專題06二次函數(shù)中的存在性問題專訓【題型目錄】題型一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題題型二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題題型三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題題型四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題題型五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題題型六二次函數(shù)中矩形的存在性問題題型七二次函數(shù)中菱形的存在性問題題型八二次函數(shù)中正方形的存在性問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式：(2)證明：為直角三角形：(3)在拋物線上除點外，是否還存在另外一個點，使是直角三角形？若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸正半軸交于點，其中點坐標為，且．(1)求二次函數(shù)表達式；(2)拋物線上是否存在一點，使得是以為直角邊的直角三角形，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式及頂點坐標；(2)將拋物線沿y軸方向向上平移k個單位（），平移后拋物線的頂點為點P，且點P在x軸下方，是否存在點P，使得以B，C，P為頂點的三角形為直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線經(jīng)過B，C兩點，已知，，且．

(1)試求出點B的坐標．(2)分別求出直線和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線的頂點為D，其圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點，點B的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得以A，C，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出以為腰時點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點，，對稱軸是，與軸相交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為拋物線對稱軸上一動點，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，連接．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作軸，垂足為點M，交于點Q，過點P作交x軸于點E，交于點F．(1)求拋物線的解析式：(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)請用含m的代數(shù)式表示線段的長，并求出m為何值時有最大值．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學?？寄M預(yù)測）已知拋物線：的圖象與軸相交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點．(1)當時，判斷的形狀；(2)拋物線與拋物線關(guān)于原點中心對稱，拋物線與軸相交于點．在軸右側(cè)有一點，使得是等腰直角三角形，并且點在拋物線上，求此時拋物線的解析式．【變式訓練】1．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點．直線過點且在第一象限與拋物線相交于點．(1)①求此拋物線的函數(shù)解析式；②當時，自變量的取值范圍__________；(2)設(shè)點的橫坐標為，作軸于．①當為等腰直角三角形時，點的縱坐標為________（用含的式子表示）；②在①題的條件下，求出點的坐標．2．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于A、B、C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，連接．動點P從點A出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為t秒．

(1)求拋物線的表達式；(2)在P、Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點、（點在點的右側(cè)），與y軸交于點，點為該拋物線的對稱軸上的點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題】【例4】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線M交x軸于與兩點，交y軸于點，點在拋物線上運動．(1)求出拋物線的解析式；(2)是否存在點（在上方），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．點是拋物線上一動點，且在直線的下方，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，若，求點的坐標；(3)連接，求四邊形面積的最大值．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與探究拋物線與軸交于A，兩點（點A在點的左側(cè)），與軸交于點．已知點A的坐標為，點的坐標為，是線段上的一個動點，點從點出發(fā)沿方向向點A移動，運動速度為每秒2個單位長度，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，設(shè)點的運動時間為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標．(2)如圖1，當時，作直線，是直線上方拋物線上一點，連接，，是拋物線對稱軸上的一個動點．當?shù)拿娣e最大，且是等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，連接，，是否存在某一時刻，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與軸交于點，且頂點的坐標為，對稱軸與直線交于點，與軸交于點，連接．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點在上方二次函數(shù)圖象上，且的面積等于6，求點的坐標；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在一點，使得？若存在，求出直線與軸的交點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（在的左側(cè)），與軸交于點．

(1)求點、、的坐標；(2)點在坐標平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是以為邊且面積為12的平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為．連接，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使得以，，，四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，頂點為．(1)求該二次函數(shù)的解析式和頂點的坐標(2)設(shè)圖像的對稱軸為，點是圖像上一動點，當?shù)拿娣e為時，點關(guān)于的對稱點為，能否在圖像和上分別找到點，，使得以點、、、為頂點的是四邊形為平行四邊形?若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．3．（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，過點的直線交拋物線于點．

(1)求拋物線的解析式．(2)點是線段上一個動點，過點作軸的垂線交拋物線于點，求線段最大時點的坐標．(3)點是拋物線上的動點，在軸的正半軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)中矩形的存在性問題】【例6】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長為，曲線是拋物線的一部分，頂點C在的垂直平分線上，且到的距離為．以中點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．

(1)求圖2中拋物線的表達式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)要從此材料中裁出一個矩形，使得矩形有兩個頂點在上，另外兩個頂點在拋物線上，求滿足條件的矩形周長的最大值．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標軸相交于，兩點，點D為直線下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的最大值；(3)過點B的直線交y軸于點C，交直線于點F，H是y軸上一點，當四邊形是矩形時，求點H的坐標．2．（2023·山東泰安·校考二模）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于B、C兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且交x軸于另一點．點D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，過點D作，交于點P，交x軸于點Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，在點D的移動過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點E，在平面直角坐標系內(nèi)取點F，問是否存在以C、B、E、F為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，．

(1)求拋物線解析式，并直接寫出直線的解析式；(2)點在此拋物線的對稱軸上，當最大時，點的坐標為______；(3)若點是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交于點，過點作交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；(4)點在拋物線上，在平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)中菱形的存在性問題】【例7】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，已知經(jīng)過，兩點的拋物線與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式及點的坐標；(2)若線段上有一動點不與、重合，過點作軸交拋物線于點．①求當線段的長度最大時點M的坐標；②是否存在一點，使得四邊形為菱形？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L：與x軸交于，兩點，其對稱軸直線l與x軸交于點D．(1)求拋物線L的函數(shù)表達式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線，當拋物線經(jīng)過原點時，與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線對稱軸上的一點，點M是平面內(nèi)一點，若以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請求出滿足條件的點M的坐標．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與軸交于點和點．與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當點到，距離相等時，求點的坐標；(3)如圖2，點在拋物線上，點在直線上，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023秋·重慶南川·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當動點Р運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；(3)如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中正方形的存在性問題】【例8】（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．點B坐標為，點C坐標為，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點M是拋物線上的動點，過點M作軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得以線段為對角線的四邊形為正方形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于一個函數(shù)，自變量x取a時，函數(shù)值y也等于a，則稱a是這個函數(shù)的不動點．已知拋物線．(1)若拋物線經(jīng)過點，求該拋物線的頂點坐標；(2)如圖，在（1）的條件下，在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于B，C兩點（點C在對稱軸的右側(cè)），過點B，C作x軸的垂線，垂足分別為E，D．當矩形為正方形時，求B點的坐標．(3)若拋物線有兩個相異的不動點a、b，且，求m的取值范圍．2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，直線與x軸