人教A版高中數學選擇性必修三7.3.2第2課時-離散型隨機變量的方差的綜合問題-同步練習1．(多選)對于離散型隨機變量X，有關它的均值E(X)和方差D(X)，下列說法正確的是()A．E(X)是反映隨機變量的平均取值B．D(X)越小，說明X越集中于E(X)C．E(aX＋b)＝aE(X)＋bD．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b2．設隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為()A．2B．3C．4D．53．若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p＝0.5，則E(X)和D(X)分別為()A．0.5和0.25 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.754．已知隨機變量X的分布列為X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)設Y＝2X＋3，則D(Y)等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)5．(多選)若隨機變量ξ滿足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，則下列說法正確的是()A．E(ξ)＝－4 B．E(ξ)＝－3C．D(ξ)＝－4 D．D(ξ)＝46．已知0<a<1，隨機變量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，則下列結論中不可能成立的是()ξkk－1Pa1－aA.a＝eq\f(1,3) B．a＝eq\f(2,3)C．k＝eq\f(1,2) D．k＝17．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱中，則A郵箱的信件數X的方差D(X)＝________.8．已知X是離散型隨機變量，P(X＝1)＝eq\f(1,4)，P(X＝a)＝eq\f(3,4)，E(X)＝eq\f(7,4)，則D(2X－1)等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(5,6)9．已知隨機變量X的分布列如下表所示．X－213P0.160.440.40求E(X)，E(2X＋5)，D(X)，D(2X＋5)．10．設離散型隨機變量X的概率分布為P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1,2,3,4,5.求E(X2＋4X＋4)，D(2X－1)．11．設a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，隨機變量X的分布列如下表所示，隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則當a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上增大時，關于D(Y)的表述下列正確的是()X013Pab－abA.D(Y)增大B．D(Y)減小C．D(Y)先增大后減小D．D(Y)先減小后增大12．隨機變量X的分布列為P(X＝n)＝eq\f(a,n2＋n)(n＝1,2,3)，其中a是常數，則D(aX)等于()A.eq\f(38,81)B.eq\f(608,729)C.eq\f(152,243)D.eq\f(52,27)13．設a>0，若隨機變量ξ的分布列如下ξ－102Pa2a3a則下列方差值中最大的是()A．D(ξ) B．D(|ξ|)C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|－1)14．已知隨機變量ξ的所有可能取值為m，n，其中P(ξ＝m)＝P(ξ＝n)＝eq\f(m＋n,2)，則E(ξ)＝________，當D(ξ)取最小值時，mn＝________.15．(多選)已知隨機變量ξ的分布列(如下表)，則下列說法錯誤的是()ξxyPyxA.存在x，y∈(0,1)，E(ξ)>eq\f(1,2)B．對任意x，y∈(0,1)，E(ξ)≤eq\f(1,4)C．對任意x，y∈(0,1)，D(ξ)≤E(ξ)D．存在x，y∈(0,1)，D(ξ)>eq\f(1,4)16．為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識，某小學在9月份開學初對全校學生進行了為期一周的知識講座，事后并進行了測試(滿分100分)，根據測試成績評定為“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分．現隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如圖所示．等級不合格合格得分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，40))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(40，60))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(60，80))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80，100))頻數6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分層隨機抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(3)設函數f(ξ)＝eq\f(Eξ,Dξ)(其中D(ξ)表示ξ的方差)是評估安全教育方案成效的一種模擬函數．當f(ξ)≥2.5時，認定教育方案是有效的，否則認定教育方案應需調整，試以此函數為參考依據．在(2)的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？參考答案與詳細解析1．ABC[離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機變量的取值越集中于均值，即A，B正確；由均值和方差的性質可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正確，D錯誤．]2．C[D(2X＋1)＝4D(X)＝4.]3．A[∵X服從兩點分布，∴X的分布列為X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.]4．A[由X的分布列得E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，因為Y＝2X＋3，則D(Y)＝4D(X)＝eq\f(8,3).]5．BD[隨機變量ξ滿足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，則1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，據此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.]6．D[由題意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a)．因為E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，又0<a<1，所以k＝1－a2∈(0,1)，故k＝1不可能成立，而選項A，B，C均有可能成立．]7.eq\f(4,9)解析X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(2×2,9)＝eq\f(4,9)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×2,9)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，所以E(X)＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9).8．B[∵X是離散型隨機變量，P(X＝1)＝eq\f(1,4)，P(X＝a)＝eq\f(3,4)，E(X)＝eq\f(7,4)，∴1×eq\f(1,4)＋a×eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，解得a＝2，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16)，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×eq\f(3,16)＝eq\f(3,4).]9．解由分布列可得，E(X)＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32.所以E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×1.32＋5＝7.64.D(X)＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋(3－1.32)2×0.40＝2.9376.所以D(2X＋5)＝4D(X)＝4×2.9376＝11.7504.10．解∵E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，E(X2)＝12×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11，D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝2，∴E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋4×3＋4＝27，D(2X－1)＝4D(X)＝8.11．A[由a＋(b－a)＋b＝1，得b＝eq\f(1,2)，則E(X)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋3×eq\f(1,2)＝2－a，D(X)＝(0－2＋a)2a＋(1－2＋a)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋(3－2＋a)2×eq\f(1,2)＝－a2＋3a＋1，由Y＝2X＋1，得D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2＋13，故a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上增大時，D(Y)增大．]12．B[因為隨機變量X的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝n))＝eq\f(a,n2＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，2，3))，故eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＝1，解得a＝eq\f(4,3)，則E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(13,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(13,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(13,9)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(38,81)，故Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX))＝a2D(X)＝eq\f(608,729).]13．C[由題意，得a＋2a＋3a＝1，則a＝eq\f(1,6)，所以E(ξ)＝－1×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，E(|ξ|)＝1×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(7,6)，所以D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(5,6)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,6)))2＝eq\f(53,36)，D(|ξ|)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,6)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(7,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,6)))2＝eq\f(29,36)，所以D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝4×eq\f(53,36)＝eq\f(53,9)，D(2|ξ|－1)＝4D(|ξ|)＝eq\f(29,9)，所以D(2ξ－1)最大．]14.eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析由分布列的性質得eq\f(m＋n,2)＋eq\f(m＋n,2)＝1，即m＋n＝1，所以E(ξ)＝m·eq\f(m＋n,2)＋n·eq\f(m＋n,2)＝eq\f(m＋n2,2)＝eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－m－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2≥0，當且僅當m＝n＝eq\f(1,2)時等號成立，此時mn＝eq\f(1,4).15．ABD[依題意可得E(ξ)＝2xy，因為x＋y＝1，所以2xy≤eq\f(x＋y2,2)＝eq\f(1,2)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時等號成立，即E(ξ)≤eq\f(1,2)，故A，B錯誤；D(ξ)＝(x2y＋y2x)－(2xy)2＝xy(x＋y－4xy)＝xy(1－4xy)，D(ξ)－E(ξ)＝xy(1－4xy－2)＝－xy(1＋4xy)，由于xy>0，∴D(ξ)－E(ξ)<0，故C正確；令t＝xy，則D(ξ)＝t(1－4t)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,8)))2＋eq\f(1,16)，即D(ξ)≤eq\f(1,16)，故D錯誤．]16．解(1)由頻率分布直方圖可知，得分在[20,40)的頻率為0.005×20＝0.1，故抽取的學生答卷數為eq\f(6,0.1)＝60，又由頻率分布直方圖可知，得分在[80,100]的頻率為0.2，所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18.c＝eq\f(18,60×20)＝0.015.(2)“合格”與“不合格”的人數比例為36∶24＝3∶2