絕密★啟用前

2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷01（北京卷）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合A={0,1,2,3},集合B={xl<x<4},則AcB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2）

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3-4i,貝心的虛部為（）

A.3iB.-3i

C.3D.-3

3.已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,離心率為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.爐_匚1B.—

33

22

C.=1D.--尤2=1

-33

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

11

A.—2B.y=—

'v_drX

C.y=tawcD.y=x\x\

5.設(shè)a>0,b>0,則“l(fā)g（a+6）>0”是“1g（而）>0"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.在AABC中，ZA=120。，a=曬,b-c=l,則AABC的面積為（）

A.更B.-

22

C.9D.-

44

7.在AABC中，AB=4,AC=3,_@.|AS+Ac|=|AB—Ac|,則A3.BC=（）

A.16B.-16C.20D.-20

8.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，若$3=30,08=4,則品=（）

A.54B.63

C.72D.135

9.在平面直角坐標(biāo)系中，記"為點(diǎn)P（cosftsin。）到直線區(qū)-y-3左+4=0的距離，則當(dāng)0,左變化

時(shí)，d的最大值與最小值之差為（）

A.2B.3C.4D.6

10.如圖，正方體ABCD-ABCR中，點(diǎn)P為線段BC,上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）三棱錐A-RPC的體積為定值；

（2）直線AP與平面AC。所成的角的大小不變；

（3）直線AP與4。所成的仍的大小不變，

（4）A,C1DP.

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.1J-2xj的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）

12.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)加在C上，若|MF|=3,則/到直線x=-2的距離為：.

13.若函數(shù)/（^）=2sin^cos^+Acosx（A>0）的最大值為近，則A=,.

14.已知數(shù)列｛為｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S.為其前n項(xiàng)和，4a3=16,S3=14,則

%=；記1=%%…?！埃ā?1，2,…），若存在nQeN,使得Tn最大，貝?。輓0的值為.

15.設(shè)aeR,函數(shù)“xbFz:2,，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)。=1時(shí)，“X）的最小值為-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一個(gè)零點(diǎn)；

③存在。>0,使得/（%）有三個(gè)不同零點(diǎn)；

④Vae（F,O）,f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）

如圖，直三棱柱44C1—A8C中，AB=AC=AAI,BC=42AB,點(diǎn)。是BC中點(diǎn).

（1）求證：平面BCC內(nèi);

（2）求證：48//平面4。弓；

（3）求二面角A-AB-D的余弦值.

17.(13分)

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6cosA=0asinB.

(1)求sinA；

(2)若〃=石，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，

并求AABC的面積.

條件①：b=A/6C;條件②：b=\[6；條件③：sinC=g.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

18.(13分)

2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會(huì)對(duì)接，航天員翟志剛、

王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國(guó)空間站開啟了有人長(zhǎng)期駐留的時(shí)代.2022年4月16日，

神舟十三號(hào)載人飛船圓滿完成任務(wù)，平安返回.為普及航天知識(shí)，某市組織中學(xué)生參加“探索太空”知識(shí)

競(jìng)賽，競(jìng)賽分為理論、操作兩個(gè)部分，兩部分的得分均為三檔，分別為100分、200分、300分.現(xiàn)從參加

活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計(jì)其兩部分成績(jī)，成績(jī)統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：

理論

100分200分300分

操作

100分021

200分3b1

300分23a

例如，表中理論成績(jī)?yōu)?00分且操作成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生有2人.

(1)若從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或操作至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生概率為

1求a/的值；

(2)在(1)的前提下，用樣本估計(jì)總體，從全市理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有

一個(gè)人操作的成績(jī)?yōu)?00分的概率；

(3)若要使參賽學(xué)生理論成績(jī)的方差最小，寫出6的值.(直接寫出答案)

19.（15分）

22

已知橢圓C:三+七=1(。>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(T,0),A,8分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)。(羽丫)

3

在橢圓。上，且直線AD與BD的斜率之積為-

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線2x+(y-3=0與橢圓分別相交于M,N兩點(diǎn),直線MO(。為坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)

為E,求AMVE的面積S的最大值.

20.(15分)

已知函數(shù)/(x)=?,g(x)=“l(fā)n尤,aeR.

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求。的值和該切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)//(》)=/(x)-g(x),當(dāng)〃(x)存在最小值時(shí)，求其最小值雙。)的解析式.

21.（15分）

若存在常數(shù)H左eN*,kN》、c、d,使得無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿足%+i,則稱數(shù)列｛為｝為

n

_￡N*

k

“「數(shù)列.已知數(shù)列｛%｝為“「數(shù)列”.

(1)若數(shù)列也｝中，4=1，k=3、1=4、c=。，試求%19的值;

(2)若數(shù)列也｝中，4=2,k=4、d=2、c=l,記數(shù)列｛或｝的前〃項(xiàng)和為黑,若不等式S,"?3”對(duì)

“eN*恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

(3)若產(chǎn)/為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為6,試寫出所有滿足條件的并說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué).參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

12345678910

ADCDBABBDc

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.-16012.413.1逅14.43或415.②③

2

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）

【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質(zhì)，得出AD上3c和AD，CG，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可

證出平面8CG4；

（2）連接AC,交AG于點(diǎn)E,連接OE,結(jié)合三角形的中位線得出根據(jù)線面平行的判定定理,

即可證出A\BH平面ADC1；

（3）連片A,交BA于點(diǎn)O,分別取08、A3中點(diǎn)H、連接DH、〃?、，根據(jù)線面垂直的判定

定理，可證出平面44和。3,平面。從而得出就是二面角A-A2-D的平面角，最

后利用幾何法求出二面角A-A.B-D的余弦值.

【詳解】解：（1）證明：???AB=AC,D是3C中點(diǎn)，.?.ADL3C,

又,?,在直三棱柱AgG-ABC中，CG_L平面ABC,ADu平面ABC,

AD1CQ,

又BCcCQ=C,3Cu平面8CC禺，CGu平面BCG4，

平面BCC園.

（2）證明：連接AC,交4G于點(diǎn)E,連接￡>E,

E分別是BC、AC的中點(diǎn),

.?.小是442(7的中位線，，43〃。后，

:ABa平面ADC],￡>Eu平面ADC],

.-.43//平面AZ)G

(3)解：連片A,交BA于點(diǎn)。，分別取03、A3中點(diǎn)H、0,,連接。“、HO1、D01,

?.?四邊形AB44是正方形且“、。分別是03、A8的中點(diǎn)，故H?_L08,

在AABC中，-.AB=AC,BC=y/2AB,

BC2=2AB2=AB2+AC2,..AB±AC,

又D分別是A3,3c中點(diǎn)且ABIAC,

0xDVAB,

又,在直三棱柱AgG-ABC中，叫，平面ABC,平面ABC,

OXD1,

QABoAAl=A,ABu平面抽匚平面AB4A，

，。1。_1平面43月4，

?.?03u平面ABBX\,HO】u平面ABB^,

QD1OB,0{D1HO,,

又?.?HOlLOB,0|DcHQ=0|,OQu平面DHOX,HO,u平面DHOl,

.?.。8_1_平面?！?。1,

?.?HDu平面04。，.-.OB±HD,

又?平面A418c平面ABD=AB

就是二面角的平面角，

設(shè)AB=2,則在放AHOI。中，/HC\D=90。,

O,D=-AC=1,O,H=-OA=-AB.=—,

1212412

故四—Y，

變

oH~T

故cosNQ/ZD=t

2

即二面角AYB"的余弦值為9.

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和線面平行的判定定理，以及利用幾何法求解二面角余弦值，還涉及三角形中

位線和勾股定理的逆定理的運(yùn)用，考查推理證明能力和運(yùn)算能力.

17.(13分)

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角公式計(jì)算即得.

(2)選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件②，利用正弦定理計(jì)算判斷三角形

不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積.

【詳解】(1)由。cosA二行asinB得：sinBcosA=V2sinAsinB，而sin^BwO,

則cosA=0sinA〉0，A為銳角，又sin?A+cos2A=1,解得sinA=￥，

所以sinA=3且A為銳角.

3

(2)若選條件①，由sinA=3，A為銳角，得cosA=逅，

33

由余弦定理得=/+/-2bccosA,又b=\[^c,貝！13=6c?+02—,

解得。=1/=后,AASC唯一確定，所以S=-bcsinA=^.

△/ioc22

若選條件②，由正弦定理得，工

smAsmB

由b=屈〉a=6,得B>A,因此角B有兩解，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形，不符合題意.

若選條件③，由sinA=3,A為銳角，得cosA="，

33

XsinA=—>sinC=-,得a>c,A>C,則cosC=^^,

333

因此sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=^-,^ABC唯一確定,

7Hr

由正弦定理得一三則c飛^=1,所以%^=；.118=母

sinAsinC

3

18.（13分）

【分析】（1）由題意得，寄=；，從而求解。，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)與學(xué)生總?cè)藬?shù)求解匕；（2）先求解樣本符

合題意的概率，然后由樣本估計(jì)總體，得全市學(xué)生符合題意的概率，從而利用對(duì)立事件的概率公式求解；（3）

表示出參賽學(xué)生理論競(jìng)賽的平均成績(jī)與方差，從而得關(guān)于b二次函數(shù)，由b的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)從

而求解得答案.

【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生

共有2+3+a+l+l=7+a人，則?二“=’,

202

得。=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20,

得6=5

（2）由（1）知，從20位理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中抽取1人，

3

操作成績(jī)也為300分的概率為w,所以從全市理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中,

隨機(jī)抽取2人，至少有一個(gè)人操作的成績(jī)?yōu)?00分的概率為尸=1-=||

（3）由題意，a=8-b（0<b<8）,

設(shè)理論競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)為X,則X取值為｛100,200,300｝,

對(duì)應(yīng)的人數(shù)分別為｛5乃+5,10-耳（0（后8）,所以參賽學(xué)生理論競(jìng)賽的平均成績(jī)?yōu)?/p>

E（X）=100x—+200x^^+300x^^=225-5^

v,202020

所以參賽學(xué)生理論成績(jī)的方差為

2

￡>(X)=(100-225+5才xA+(200-225+56'x^2+(300-225+x=-25b-250b+6875

因?yàn)?V%V8,所以當(dāng)6=8時(shí)，aX）最小.

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是將理論競(jìng)賽分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的人數(shù)表示為b的多項(xiàng)式，然后求解均值與方差，從而轉(zhuǎn)化

為關(guān)于b的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

19.(15分)

【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合斜率的計(jì)算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案;

（2）由題意，利用三角形中線性質(zhì)，分割三角形，整理三角形面積表達(dá)式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋

達(dá)定理，求得面積表達(dá)式中的變量，利用基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）由已知得4一。,0）,8（。,0）且心。-原。=一：，即二——J=

4x—ax+a4

因此有丁=_弧_*=白/_/),得/■=:.

1丫22

因此一〃=2=1,得°2=4,6=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+2L=1.

443

(2)顯然直線MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)設(shè)"&,%)，N(%,%),

則由橢圓的對(duì)稱性得S=2Sw=2xJoQ|(M+|M=|OQ|(M+|M，

2%+Zy—3=0

聯(lián)立fy2_，消去尤得(16+3/)，―1附-21=0.

143

A=(T8r)2+84(16+3/)>0恒成立，所以％+<0.

16+3/lb+3t

1(18/)2+84(16+3?}]3/+7

|%|+|%|=回一%|=)(必+%)2-4%%

《(16+3r)2而6+3〃y

令3/+7=加，顯然有機(jī)27,當(dāng)m=9,即時(shí)

取等號(hào).

因此AMVE的面積S的最大值為2^3.

20.（15分）

【分析】（1）對(duì)Ax）,g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線，從而解出。的值及該切線的方程；

（2）由條件知/?（%）=6-alnx（x>0）,對(duì)〃（x）進(jìn)行求導(dǎo)，分兩種情況進(jìn)行討論：①。>0；②④0,從而

求其最小值。(。)的解析式;

【詳解】(1)解：((x)=j，g'(x)=?x>0),

y[x=a]nx

由已知得la,解得。=："=e2

2^/xx

兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,e)切線的斜率為％=f卜2)=[,

,切線的方程為y-e=：(x-e2),即切線的方程為y=；x+*

（2）解：由條件知人（力=?-〃111九（尤>0）

7,/X1a\fx-2a

nx）=-f=——=-------

2y[xx2x

①當(dāng)a>0時(shí)，令〃（力=0,解得x=4/,

???當(dāng)0<%<4/時(shí)，"(x)<O/(x)在(0,4/)上遞減；當(dāng)苫>4/時(shí)，"(力>0/(%)在(46,”)上遞增,

x=4a2是〃⑺在(0,+8)上的唯一極值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)，

最小值點(diǎn)，e(a)=〃(4/)=2a—aln4a2=2a(1—In2a).

②當(dāng)aWO時(shí)，"(x)=與2>0,"x)在(0,+s)上遞增，無(wú)最小值，故網(wǎng)”的最小值。⑺的解析式為

0(a)=2a(1-1112a)(a>0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.

分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決

含參數(shù)問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣

才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類討論思想方法能夠使問(wèn)題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟

練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.

21.(15分)

【分析】(1)直接利用信息求出數(shù)列的項(xiàng).

(2)利用恒成立問(wèn)題和函數(shù)的單調(diào)性，求出2的取值范圍.

(3)直接利用分類討論思想求出