1)