專題四數(shù)列思維導(dǎo)圖1.2知識(shí)點(diǎn)識(shí)記1、數(shù)列概念（1）數(shù)列中“數(shù)”具有順序性；（2）數(shù)列中項(xiàng)與序號(hào)一一對(duì)應(yīng)；（3）2、通項(xiàng)公式定義：數(shù)列第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系式，即表示；根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式,可以求解出數(shù)列的任意一項(xiàng)；數(shù)列的通項(xiàng)公式不具有唯一性；不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式。3、等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)，則此數(shù)列為等差數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)，則此數(shù)列為等比數(shù)列一般形式通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式中項(xiàng)性質(zhì)4、數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列第n項(xiàng)an的關(guān)系：。1.2.2基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試1、數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=4n-1,則a6等于（）A.21B.22C.23D.24〖解析〗C。由通項(xiàng)公式可知：a6=4×6-1=23；故答案為C。2、。A.1，4，9B.2，4，9C.2，6，11D.2，1，4〖解析〗B。由通項(xiàng)公式可知：數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，22，32，即2，4，9；故答案為B。3、A.B.C.D.〖解析〗B。由題意知數(shù)列每項(xiàng)是有系數(shù)-1的n-1次冪與2-n乘積組成；故答案為B。4、已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，d=3，那么當(dāng)an=298時(shí)，項(xiàng)數(shù)n等于（）A.98B.99C.100D.101〖解析〗C。等差數(shù)列通項(xiàng)公式知：an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×3=298；解得n=100；故答案為C。5、在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a4=16,則a3=（）。A.4B.8C.16D.32〖解析〗B。由題意知a3為a2，a4的等差中項(xiàng)，所以；故答案為B。設(shè){an}是等比數(shù)列,若a2=3,a4=6,則a6的值是 ()9 B.12 C.16 D.36〖解析〗B。由題意知a4為a2，a6的等比中項(xiàng)，所以；故答案為B。設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=12,則a7+a8+a9=（）。20 B.36 C.15 D.18〖解析〗B。由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9三者成等比數(shù)列，即可得出答案為B。已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝。〖解析〗。由數(shù)列通項(xiàng)公式求解方法可知：；所以答案為。。〖解析〗。由函數(shù)定義可知：；故答案為。10、在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＝16，則前8項(xiàng)的和等于。〖解析〗510或170。由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到：。故答案為510或170。1.2.3職教高考考點(diǎn)直擊數(shù)列部分在職教高考中為常見考點(diǎn)，分值在10分左右，考頻較高，常以選擇題、解答題形式考查，與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)結(jié)合出現(xiàn)，題型難度適中。復(fù)習(xí)中加強(qiáng)等差、等比數(shù)列性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用的練習(xí)。1.2.4高考經(jīng)典例題剖析例1（2018年山東春季高考）（）。A.0B.-1C.-2D.-3〖解析〗C。使用遞推關(guān)系式求解：故答案為C?！键c(diǎn)評(píng)〗考查利用數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系代數(shù)式按照遞推關(guān)系，依次求解各項(xiàng)的值。變式1。A.1B.2C.3D.4〖解析〗C。；；故答案為C。例2（2019年山東春季高考）若等差數(shù)列{an}前7項(xiàng)和為70，則a1+a7等于（）。5B.10C.15D.20〖解析〗D。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：；所以答案D。〖點(diǎn)評(píng)〗考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用。例3若等差數(shù)列的{an}前7項(xiàng)和為70，則a3+a5等于（）。A.5B.10C.15D.20〖解析〗D。；所以答案為D?！键c(diǎn)評(píng)〗考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)的結(jié)合運(yùn)用。變式2。26B.100C.126D.155〖解析〗C。；；故答案為C。第二項(xiàng)a2;通項(xiàng)公式an。〖解析〗解（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出：。數(shù)列通項(xiàng)公式為：當(dāng)綜上所述，數(shù)列通項(xiàng)公式為。〖點(diǎn)評(píng)〗綜合考查數(shù)列通項(xiàng)公式的定義求解方法。變式3在等差數(shù)列{an}中，已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn，且S10=S15，求當(dāng)n為何值時(shí)，Sn取得最大值？并求出最大值?！冀馕觥皆O(shè)等差數(shù)列的公差為d；所以求前n項(xiàng)和為最大值，即；所以當(dāng)n≥14時(shí)，a14＜0；當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最大值。。例5（2015年山東春季高考）在等比數(shù)列{an}中，已知a2=1，a4=3，則a6的值為（）。A.-5B.5C.-9D.9〖解析〗D。在等比數(shù)列{an}中，a2，a4，a6構(gòu)成等比數(shù)列，則a2a6=a42，所以a6=9；故答案為D。〖點(diǎn)評(píng)〗綜合考查等比數(shù)列中等比中項(xiàng)公式的應(yīng)用。變式3已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于()A.-10B.-8C.-6D.-4〖解析〗C。由a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以(a2＋d)2＝(a2－d)(a2＋2d)；即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)；解得a2＝－6；故選C。變式4求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若數(shù)列{bn}滿足bn=an+n,求{bn}的前n項(xiàng)和Sn?！冀馕觥剑?）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則。故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2）有（1）知，?！键c(diǎn)評(píng)〗等比數(shù)列中五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知3求2”，通過方程組求解。注意整體代換思想的運(yùn)用。例6、(2019年山東春季高考)某城市2018年年底人口總數(shù)為50萬，綠化面積為35萬平方米，假定今后每年人口總數(shù)比上一年增加1.5萬，每年新增綠化面積是上一年年底綠化面積的5%，并且每年均損失0.1萬平方米的綠化面積(不考慮其他因素)。(1)到哪一年年底，該城市人口總數(shù)達(dá)到60萬(精確到1年)?(2)假如在人口總數(shù)達(dá)到60萬并保持平穩(wěn)、不增不減的情況下，到哪一年年底，該城市人均綠化面積達(dá)到0.9平方米(精確到1年)?〖解析〗解：(1)由題意知，自2018年起，每年的人口總數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其中首項(xiàng)a1＝50，公差d＝1.5，通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝50＋(n－1)×1.5，設(shè)第n項(xiàng)an＝60，即50＋(n－1)×1.5＝60，解得n＝7.7，∵n∈N＋，∴n＝8，2018＋8－1＝2025.答：到2025年年底，該城市人口總數(shù)達(dá)到60萬。(2)由題意知，自2018年起，每年的綠化面積數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，其中b1是2018年年底的綠化面積數(shù)，b1＝35；b2是2019年年底的綠化面積數(shù)，b2＝35×(1＋5%)－0.1＝35×1.05－0.1；b3是2020年年底的綠化面積數(shù)，b3＝(35×1.05－0.1)×1.05－0.1＝35×1.052－0.1×1.05－0.1；…bk是(2018+k-1)年年底的綠化面積數(shù),bk＝35×1.05k－1－0.1×1.05k－2－0.1×1.05k－3－…－0.1×1.05－0.1設(shè)；解得k≈10.3，由于k∈N+，所以k=11，2018+11-1=2028。答：到2028年底，該城市人均綠化面積達(dá)到0.9平方米。1.2.5考點(diǎn)鞏固練習(xí)一、選擇題1、有下列說法：①數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}；②數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1是同一數(shù)列；③數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列1，3，5，7，是同一數(shù)列；④數(shù)列0，1，0，1，是常數(shù)列．其中說法正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的定義即可判斷?！驹斀狻竣僬f法錯(cuò)誤，構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無序的；②說法錯(cuò)誤，兩數(shù)列的數(shù)排列順序不相同，不是相同的數(shù)列；③說法錯(cuò)誤，數(shù)列1，3，5，7是有窮數(shù)列，而數(shù)列1，3，5，7，是無窮數(shù)列；④說法錯(cuò)誤，由常數(shù)列的定義，可知0，1，0，1，不是常數(shù)列。故選：A。2、若lga，lgb，lgc三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則()A. B．C． D．〖解析〗C。由題意知；故答案為C。3、若x,a,2x,b成等差數(shù)列,則a∶b=（）。A． B．C． D．【答案】B。由題意得出：；故選：B。4、《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》，是屮國古代數(shù)學(xué)名著，程大位著.書中有如下問題：“今有五人均銀四十兩，甲得十兩四錢，戊得五兩六錢.問：次第均之，乙丙丁各該若干？”意思是：有5人分40兩銀子，甲分10兩4錢，戊分5兩6錢，且相鄰兩項(xiàng)差相等，則乙丙丁各分幾兩幾錢？（注：1兩等于10錢）（）A．乙分8兩，丙分8兩，丁分8兩 B．乙分8兩2錢，丙分8兩，丁分7兩8錢C．乙分9兩2錢，丙分8兩，丁分6兩8錢 D．乙分9兩，丙分8兩，丁分7兩【答案】C?！痉治觥扛鶕?jù)題意，設(shè)五人所得的錢數(shù)等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)，，得到，從而得到，得到答案?！驹斀狻坑深}意可得甲、乙、丙、丁、戊所得錢數(shù)成等差數(shù)列，則，，設(shè)公差為，所以，即，解得，可得；；，所以乙分9兩2錢，丙分8兩，丁分6兩8錢，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)中基本量的計(jì)算，求等差數(shù)列中的某一項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題。5、在等比數(shù)列{an}中,已知a1=1,q=2,則第5項(xiàng)至第10項(xiàng)的和為（）。A．63 B．992C．1023 D．1008【答案】D。由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式知，；；故答案為D。6、等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和等于首項(xiàng)的3倍，則該等比數(shù)列的公比等于()。A．-2 B．1C．-2或1 D．2或-1〖解析〗C。當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1成立；當(dāng)q≠1時(shí)，；故答案為C。7、記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，且，則的值為（）A．5050 B．2600 C．2550 D．2450【答案】B【分析】討論為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)奇偶數(shù)項(xiàng)分組求和，即可求的值?！驹斀狻慨?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，即常數(shù)列。則。故選：B。8、在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=10，a3+a4=40,則a5+a6等于（）。A.160B.±160C.70D.±70〖解析〗A。設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，則所以；故答案為A。9、在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足S1，S2，S4成等比數(shù)列，則等于（）。A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C。由題意得到∵公差d≠0，∴。故選C。10、在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，則n等于（）。A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C。；等差數(shù)列性質(zhì)知，；所以；故選：C。11、。A.100B.200C.300D.400〖解析〗C。；所以S100=100+200=300，故答案為C。12、已知是一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)，那么第項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)成等比數(shù)列計(jì)算出和公比的值，然后再計(jì)算第項(xiàng)的值.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)為：，所以公比，則第項(xiàng)為：，故選B。二、填空題13、在等比數(shù)列{an}中，若an＞0，a4a6＋2a5a7＋a6a8＝64，則a5，a7的等差中項(xiàng)等于?！冀馕觥?。所以；所以。14、已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為______________。【答案】?！痉治觥肯扔深}中條件求出數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】設(shè)的公差為，的公比為；因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，,所以，所以,又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，所以，故，令，記的前n項(xiàng)和為,.故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的求和，需要先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用分組求和法求解即可，常用的數(shù)列求和的方法有：分組求和，倒序相加，裂項(xiàng)相消，錯(cuò)位相減等，難度較小。15、?！冀馕觥?5。由題意知：；；解得n=15。16、在-5與16之間加入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成和為88的等差數(shù)列，則公差的值為__________?！敬鸢浮?。由等差數(shù)列求和公式得出：。17、已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，若第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2之后新的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則