寧德市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共19題.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知命題，則命題的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得答案.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得命題的否定是：.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，利用集合間的關(guān)系確定選項(xiàng).【詳解】由得，解得.記集合，，∵?，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則在定義域內(nèi)為（）A.減函數(shù) B.增函數(shù) C.偶函數(shù) D.奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出函數(shù)的解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.【詳解】設(shè)，則，解得，∴，定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，∵，∴在上為增函數(shù).故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例可說(shuō)明選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤；作差法可證明選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A、B、C，令，，，，滿足.，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.，∵，∴，∴，∴，∴，即，選項(xiàng)D正確故選：D.5.記，設(shè)，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最小值.【詳解】由題可得，函數(shù)的解析式為，令，解得或x=-1,當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴fx的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)的零點(diǎn)為a，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)的取值范圍，即可得到的大小關(guān)系.【詳解】∵在R上為減函數(shù)，在R上為減函數(shù)，∴函數(shù)在R上為減函數(shù)，∵，，∴，∴，，∴.故選：C.7.已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可以排除選項(xiàng)A,B；利用函數(shù)的單調(diào)性可排除選項(xiàng)C.【詳解】根據(jù)圖像可得函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A：為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：為奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D8.定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】令得，令可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令得，可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，由可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】令得，，即，∵，∴不恒為0，∴，即.A.令，則，∴，即，∵，∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.令，則，∴，令，則的定義域?yàn)?，且，∴是奇函?shù)，選項(xiàng)B正確.C.令，則，由得，，令，則，即，故，由得，，∴不是偶函數(shù)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.令，則，，由得不是減函數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)賦值求函數(shù)值，根據(jù)奇偶性及單調(diào)性的定義判斷選項(xiàng).二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.已知函數(shù)y=fx用列表法表示如下，則下列說(shuō)法正確的是（123321A.的定義域與值域相同B.C.若，則D.是減函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由表格得選項(xiàng)A正確；根據(jù)函數(shù)定義域可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由條件得，解出可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得選項(xiàng)D正確.【詳解】A.函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，A正確.B.由函數(shù)y=fx的定義域?yàn)榭傻眠x項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.由得，，故，C正確.D.由表格得，隨的增大而減小，故在定義域上是減函數(shù)，D正確.故選：ACD.10.已知二次函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.若恒成立，則D.若在內(nèi)有零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，根的判別式和開(kāi)口方向，零點(diǎn)存在定理及結(jié)合解不等式依次對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析求解．【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)正確；B．當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．若恒成立，則，解得：，選項(xiàng)正確；D．，要使得在內(nèi)有零點(diǎn)，則，即，解得：，選項(xiàng)正確；故選：ACD．11.已知桌面上有一個(gè)周長(zhǎng)為2的由鐵絲圍成的封閉圖形，則（）A.當(dāng)封閉曲線為半圓時(shí)，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋B.當(dāng)封閉曲線為正六邊形時(shí)，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋C.當(dāng)封閉曲線為平行四邊形時(shí)，用直徑1的圓形紙片不可以完全覆蓋D.當(dāng)封閉曲線為三角形時(shí)，用直徑為1的圓形紙片不可以完全覆蓋【答案】AB【解析】【分析】逐項(xiàng)分析各圖形的外接圓半徑或直徑，與圓形紙片的直徑比較即可確定正確選項(xiàng).【詳解】A.設(shè)半圓半徑為，則，解得，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋半圓，選項(xiàng)A正確.B.當(dāng)封閉曲線為正六邊形時(shí)，正六邊形的邊長(zhǎng)為，正六邊形外接圓的直徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正六邊形，選項(xiàng)B正確.C.當(dāng)封閉曲線為正方形時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為，正方形的外接圓直徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正方形，由正方形為平行四邊形可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.當(dāng)封閉曲線為正三角形時(shí)，正三角形邊長(zhǎng)為，正三角形的外接圓半徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正三角形，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.12.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)和面積都是，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)及面積公式求解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，則，兩式相除得，.故答案為：.13.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】故答案為：.14.已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)），過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線交的圖象于點(diǎn)C，若BC與x軸平行，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)BC與x軸平行得，利用求出，即可得到A點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，m>0，則，由BC與x軸平行得，，由得，，故，由三點(diǎn)共線得，，∴，即，解得，，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式，化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.（2）化簡(jiǎn)集合，利用集合間的關(guān)系可求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由得，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴的取值范圍為.16.近幾年，直播平臺(tái)作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸獲得越來(lái)越多人的關(guān)注和喜愛(ài).某平臺(tái)從2024年初建立開(kāi)始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會(huì)員人數(shù)逐月增加，如下表所示：建立平臺(tái)第x個(gè)月12345會(huì)員人數(shù)y（萬(wàn)）256.788.9為了描述從第1個(gè)月開(kāi)始會(huì)員人數(shù)隨時(shí)間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③.（1）選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測(cè)第幾個(gè)月會(huì)員人數(shù)達(dá)到14萬(wàn).【答案】（1）①，理由見(jiàn)解析（2），第16個(gè)月【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域以及指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性特征分析判斷；（2）根據(jù)點(diǎn)，，求，即可得函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式運(yùn)算求解【小問(wèn)1詳解】最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①，根據(jù)表格知函數(shù)解析式需滿足在上有定義，所以②不滿足，又隨著月份增加，會(huì)員人數(shù)增加速度又會(huì)減慢，所以③不符合，只有①同時(shí)滿足上述兩個(gè)特征，故最符合.【小問(wèn)2詳解】可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，，代入得解得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，，所以，可預(yù)測(cè)第16個(gè)月，會(huì)員人數(shù)達(dá)到14萬(wàn)人.17.在單位圓中，已知銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.（2）利用誘導(dǎo)公式及對(duì)稱表示，根據(jù)齊次式或同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求的值.【小問(wèn)1詳解】由三角函數(shù)定義得，.∵，為銳角，∴，∴，，，，∴.【小問(wèn)2詳解】解法一：由題意得，，，，，∴，，∵為銳角，∴，即，∴，即，∴，故，∴，即，解得或.解法二：由題意得，，，，，∴，，∵銳角，∴，即，∵，∴或，∴或.18.已知函數(shù)（1）證明：為奇函數(shù)；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3），，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義域?yàn)镽且可得為奇函數(shù).（2）利用定義法可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得，分析范圍，利用集合間的關(guān)系可求參數(shù)的范圍.【小問(wèn)1詳解】∵的定義域?yàn)镽，且∴為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】，且，則，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，故，即，∴在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故，即，∴在上是減函數(shù).綜上，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】解法一：∵，∴，，，∴，.由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).∵，∴，∴，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.解法二：∵，∴，，，由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，即，故，∵，∴，∴，即，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.19.定義：函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)上的任意不同的兩個(gè)數(shù)和任意的，都有，則稱在上是凸函數(shù).（1）判斷是否為凸函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）已知偶函數(shù)在上是凸函數(shù)，證明：在上也是凸函數(shù)；（3）若在上是凸函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意不同的三個(gè)數(shù)和任意的，證明：當(dāng)時(shí)，都有成立.【答案】（1）是凸函數(shù)，理由見(jiàn)解析（