第05講直線的方程【人教A版2019】·模塊一求直線方程的一般方法·模塊二兩條直線的位置關(guān)系·模塊三直線方程的實際應(yīng)用·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一求直線方程的一般方法1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點常選擇點斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點斜式；

③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；

④已知兩點用兩點式，應(yīng)注意兩點橫、縱坐標相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).【考點1求直線方程】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習）若直線l過兩點A(-2,0),B(0,1)，則直線lA．x-2yC．2x-y【解題思路】根據(jù)已知條件利用直線方程的截距式求解即可【解答過程】因為直線l過兩點A(-2,0),所以直線l的方程為x-2+故選：A.【例1.2】（2023秋·甘肅臨夏·高二?？计谀┲本€經(jīng)過點A3,-2，傾斜角為π4，則直線方程為（A．x+y+2=0C．x-y-【解題思路】由傾斜角可得直線斜率，利用直線點斜式可整理得到直線方程.【解答過程】∵直線傾斜角為π4，∴直線斜率k∴直線方程為：y+2=x-故選：C.【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習）設(shè)A、B是y軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且PA=PB，若直線PA的方程為x-y+1=0A．x+y-C．2x+y【解題思路】根據(jù)直線PA的方程，確定出PA的傾斜角，利用PA=PB且A、B在y軸上，可得PB的傾斜角，求出P的坐標，然后求出直線【解答過程】解：由于直線PA的方程為x-y+1=0，故其又|PA|=|PB|，且A、B是y軸上兩點，故直線又當x=2時，y=3，即∴直線PB的方程為y-3=-(x故選：A．【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，已知點A5,-2，B7,3，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在xA．5x-2C．5x-2【解題思路】設(shè)C(x,y)，【解答過程】設(shè)C(x,y)因為A5,-2，B所以x+52=0解得x=-5，y=-3，m=-即C(-5,-3)，M(0,-5所以MN所在直線方程為y+即5x故選：A．【考點2直線過定點問題】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）不論k為任何實數(shù)，直線(2k-1)A．(-2,3) B．(2,3) C．(2,-3) D．(-2,-3)【解題思路】直線方程即k(2x+y-1)+(-【解答過程】直線(2即k(2根據(jù)k的任意性可得2x-y∴不論k取什么實數(shù)時，直線(2k-1)故選：B.【例2.2】（2023·全國·高二專題練習）無論m取何實數(shù)時，直線m-1xA．72,52 B．52,【解題思路】將直線方程可化為-x-3y【解答過程】直線方程可化為-x解方程組-x-3即定點的坐標為72故選：A.【變式2.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）當a取不同實數(shù)時，直線a-1x-yA．2,3 B．-C．1,-12 D【解題思路】先化簡直線方程，令a的系數(shù)為0，即可求出定點坐標.【解答過程】將直線方程化為ax+2-x-y+1=0故選：B.【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）以下關(guān)于直線3x-ayA．直線3xB．直線3xC．直線3xD．直線3x-ay【解題思路】首先求出直線過定點坐標，即可判斷A、D，再分a=0、a>0、a<0三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B【解答過程】對于直線3x-ay+1=0，令y=0一定不經(jīng)過原點，故A正確；當a=0時直線即為x當a≠0時直線即為y若a>0，則1a>0若a<0，則1a<0所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點-13,0，所以直線故選：B.模塊二模塊二兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當時，記為）垂直k1·k2=-1（當時，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當時，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當時，記為）【考點3由兩條直線平行求方程】【例3.1】（2023春·湖北恩施·高二?？计谀┻^點A2,3且平行于直線2x+A．x-2y+4=0 B．2x+【解題思路】由平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再根據(jù)過點A2,3【解答過程】∵所求直線與直線2x∴可設(shè)所求直線方程為2x又過點A2,3，則4+3+c=0∴所求直線方程為2故選：B．【例3.2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點A(2,-3)，且與直線y=x+1平行，則直線A．x-y+2=0C．x-y-【解題思路】通過平行可設(shè)直線l的方程為x-y+m=0【解答過程】設(shè)與直線y=x+1即x-y把點A(2,-3)代入可得2+3+m=0因此直線l的方程為x故選：D.【變式3.1】（2023春·福建福州·高二校考期末）若直線l1:2x-3y-3=0與l2A．3x+2yC．2x-3【解題思路】由題意設(shè)直線l2的方程為2x-3y+m=0，然后將點【解答過程】因為直線l1:2x-3y-因為直線l2過點(2,1)所以4-3+m=0，得所以直線l2的方程為2故選：D.【變式3.2】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┡c直線y=-2x+3平行，且與直線y=3xA．y=-2x+4C．y=-2x-【解題思路】先求出直線y=3x+4交于x軸交點P(-43【解答過程】設(shè)直線y=3x+4交于x軸于P點，令y=0，則所求直線與y=-2x+3平行，設(shè)代入得-2×(-4所求直線方程為：y故選：C.【考點4由兩條直線垂直求方程】【例4.1】（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┙?jīng)過點P0,1，且與直線y=2xA．y=2x+1C．y=-12【解題思路】根據(jù)題意，得到所求直線的斜率k=-1【解答過程】由題意知，直線y=2x-因為所求直線與直線y=2x-1垂直，所以所求直線的斜率滿足又因為所求直線過點P0,1，所以方程為y-1=-故選：C.【例4.2】（2023·高二課時練習）在過點2，1的所有直線中，與原點距離最遠的直線方程是（A．x+2y-C．2x+3y【解題思路】根據(jù)與原點距離最遠的直線是與原點與2，1【解答過程】在過點2，1的所有直線中，與原點距離最遠的直線是與原點與2，1連線垂直的直線，過2，1和(0,0)的直線斜率為12故選：B.【變式4.1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）直線l的方向向量為2,3，直線m過點1,1且與l垂直，則直線m的方程為（

）A．2x+3yC．3x+2y【解題思路】先由直線l的方向向量求得kl，再利用直線垂直的性質(zhì)求得km，從而利用點斜式即可求得直線m【解答過程】因為直線l的方向向量為2,3，所以kl又因為直線m與l垂直，所以klkm所以由直線m過點1,1可得，直線m的方程為y-1=-2故選：A.【變式4.2】（2023·全國·高二專題練習）已知A3,1，B1,-2，C1,1，則過點C且與線段ABA．3x+2yC．2x-3【解題思路】求出直線AB的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點斜式可求出答案【解答過程】解：因為kAB所以與AB垂直的直線的斜率為-2所以過點C且與線段AB垂直的直線方程為y-1=-2故選：D.【考點5根據(jù)兩直線平行或垂直求參數(shù)】【例5.1】（2023·全國·高一專題練習）已知直線l1:x(1)若l1⊥l(2)若l1∥l2【解題思路】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式A1（2）根據(jù)兩直線平行，A1B2=【解答過程】（1）若l11×a+a×-（2）若l1∴a2=-2aa=-3時，l1:a=1時，l1:x+所以a=-3【例5.2】（2023·高三課時練習）已知兩直線l1:x+m2y+6=0，(1)相交；(2)平行.【解題思路】（1）對m進行分類討論，結(jié)合兩直線相交求得正確答案.（2）根據(jù)兩直線平行列方程，化簡求得m的值.【解答過程】（1）當m=0時，l1:此時1×3m≠m由于m≠0，所以m解得m≠3且m所以當m≠3且m≠-1且m≠0時，l1（2）由（1）可知，當m=0時l1與當m≠0時，要使l1與則需1×3m=m由于m≠0，所以m解得m=3或m當m=3時，l1當m=-1時，l1:x+y綜上所述，當m=0或m=-1時，l1與【變式5.1】（2023·全國·高二專題練習）a為何值時，(1)直線l1:x(2)直線l3:2x【解題思路】（1）根據(jù)兩直線平行所滿足的公式得到方程和不等式，求出a的值；（2）法一：考慮a=0與a≠0兩種情況，根據(jù)斜率乘積為法二：根據(jù)兩直線垂直所滿足的A1A【解答過程】（1）要使兩直線平行，則需2a3a解得：a=1所以當a=16（2）法一：①當a＝0時,直線l3的斜率不存在，直線l3:x-②當a≠0，直線l3:要使兩直線垂直，必有-2綜上①②可得：當a＝0時,兩直線垂直.法二：要使直線l3:2x只需2a解得：a＝0，所以當a＝0時，兩直線垂直.【變式5.2】（2023秋·高二課時練習）已知兩條直線l1:mx+8y(1)l1與l2相交于一點(2)l1//l2且(3)l1⊥l2且l1在【解題思路】（1）根據(jù)題意得到方程組m2（2）當m=0時，此時不滿足l1//l2；當（3）根據(jù)題意得到方程組2m+8【解答過程】（1）解：由于l1與l2相交于一點P(m,1)可得m2+n（2）解：當m=0時，可得l1:8y+當m≠0時，因為l1//l2且l解得m=4,n=-4（3）解：由l1⊥l2且l1在y軸上的截距為-1模塊三模塊三直線方程的實際應(yīng)用1．直線方程的實際應(yīng)用利用直線方程解決實際問題，一般先根據(jù)實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現(xiàn)盲目性.【考點6直線方程的實際應(yīng)用】【例6.1】（2022·高二課時練習）一根鐵棒在40℃時長12.506m，在80℃時長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并根據(jù)這個方程求出這根鐵棒在100℃時的長度．【解題思路】用直線的斜截式方程寫出l與t的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.【解答過程】依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：l=kt+于是得12.506=40k+b則l與t的關(guān)系式為l=0.00015t+12.5，當t所以所求直線的方程為l=0.00015t+12.5，鐵棒在100℃【例6.2】（2022·全國·高二專題練習）為了綠化城市，準備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點Q在AB上，且PQ//CD，（1）如圖建立直角坐標系，求線段AB所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到1m2【解題思路】（1）根據(jù)題意可得OA=20,OB（2）設(shè)Qx,20-2x【解答過程】（1）由題意得OA=20,所以線段AB所在直線的方程為x30+y（2）設(shè)QxS=-故當x=5,y=503【變式6.1】（2023秋·上海浦東新·高二?？计谥校┳闱虮荣愔校シ疥爢T在守方隊員的逼搶下，其行進路線可看作一條直線l，已如球門兩根立柱的坐標分別為A-3，0，B3，0，直線l過兩點-現(xiàn)攻方隊員在行進過程中尋求機會射門，其位置用點P表示，（1）若以攻方隊員與球門中心O（O為坐標原點）的距離最近為標準，求點P的坐標；（2）若以攻方隊員對球門范圍的視角最大（即∠APB最大）為標準，求點P（結(jié)果保留一位小數(shù)）【解題思路】建立平面直角坐標系，求得直線l的方程.（1）設(shè)出P點坐標，根據(jù)OP⊥l列方程，解方程求得P（2）設(shè)出P點坐標，通過計算tan∠APB的最大值，求得此時對應(yīng)的點P【解答過程】建立平面直角坐標系如下圖所示，由于直線l過兩點-20，-20，-10，-（1）當直線OP⊥l時，攻防隊員與球門中心O的距離最近，直線OP的方程為y=2x.由（1）設(shè)P-2a①當57+2a=0，a=-572②當63+2a=0，a=-632③當a≠-572且a≠-632時，kPA=a-2a-57,k【變式6.2】（2023秋·江蘇揚州·高二?？茧A段練習）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、5km.現(xiàn)要過點P修建一條直線型公路BC（1）記∠CBM=θ，并設(shè)tan（2）設(shè)三角形區(qū)域工業(yè)園的占地面積為S，試將S表示成k的函數(shù)S=（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點B的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．【解題思路】（1）由傾斜角的范圍得出斜率范圍；（2）以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，得到直線AN的方程是y=-2設(shè)點Px0，3，根據(jù)點P到直線的距離公式得到設(shè)直線BC的方程為y-3=kx-1，求出B點坐標，由直線y-3=k（3）由（2）得1+Sk2+2【解答過程】（1）由題意得90°<α<θ即-2<（2）以點A為原點，AM所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則由已知得AN所在直線的方程為y=-2x，即根據(jù)已知設(shè)P點坐標為x0，3，由點P到公路AN的距離為5解得x0=1或x0=-4.當x0所以公路BC所在直線的方程為y-令y=0，得x=1-3將y=-2x代入y-3=k即C所以S=（3）由（2）得1+S有Δ=(2S-6)2-當S=15時，k故面積的最小值為15，此時B5綜上所述，當點B距離點A5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15k模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023·全國·高二專題練習）平面直角坐標系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說法中，正確的有幾個（

）①直線l：x+y②直線y=kx-2③直線x-④直線x-3A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】①代入驗證即可；②當x=0時可得在y軸的截距；③由k>0,b>0【解答過程】①將P1,2代入x+y②當x=0時，y=-2，故在③由x-y+4=0故k=1>0，故其圖像不經(jīng)過第四象限，故正確；④x-3y+1=0的斜率為故選：C.2．（2023春·廣東深圳·高二校考階段練習）直線l1:mx-y+1=0,lA．0 B．1 C．0或1 D．13或【解題思路】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【解答過程】l1⊥l2?m3故選：C.3．（2022·高二課時練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率k及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.【解答過程】由題意知：蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過(6,17.4),(21,8.4)兩點，故其斜率k=∴直線方程為l-∴當蠟燭燃盡時，有t-21=14，即故選：B.4．（2023·全國·高二專題練習）已知直線x+ky-2-3k=0恒過定點Q,A．x+y-4=0 B．2x-【解題思路】求出直線x+ky-2-3【解答過程】由題意知x+ky-則直線恒過定點Q(2,3)，驗證選項得直線l的方程可以為2故選：B.5．（2023·全國·高二專題練習）下列說法不正確的是（

）A．直線y=axB．直線y=3x-2C．直線3x+D．過點-1,2且垂直于直線x-【解題思路】求出直線y=ax-3a+2a∈R所過定點的坐標，可判斷A選項；根據(jù)直線截距的定義可判斷【解答過程】對于A選項，直線方程可化為ax-3+2-y故直線y=ax-3a對于B選項，直線y=3x-2在y軸上的截距為對于C選項，直線3x+y+1=0的斜率為-3對于D選項，直線x-2y故過點-1,2且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為y-故選：C.6．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線m:xcosα-A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．m和n可能平行D．在m上存在一點P，使得n以P為中心旋轉(zhuǎn)后與m重合【解題思路】根據(jù)km=cosα>-3=kn可得A，C錯誤；當cosα=13時，B錯誤；當點P是直線m【解答過程】由題意得：km=cosα>-3=kn所以直線m又當cosα=13時，直線m和當點P是直線m和n的交點時，n以P為中心旋轉(zhuǎn)后可以與m重合，故D正確．故選：D.7．（2023·全國·高二專題練習）若△ABC的三個頂點為A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，則BCA．3x+2yC．2x-y【解題思路】根據(jù)B,C【解答過程】因為B(2,1)，C(0,2)，故可得B,則BC邊上的高所在直線的斜率k=2，又其過點A故其方程為y=2(x-故選：B.8．（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2x-y+1=0,l2:3A．-5 B．5 C．-7 D【解題思路】利用直線一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為l1所以由l1⊥l2，得由l2//l3，得所以a-故選：B．9．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my+1=0和過定點B的動直線mx-yA．25 B．32 C．3 D【解題思路】根據(jù)動直線方程求出定點A,B的坐標，并判斷兩動直線互相垂直，進而可得|PA|【解答過程】解：由題意，動直線x+my+1=0直線mx-y-2m+3=0可化為又1×m+m所以|PA因為|PA所以PA+PB≤2故選：D.10．（2022秋·貴州貴陽·高三?？茧A段練習）已知m∈R，若過定點A的動直線l1：x-my+m-2=0和過定點B的動直線l2：mx+A．A點的坐標為2,1 B．PAC．PA2+PB2=25【解題思路】根據(jù)定點判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【解答過程】因為l1:x故直線恒過定點A2,1，故A選項正確；又因為l2：mx+y+2m-由l1:x-my+m-2=0所以l1⊥l2,可得PA所以PA2+PB2=因為PA⊥PB,設(shè)∠則PA=5所以2PA+PB=52cosθ+sinθ=55sinθ+φ,所以當故選：D.11．（2023·全國·高二專題練習）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是3，且經(jīng)過點A5,3(2)經(jīng)過點A-(3)在x軸，y軸上的截距分別為-3,-1(4)經(jīng)過點B4,2，且平行于x(5)求過點A1,3，斜率是3的直線方程(6)求經(jīng)過點A-5,2，且在y軸上截距為2【解題思路】（1）（5）：根據(jù)直線點斜式方程運算求解；（2）根據(jù)直線的兩點式方程運算求解；（3）根據(jù)直線的截距式方程運算求解；（4）根據(jù)平行關(guān)系可得直線的斜率，進而可得方程；（6）根據(jù)題意結(jié)合直線的斜截式方程運算求解.【解答過程】（1）由點斜式得直線方程為y-3=3（2）由兩點式得直線方程為y-5-（3）由截距式得直線方程為x-3+（4）因為平行于x軸，所以直線的斜率為0，又因為直線過點B4,2，所以直線方程為：（5）由點斜式得直線方程為y-3=3(x（6）由題意可知該直線斜率存在，又因為直線在y軸上截距為2，所以可設(shè)直線方程為y=又因為該直線過點A-5,2，則2=-5k所以直線方程為y=212．（2023秋·高二課時練習）設(shè)直線l1:ax-by+4=0，l（1）l1⊥l2，且（2）l1//l2，且l1，【解題思路】（1）由l1過點M(-4,-1)，可得：-4a+（2）由題意可得：兩條直線不可能都經(jīng)過原點，當b=0時，可知：兩條直線不平行；當b≠0時兩條直線分別化為：y=abx+4b，y=(1-【解答過程】解：（1）∵l1過點M(-4,-1)∵l1⊥解得：a=1b=0（2）由題意可得：兩條直線不可能都經(jīng)過原點，當b=0時，兩條直線分別化為：ax+4=0，可知兩條直線不平行．當b≠0時，兩條直線分別化為：y=a由于l1//l2，且l1∴ab=1-a解得：b=2a=13．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l的方程為3x+4y-12=0(1)過點-1,3，且與l(2)過點-1,3，且與l(3)l'與l垂直，且l'【解題思路】（1）根據(jù)直線平行斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解，（2）根據(jù)直線垂直斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解，（3）根據(jù)直線垂直關(guān)系，可設(shè)直線的方程，根據(jù)面積即可求解.【解答過程】（1）方法一l的方程可化為y=-34x+3，∵l'與l平行，∴l(xiāng)'的斜率為又l'過點-1,3，∴由點斜式得直線l'的方程為y方法二由l'與l平行，可設(shè)l'的方程為3x將-1,3代入得m=-9.∴所求直線方程為方法三由l'與l平行，且過點-1,3，則l'的方程為3（2）方法一l的方程可化為y=-34x+3，由l'與l垂直，得l'的斜率為又l'過點-1,3，∴由點斜式得直線l'的方程為y方法二由l'與l垂直，可設(shè)l'的方程為將-1,3代入得n=13.∴所求直線方程為（3）方法一l的方程可化為y=-34x+3，∵l'⊥l，設(shè)l'在y軸上的截距為b，則直線l'的方程為令y=0，可得l'在x軸上的截距為由題意可知，圍成的三角形面積S=12?∴直線l'的方程為y=4即4x-3方法二由l'與l垂直，可設(shè)直線l'的方程為則l'在x軸上的截距為-p4，在y由題意可知，圍成的三角形面積S=12∴直線l'的方程為4x-14．（2023·全國·高二專題練習）已知直線